10.3: Juicios de Bernoulli

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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Supongamos que tenemos una jarra con 7 canicas, cuatro de las cuales son rojas y tres son azules. Una canica se dibuja al azar y registramos si es roja o azul. La probabilidad\(p\) de obtener una canica roja es 4/7; y la probabilidad de obtener un azul es\(1−p=3/7\).

Ahora supongamos que el mármol se vuelve a poner en el frasco, los mármoles en el frasco se revuelven, y se repite el experimento. Entonces la probabilidad de obtener una canica roja en el segundo ensayo es de nuevo 4/7, y este patrón se mantiene independientemente del número de veces que se repita el experimento.

Es costumbre llamar a esta situación una serie de juicios de Bernoulli. De manera más formal, tenemos un experimento con sólo dos resultados: el éxito y el fracaso. La probabilidad de éxito es\(p\) y la probabilidad de fracaso es\(1−p\). Lo más importante es que cuando se repite el experimento, entonces la probabilidad de éxito en cualquier prueba individual es exactamente\(p\).

Arreglamos un entero positivo\(n\) y consideramos el caso de que el experimento se repita\(n\) veces. Los resultados son entonces las cadenas binarias de longitud del alfabeto\(n\) de dos letras\(\{S,F\}\), para el éxito y el fracaso, respectivamente. Si\(x\) es una cadena con\(i\) éxitos y\(n−i\) fracasos, entonces\(P(x)=\binom{n}{i}p^i(1−p)^{n−i}\). Por supuesto, en las aplicaciones, el éxito y el fracaso pueden ser reemplazados por: cabeza/cola, arriba/abajo, bueno/malo, adelante/atrás, rojo/azul, etc.

Ejemplo 10.12

Cuando se enrolla un dado, digamos que tenemos un éxito si el resultado es un dos o un cinco. Entonces la probabilidad\(p\) de éxito es 2/6=1/3 y la probabilidad de fracaso es 2/3. Si el dado se enrolla diez veces seguidas, entonces la probabilidad de que obtengamos exactamente cuatro éxitos es\(C(10,4)(1/3)^4(2/3)^6\).

Ejemplo 10.13

Una moneda justa se arroja 100 veces y se registra el resultado (cabezas o colas). Entonces la probabilidad de conseguir cabezas 40 veces y colas las otras 60 veces es

\[\dbinom{100}{40}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{40}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{60} = \dfrac{\binom{100}{40}}{2^{100}}. \nonumber\]

Discusión 10.14

Bob dice que si una moneda justa es arrojada 100 veces, es bastante probable que obtengas exactamente 50 cabezas y 50 colas. Dave no está tan seguro de que esto sea correcto. Carlos dispara su computadora y en pocos segundos, informa que la probabilidad de obtener exactamente 50 cabezas cuando una moneda justa es arrojada 100 veces es

\(\dfrac{12611418068195524166851562157}{158456325028528675187087900672}\)

que es .079589, a seis decimales. En otras palabras, no es muy probable en absoluto. Xing está haciendo un cálculo modestamente más complicado, e informa que tienes un 99% de posibilidades de que el número de cabezas sea de al menos 20 y como máximo 80. Carlos agrega que cuando\(n\) es muy grande, entonces es cada vez más seguro que el número de cabezas en\(n\) tiradas estará cerca de\(n/2\). Dave pregunta a qué te refieres con cerrar, y ¿qué quieres decir con muy grande?