10.2: Probabilidad Condicional y Eventos Independientes
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Un frasco contiene veinte mármoles de los cuales seis son rojos, nueve son azules y los cinco restantes son verdes. Mientras le vendaron los ojos, Xing selecciona dos de las veinte canicas aleatorias (sin reemplazo) y pone una en su bolsillo izquierdo y una en su bolsillo derecho. Luego se quita la venda de los ojos.
La probabilidad de que la canica en su bolsillo izquierdo sea roja es de 6/20. Pero Xing primero mete la mano en su bolsillo derecho, saca esta canica y descubre que es azul. ¿Sigue siendo roja la probabilidad de que la canica en su bolsillo izquierdo sea roja 6/20? La intuición dice que es un poco más alto que eso. Aquí hay un marco más formal para responder a este tipo de preguntas.
Dejar\((S,P)\) ser un espacio de probabilidad y dejar\(B\) ser un evento para el cual\(P(B)>0\). Entonces para cada evento\(A⊆S\), definimos la probabilidad de \(A\), dado \(B\), denotado\(P(A|B)\), por establecimiento\(P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)\).
Volviendo a la pregunta planteada al inicio de la sección, Bob dice que esto es solo probabilidad condicional. Dice que\(B\) sea el evento de que la canica en el bolsillo derecho sea azul y que\(A\) sea el evento de que la canica en el bolsillo izquierdo sea roja. Entonces\(P(B)=9/20, P(A)=6/20\) y\(P(A∩B)=(9 \cdot 6)/380\), para eso\(P(A|B)=\frac{54}{380} \frac{20}{9}=6/19\), que por supuesto es un poco más grande que\(6/20\). Alice está impresionada.
Considera la jarra de veinte canicas del ejemplo anterior. Se introduce una segunda jarra de canicas. Esta jarra tiene dieciocho canicas: nueve rojas, cinco azules y cuatro verdes. Se selecciona una jarra al azar y de esta jarra, se eligen dos canicas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean verdes? Bob está en un rollo. Dice: “Que\(G\) sea el evento de que ambas canicas sean verdes, y que\(J_2\) sea\(J_1\) y sea el evento de que las canicas provengan de la primera jarra y la segunda jarra, respectivamente. Entonces\(G=(G∩J_1) \cup (G∩J_2)\), y\((G∩J_1)+(G∩J_2)= \emptyset\). Además,\(P(G|J_1)= \binom{5}{2} / \binom{20}{2}\) y\(P(G|J_2)=\binom{4}{2} / \binom{18}{2}\), mientras\(P(J_1)=P(J_2)=1/2\). También\(P(G∩J_i)=P(J_i)P(G|J_i)\) para cada uno\(i=1,2\). Por lo tanto,
\(P(G) = \dfrac{1}{2} \dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{20}{2}} + \dfrac{1}{2} \dfrac{\binom{4}{2}}{\binom{18}{2}} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{20}{380} + \dfrac{12}{306})\).
Eso es alrededor del 4.6%”.
Ahora Alice se queda sin palabras.
10.2.1 Eventos Independientes
Dejar\(A\) y\(B\) ser eventos en un espacio de probabilidad\((S,P)\). Decimos\(A\) y\(B\) somos independientes si\(P(A∩B)=P(A)P(B)\). Tenga en cuenta que cuando\(P(B) \neq 0\),\(A\) y\(B\) son independientes si y solo si\(P(A)=P(A|B)\). Se dice que dos eventos que no son independientes son dependientes. Volviendo a nuestro ejemplo anterior, los dos eventos (\(A\): el mármol en el bolsillo izquierdo de Xing es rojo y\(B\): el mármol en su bolsillo derecho es azul) son dependientes.
Considera los dos frascos de canicas del Ejemplo 10.9. Uno de los dos frascos se elige al azar y se extrae un solo mármol de ese frasco. \(A\)Sea el evento de que se elija la segunda jarra, y que\(B\) sea el evento de que el mármol elegido resulte ser verde. Entonces\(P(A)=1/2\) y\(P(B)= \frac{1}{2} \frac{5}{20} + \frac{1}{2} \frac{4}{18}\). Por otro lado,\(P(A∩B)=\frac{1}{2} \frac{4}{18}\), así\(P(A∩B) \neq P(A)P(B)\), y los dos eventos no son independientes. Intuitivamente, esto debería quedar claro, ya que una vez que sabes que el mármol es verde, es más probable que en realidad hayas elegido el primer frasco.
Se tiran un par de dados, uno rojo y otro azul. Deja\(A\) ser el evento de que el dado rojo muestre ya sea un 3 o un 5, y deja\(B\) ser el evento que obtienes dobles, es decir, el dado rojo y el dado azul muestran el mismo número. Entonces\(P(A)=2/6, P(B)=6/36\), y\(P(A∩B)=2/36\). Entonces\(A\) y\(B\) son independientes.