2.7: Coeficientes Multinomiales
- Page ID
- 118292
Dejar\(X\) ser un conjunto de\(n\) elementos. Supongamos que tenemos dos colores de pintura, digamos rojo y azul, y vamos a elegir un subconjunto de\(k\) elementos para ser pintados de rojo con el resto pintado de azul. Entonces el número de diferentes formas en que esto se puede hacer es solo el coeficiente binomial\(\binom{n}{k}\). Ahora supongamos que tenemos tres colores diferentes, digamos rojo, azul y verde. Vamos\(k_1\) a elegir ser de color rojo,\(k_2\) ser de color azul, y los restantes\(k_3=n−(k_1+k_2)\) son de color verde. Podemos calcular el número de formas de hacerlo eligiendo primero los\(n\) elementos para pintar\(k_1\) de rojo, luego de los\(n−k_1\) elementos restantes eligiendo\(k_2\) pintar azul, y luego pintando los\(k_3\) elementos restantes de verde. Es fácil ver que la cantidad de formas de hacerlo es
\(\dbinom{n}{k_1}\dbinom{n-k_1}{k_2} = \dfrac{n!}{k_1!(n-k_1)!}\dfrac{(n-k_1)!}{k_2!(n-(k_1+k_2))!} = \dfrac{n!}{k_1!k_2!k_3!}\)
Los números de esta forma se denominan coeficientes multinomiales; son una generalización obvia de los coeficientes binomiales. La notación general es:
\(\dbinom{n}{k_1,k_2,k_3,...,k_r} = \dfrac{n!}{k_1!k_2!k_3!...k_r!}\).
Por ejemplo,
\(\dbinom{8}{3,2,1,2} = \dfrac{8!}{3!2!1!2!} = \dfrac{40320}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2} = 1680\).
Tenga en cuenta que hay algo de “exageración” en esta notación, ya que el valor de\(k_r\) está determinado por\(n\) y los valores para\(k_1,k_2,...,k_{r-1}\). Por ejemplo, con los coeficientes binomiales ordinarios, simplemente escribimos\(\binom{8}{3}\) y no\(\binom{8}{3,5}\).
Cuántos reordenamientos diferentes de la cadena:
MITCHELTKELLERANDWILLIAMTTROTTERAREGENIOS!! MITCHELTKELLERANDWILLIAMTTROTTERAREGENIOS!!
son posibles si se deben usar todas las letras y caracteres?
- Solución
-
Para responder a esta pregunta, observamos que hay un total de 45 caracteres distribuidos de la siguiente manera: 3 A's, 1 C, 1 D, 7 E's, 1 G, 1 H, 4 I's, 1 K, 5 L's, 2 M's, 2 N's, 1 O, 4 R's, 2 S's, 6 T's, 1 U, 1 W, ¡y 2! ' s. entonces el número de reordenamientos es
\(\dfrac{45!}{3!1!1!7!1!1!4!1!5!2!2!1!4!2!6!1!1!2!}\).
Al igual que con los coeficientes binomiales y el Teorema Binomial, los coeficientes multinomiales surgen en la expansión de poderes de un multinomio:
\(x_1,x_2,...,x_r\)Sea x números reales distintos de cero con\(\sum_{i=1}^r x_i \neq 0\). Entonces para cada\(n \in \mathbb{N}_0\),
\((x_1+x_2+ \cdot \cdot \cdot + x_r)^n = \displaystyle \sum_{k_1+k_2+ \cdot \cdot \cdot + k_r = n} \dbinom{n}{k_1,k_2,...,k_r}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdot \cdot \cdot x_r^{k_r}\).
¿Cuál es el coeficiente de\(x^{99}y^{60}z^{14}\) in\((2x^3+y-z^2)^{100}\)? ¿Y qué pasa\(x^{99}y^{61}z^{13}\)?
- Solución
-
Por el Teorema Multinomial, la expansión de\((2x^3+y-z^2)^{100}\) tiene términos de la forma
\(\dbinom{100}{k_1,k_2,k_3} (2x^3)^{k_1}y^{k_2}(-z^2)^{k_3} = \dbinom{100}{k_1,k_2,k_3}2^{k_1}x^{3k_1}y^{k_2}(-1)^{k_3}z^{2k_3}\).
El\(x^{99}y^{60}z^{14}\) surge cuando\(k_1 = 33, k_2 = 60\), y\(k_3 = 7\), por lo que debe tener coeficiente
\(-\dbinom{100}{33,60,7}2^{33}\).
Para\(x^{99}y^{61}z^{13}\), el exponente on\(z\) es impar, lo que no puede surgir en la expansión de\((2x^3+y-z^2)^{100}\), por lo que el coefficeint es 0.