6.4: Grupos Actuando sobre Conjuntos (Ejercicios)

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1. Mostrar que una función de\(S\) a\(T\) tiene una inversa (definida en\(T\)) si y solo si es una biyección.

2. ¿Cuántos elementos hay en el grupo diedro\(D_3\)? ¿El grupo simétrico\(S_3\)? ¿De qué se puede concluir\(D_3\) y\(S_3\)?

3. Un tetraedro es una figura geométrica tridimensional con cuatro vértices, seis aristas y cuatro caras triangulares. Supongamos que comenzamos con un tetraedro en el espacio y consideramos el conjunto de todas las permutaciones de los vértices del tetraedro que corresponden a mover el tetraedro en el espacio y devolverlo a su ubicación original, quizás con los vértices en diferentes lugares.

Explique por qué estas permutaciones forman un grupo.
¿Cuál es el tamaño de este grupo?
Anote en notación de dos filas una permutación que no esté en este grupo.

4. Encuentra un subgrupo de tres elementos del grupo\(S_3\). ¿Se puede encontrar un subgrupo de tres elementos diferente de\(S_3\)?

5. Demostrar verdadero o demostrar falso con un contraejemplo: “En un grupo de permutación,\((σ \varphi)^n = σ^n \varphi^n\).”

6. Si un grupo\(G\) actúa sobre un set\(S\), y si\(σ(x) = y\), ¿hay algo interesante podemos decir sobre los subgrupos\(\text{Fix}(x)\) y\(\text{Fix}(y)\)?

Si un grupo\(G\) actúa sobre un conjunto\(S\), ¿\(\overline{σ}(f) = f ◦ σ\)define una acción de grupo sobre las funciones de\(S\) a un conjunto\(T\)? ¿Por qué o por qué no?
Si un grupo\(G\) actúa sobre un conjunto\(S\), ¿\(σ(f) = f ◦ σ^{−1}\)define una acción de grupo sobre las funciones de\(S\) a un conjunto\(T\)? ¿Por qué o por qué no?
¿O alguna de las posibles acciones grupales es esencialmente la misma que la acción que describimos sobre los colorantes de un conjunto, o es una acción completamente diferente?

8. Encuentra la cantidad de formas de colorear las caras de un tetraedro con dos colores.

9. Encuentra la cantidad de formas de colorear las caras de un tetraedro con cuatro colores para que se use cada color.

10. Encuentra el índice de ciclo del grupo de simetrías espaciales del tetraedro que actúa sobre los vértices. Encuentra el índice de ciclo para el mismo grupo que actúa sobre las caras.

11. Encuentra la función generadora para el número de formas de colorear las caras del tetraedro con rojo, azul, verde y amarillo.

\(\rightarrow\)12. Encuentra la función generadora para el número de formas de colorear las caras de un cubo con cuatro colores para que se utilicen los cuatro colores.

\(\rightarrow\)13. ¿Cuántas gráficas diferentes hay en seis vértices con siete aristas?

\(\rightarrow\)14. Demostrar que si\(H\) es un subgrupo del grupo\(G\), entonces\(H\) actúa sobre\(G\)\(σ(τ ) = σ ◦ τ\) por todos\(σ\) dentro\(H\) y\(τ\) dentro\(G\). ¿Cuál es el tamaño de una órbita de esta acción? ¿Cómo se relaciona el tamaño de un subgrupo de un grupo con el tamaño del grupo?