2.6: El Teorema Binomial

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Page ID: 118287

Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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Aquí hay un resultado verdaderamente básico del jardín de infantes combinatoria.

Teorema 2.30. Teorema binomial

Que\( x\) e\( y\) sean números reales con\( x\), \(y\) y\( x+y\) distintos de cero. Entonces, por cada entero no negativo\(n\),

\((x+y)^n = \displaystyle \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i} x^{n-i}y^i\)

Prueba

Ver\((x+y)^n\) como un producto

\((x+y)^n = \underbrace{(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)...(x+y)(x+y)}_{n factors}\).

Cada término de la expansión del producto resulta de elegir uno de estos factores\(x\) o\(y\) de uno de estos factores. Si\(x\) se elige\(n−i\) tiempos y\(y\) se elige\(i\) tiempos, entonces el producto resultante es\(x^{n-i}y^i\). Claramente, el número de tales términos es\(C(n,i)\), es decir, fuera de los\(n\) factores, elegimos el elemento\(y\)\(i\) de ellos, mientras tomamos\(x\) en el resto\(n-i\).

Ejemplo 2.31

Hay momentos en los que nos interesa no la plena expansión de un poder de un binomio, sino solo el coeficiente en uno de los términos. El Teorema Binomial da que el coeficiente de\(x^5y^8\) in\((2x-3y)^{13}\) es\(\binom{13}{5}2^5(-3)^8\).