10.4: Variables Aleatorias Discretas
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Dejar\((S,P)\) ser un espacio de probabilidad y dejar\(X:S \rightarrow \mathbb{R}\) ser cualquier función que mapee los resultados en\(S\) números reales (todos los valores permitidos, positivo, negativo y cero). Llamamos a \(X\)una variable aleatoria. La cantidad\(\sum_{x \in S} X(x)P(x)\), denotada\(E(X)\), se denomina expectativa (también llamada valor medio o esperado) de la variable aleatoria\(X\). Como refleja el sugestivo nombre, esto es lo que se debe esperar que sea el comportamiento promedio del resultado de repetidos ensayos de Bernoulli.
Tenga en cuenta que como estamos tratando solo con espacios de probabilidad\((S,P)\) donde\(S\) es un conjunto finito, el rango de la medida de probabilidad\(P\) es en realidad un conjunto finito. En consecuencia, podemos reescribir la fórmula para\(E(X)\) as\(\sum_{y} y \cdot [rpb(X(x) = y)\), donde la suma se extiende sobre un rango finito de valores para\(y\).
Para la hiladora que se muestra en la Figura 10.1, vamos\(X(i)=i^2\) donde\(i\) está el número de la región. Entonces
\(E(x) = \displaystyle \sum_{i \in S} i^2P(i) = 1^2 \dfrac{1}{8} + 2^2 \dfrac{2}{8} + 3^2 \dfrac{1}{8} + 4^2 \dfrac{1}{8} + 5^2 \dfrac{3}{8} = \dfrac{109}{8}\).
Tenga en cuenta que\(109/8=13.625\). La significación de esta cantidad se capta en el siguiente enunciado. Si registramos el resultado de los\(n\) tiempos de giro en sucesión como\((i_1,i_2,…,i_n)\) y Xing recibe un premio\(i_j^2\) por cada uno\(j=1,2,…,n\)), entonces Xing debería “esperar” recibir un premio total que valga la pena\(109n/8=13.625n\). Bob pregunta cómo esta afirmación puede ser posiblemente correcta, ya que\(13.625n\) puede que ni siquiera sea un entero, y cualquier premio que reciba Xing tendrá valor integral. Carlos continúa explicando que el concepto de valor esperado proporciona una definición formal de lo que se entiende por juego limpio. Si Xing paga 13.625 centavos para jugar el juego y luego se le paga\(i^2\) centavos donde i es el número de la región donde se detiene el spinner, entonces el juego es justo. Si paga menos, tiene una ventaja injusta, y si paga más, el juego está sesgado en su contra. Bob dice “¿Cómo puede Xing pagar 13.625 centavos?” Dejando a un lado la pregunta de Bob, Carlos dice que uno puede probar que para cada\(ϵ>0\), hay algunos\(n_0\) (que depende de\(ϵ\)) para que si\(n>n_0\), entonces la probabilidad de que las ganancias totales de Xing menos\(13.625n\), divididas por\(n\) estén dentro\(ϵ\) de 13.625 sea al menos \(1−ϵ\). Carlos recurre a Dave y explica cortésmente que esta afirmación le da un significado preciso a lo que se entiende por “cerca” y “grande”.
Para el juego de Alice desde el inicio del capítulo\(S=\{0,1,2,3,4,5\}\),, podríamos tomar\(X\) para ser la función definida por\(X(d)=2−d\). Entonces\(X(d)\) registra la cantidad que gana Bob cuando la diferencia es\(d\) (una victoria negativa para Bob es solo una victoria para Alice en la misma cantidad). Calculamos la expectativa de la\(X\) siguiente manera:
\(E(X) = \displaystyle \sum_{d=0}^5 X(d)p(d) = -2 \dfrac{1}{6} - 1 \dfrac{10}{36} + 0 \dfrac{8}{36} + 1 \dfrac{6}{36} + 2 \dfrac{4}{36} + 3236 = \dfrac{-2}{36}\).
Tenga en cuenta que\(−2/36=−.055555….\) Entonces si los puntos fueran dólares, cada vez que se juegue el juego, Bob debería esperar perder un poco más de un centavo. No hace falta decir que a Alice le gusta jugar a este juego y cuantas más veces se engaña a Bob para que juegue, más le gusta a ella. Por otro lado, para esta época del capítulo, Bob debería estar recibiendo el mensaje y diciéndole a Alice que vaya a chupar un limón.
10.4.1 La linealidad de la expectativa
La siguiente propiedad fundamental de expectativa es una consecuencia inmediata de la definición, pero la declaramos formalmente porque es muy importante que las discusiones sigan.
Dejar\((S,P)\) ser un espacio de probabilidad y dejar\(X_1,X_2,…,X_n\) ser variables aleatorias. Entonces
\(E(X_1 + X_2 + \cdot \cdot \cdot + X_t) = E(X_1) + E(X_2) + \cdot \cdot \cdot + E(X_n)\).
10.4.2 Implicaciones para los juicios de Bernoulli
Considera una serie de ensayos de\(n\) Bernoulli con\(p\), la probabilidad de éxito, y vamos a\(X\) contar el número de éxitos. Entonces, afirmamos que
\(E(X) = \displaystyle \sum_{i=0}^n i \dbinom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} = np\)
Para ver esto, considere la función\(f(x)=[px+(1−p)]^n\). Tomando la derivada por la regla de la cadena, nos encontramos con eso\(f′(x)=np[px+(1−p)]^{n−1}\). Ahora cuando\(x=1\), la derivada tiene valor\(np\).
Por otro lado, podemos utilizar el teorema binomial para expandir la función\(f\).
\(f(x) = \displaystyle \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i} x^ip^i(1-p)^{n-i}\)
De ello se deduce que
\(f'(x) = \displaystyle \sum_{i=0}^n i \dbinom{n}{i} x^{i-}p^i(1-p)^{n-i}\)
Y ahora el reclamo sigue fijando de nuevo\(x=1\). ¡Quién dice que el cálculo no es útil!
Muchos estados tienen loterías para financiar becas universitarias u otras empresas públicas que se considere que tienen valor para el público en general. Aunque lejos de ser una investigación científica, parece a partir de nuestra investigación que muchos de los juegos tienen un valor esperado de aproximadamente cincuenta centavos cuando se invierte un dólar. Por lo que los juegos están lejos de ser justos, y nadie debería jugarlos a menos que tengan un deseo intrínseco de apoyar las diversas causas a las que se dirigen las ganancias de la lotería.
Por el contrario, diversos juegos de azar que se juegan en los centros de juego tienen un rendimiento esperado de un poco menos de noventa centavos por cada dólar apostado. En este escenario, sólo podemos decir que se tiene que poner un valor en dólares en el disfrute derivado del entorno del casino. Desde un punto de vista matemático, vas a perder. Así es como obtienen el dinero para construir esos exóticos edificios.