3.3: El significado de las declaraciones
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¿Alguna vez has tomado pruebas estandarizadas donde te dan los primeros términos de una secuencia y luego te piden el siguiente? Aquí hay algunas preguntas de muestra. En cada caso, vea si puede determinar una respuesta razonable para el siguiente término.
- \(2,5,8,11,14,17,20,23,26,...\)
- \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...\)
- \(1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,...\)
- \(2,6,12,20,30,42,56,72,90,110,...\)
- \(2,3,6,11,18,27,38,51,...\)
¡Cosas bastante fáciles! Bien, ahora prueba la siguiente secuencia algo más desafiante. Aquí, te daremos muchos más términos y te desafiaremos a encontrar el siguiente.
\(1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,…\)
Confía en nosotros cuando decimos que realmente tenemos en mente algo muy concreto, y una vez que se explique, estarás de acuerdo en que es “obvio”. Pero por ahora, está lejos de ser así.
Aquí hay otro peligro que acecha a la vuelta de la esquina cuando nos encontramos con fórmulas como
\(1+2+3+ \cdot \cdot \cdot +n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
¿Qué significan los puntos en esta afirmación? De hecho, consideremos una pregunta mucho más simple. Lo que se entiende por la siguiente expresión:
\(1+2+3+\cdot \cdot \cdot +6\)
¿Estamos hablando de la suma de los primeros seis enteros positivos, o estamos hablando de la suma de los primeros 19 términos de la secuencia de desafío más complicada dada anteriormente? Se supone que debes responder que no sabes, y esa es la respuesta correcta.
El punto aquí es que sin un comentario aclarador o dos, la notación\(1+2+3+\cdot \cdot \cdot+6\) no se define con precisión. Veamos cómo hacer las cosas bien.
Primero,\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) déjese ser una función. Set
\(\displaystyle \sum_{i=1}^1 f(i) = f(1)\)
y si\(n > 1\), definir
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n f(i) = f(n) + \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} f(i)\)
Para ver que estas dos declaraciones implican que la expresión\(\sum_{i=1}^n f(i)\) está definida para todos los enteros positivos, aplique la Propiedad Bien Ordenada al conjunto de todos los enteros positivos para los que la expresión no esté definida y utilice la definición recursiva para definirla para el elemento menor.
Entonces, si queremos hablar de la suma de los primeros seis enteros positivos, entonces debemos escribir:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^6 i\)
Ahora es claro que estamos hablando de un cómputo que rinde 21 como respuesta.
Un segundo ejemplo: anteriormente, definimos\(n!\) por escrito
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdot \cdot \cdot \times 3 \times 2 \times 1\)
En este punto, deberías darte cuenta de que aquí hay un problema. La multiplicación, al igual que la suma, es una operación binaria. ¿Y qué significan esos puntos? Aquí hay una manera de hacer el trabajo con mayor precisión. \(n!\)Definir ser 1 si\(n=1\). Y cuando\(n>1\), establecer\(n! = n(n-1)!\).
Definiciones como estas se denominan definiciones recursivas. Se pueden hacer con diferentes puntos de partida. Por ejemplo, podríamos haber establecido\(n! = 1\) cuándo\(n=0\), y cuándo\(n > 0\), establecer\(n! = n(n-1)!\).
Aquí hay un fragmento de código en Sage Math, que se basa en Python, así que esto también funciona como código Python.
//Código
¿Cuál es el valor de sumrecursive (4)? (Para asegurarse de entender cómo funciona esta función recursiva, calcular sumrecursive (4) debe ser a mano antes de modificar la celda Sage Math anterior.) ¿Tiene sentido decir que sumrecursive (n) se define para todos los enteros positivos\(n\)? ¿Reconoció que este programa proporciona un significado preciso a la expresión:
\(2 + 3 + 6 + 11 + 18 + 27 + 38 + 51 + \cdot \cdot \cdot + (n^2 - 2n + 3)\)