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- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Mapa%3A_Algebra_Universitaria_(OpenStax)/09%3A_Secuencias%2C_Probabilidad_y_Teor%C3%ADa_de_Conteo/9.07%3A_Teorema_BinomialUn polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar los binomios a potencias, pero elevar un binomio a una alta potencia puede ser tedioso y llevar muc...Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar los binomios a potencias, pero elevar un binomio a una alta potencia puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección, discutiremos un atajo que nos permitirá encontrar(x+y)n sin multiplicar el binomio por sí mismo porn tiempos.
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Algebra_Intermedia_(OpenStax)/12%3A_Secuencias%2C_series_y_teorema_binomial/12.05%3A_Teorema_Binomial\((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2...(a+b)n=(n0)an+(n1)an−1b1+(n2)an−2b2+…+(nr)an−rbr+…+(nn)bn
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Precalculo_y_Trigonometria/Prec%C3%A1lculo_(OpenStax)/11%3A_Secuencias%2C_Probabilidad_y_Teor%C3%ADa_de_Conteo/11.06%3A_Teorema_BinomialUn polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar los binomios a potencias, pero elevar un binomio a una alta potencia puede ser tedioso y llevar muc...Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar los binomios a potencias, pero elevar un binomio a una alta potencia puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección, discutiremos un atajo que nos permitirá encontrar(x+y)n sin multiplicar el binomio por sí mismo porn tiempos.
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Combinatoria_y_Matematicas_Discretas/Combinatoria_y_Teor%C3%ADa_Gr%C3%A1fica_(Guichard)/01%3A_Fundamentos/1.04%3A_Coeficientes_binomiales\[\eqalign{ \sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}&x^{n-i}y^i+ \sum_{i=0}^{n-1} {n-1\choose i}x^{n-1-i}y^{i+1}\cr &=\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}x^{n-i}y^i+ \sum_{i=1}^{n} {n-1\choose i-1}x^{n-i}y^{i}\cr &={...\eqalign{ \sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}&x^{n-i}y^i+ \sum_{i=0}^{n-1} {n-1\choose i}x^{n-1-i}y^{i+1}\cr &=\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}x^{n-i}y^i+ \sum_{i=1}^{n} {n-1\choose i-1}x^{n-i}y^{i}\cr &={n-1\choose 0}x^n+\sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i}x^{n-i}y^i+ \sum_{i=1}^{n-1} {n-1\choose i-1}x^{n-i}y^{i}+{n-1\choose n-1}y^{n}\cr &={n-1\choose 0}x^n+ \sum_{i=1}^{n-1}({n-1\choose i}+{n-1\choose i-1})x^{n-i}y^{i}+ {n-1\choose n-1}y^{n}.\cr }\nonumber
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_Avanzada/09%3A_Secuencias%2C_series_y_teorema_del_binomio/9.04%3A_Teorema_BinomialEl teorema binomial proporciona un método de expansión de binomios elevados a potencias sin multiplicar directamente cada factor.
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_y_Trigonometria_(OpenStax)/13%3A_Secuencias%2C_probabilidad_y_teor%C3%ADa_de_conteo/13.06%3A_Teorema_BinomialUn polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar los binomios a potencias, pero elevar un binomio a una alta potencia puede ser tedioso y llevar muc...Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar los binomios a potencias, pero elevar un binomio a una alta potencia puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección, discutiremos un atajo que nos permitirá encontrar(x+y)^n sin multiplicar el binomio por sí mismo porn tiempos.
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Combinatoria_y_Matematicas_Discretas/Combinatoria_(Morris)/02%3A_Enumeraci%C3%B3n/07%3A_Generando_funciones/7.02%3A_El_Teorema_del_Binomio_GeneralizadoVamos a presentar una versión generalizada del caso especial del Teorema 3.3.1, el Teorema Binomial, en el que se permite que el exponente sea negativo.
- https://espanol.libretexts.org/Under_Construction/Matem%C3%A1ticas/%C3%81lgebra_Intermedia_(OpenStax)/12%3A_Secuencias%2C_series_y_teorema_binomial/12.05%3A_Teorema_Binomial\((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2...(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Combinatoria_y_Matematicas_Discretas/Un_libro_de_trabajo_en_espiral_para_matem%C3%A1ticas_discretas_(Kwong)/08%3A_Combinatoria/8.05%3A_El_Teorema_BinomialUn binomio es un polinomio con exactamente dos términos. El teorema binomial da una fórmula para expandir (x+y) para cualquier entero positivo n.
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Combinatoria_y_Matematicas_Discretas/Combinatoria_Aplicada_(Keller_y_Trotter)/02%3A_Cadenas%2C_conjuntos_y_coeficientes_binomiales/2.06%3A_El_Teorema_BinomialQue x e y sean números reales con x, y y x+y distintos de cero. (x+y)^n = \underbrace{(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)...(x+y)(x+y)}_{n factors}. Cada término de la expansión del producto ...Que x e y sean números reales con x, y y x+y distintos de cero. (x+y)^n = \underbrace{(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)...(x+y)(x+y)}_{n factors}. Cada término de la expansión del producto resulta de elegir uno de estos factoresx oy de uno de estos factores. Claramente, el número de tales términos esC(n,i), es decir, fuera de losn factores, elegimos el elementoyi de ellos, mientras tomamosx en el reston-i.
- https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Combinatoria_y_Matematicas_Discretas/Combinatoria_y_Teor%C3%ADa_Gr%C3%A1fica_(Guichard)/03%3A_Generando_funciones/3.02%3A_Teorema_del_Binomio_de_Newton(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).\nonumber \[\eqalign{ f(x)&=(1+x+x^2+\cdots)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\cr &=(1-x)^{-1}(1+x+x^2+x^3+x^4+x...(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).\nonumber \eqalign{ f(x)&=(1+x+x^2+\cdots)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\cr &=(1-x)^{-1}(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\cr &={(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\over 1-x}. }\nonumber
