16.1: Anillos, Definiciones Básicas y Conceptos

Definiciones básicas

Nos gustaría investigar sistemas algebraicos cuya estructura imita a la de los enteros.

Definición \(\PageIndex{1}\): Ring

Un anillo es un conjunto\(R\) junto con dos operaciones binarias, suma y multiplicación, denotadas por los símbolos\(+\) y\(\cdot\) tal que se satisfacen los siguientes axiomas:

1. \([R; +]\)es un grupo abeliano.
2. La multiplicación es asociativa en\(R\text{.}\)
3. La multiplicación es distributiva sobre suma; es decir, para toda\(a, b, c \in R\text{,}\) la ley distributiva izquierda,\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a\cdot c\text{,}\) y la ley distributiva derecha,\((b + c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a\text{.}\)

Nota\(\PageIndex{1}\)

1. Se denota un anillo\([R;+, \cdot ]\) o como simple\(R\) si se entienden las operaciones.
2. Los símbolos\(+\) y\(\cdot\) representan operaciones arbitrarias, no sólo suma y multiplicación “regulares”. Estos símbolos son referidos por los nombres habituales. Por simplicidad, podemos escribir\(a b\) en lugar de\(a\cdot b\) si no es ambiguo.
3. Para el grupo abeliano\([R; +]\text{,}\) utilizamos notación aditiva. En particular, la identidad de grupo se designa por 0 en lugar de por\(e\) y habitualmente se llama el “cero” del anillo. El inverso de grupo también está escrito en notación aditiva: en\(-a\) lugar de\(a^{-1}\text{.}\)

Ahora miramos algunos ejemplos de anillos. Ciertamente, todos los grupos abelianos aditivos del Capítulo 11 son probables candidatos para anillos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The Ring of Integers

\([\mathbb{Z}; +, \cdot ]\)es un anillo, donde\(+\) y\(\cdot\) representan suma y multiplicación regulares en\(\mathbb{Z}\text{.}\) Del Capítulo 11, ya sabemos que\([\mathbb{Z}; +]\) es un grupo abeliano, por lo que solo necesitamos verificar las partes 2 y 3 de la definición de un anillo. A partir del álgebra elemental, sabemos que la ley asociativa bajo multiplicación y las leyes distributivas son ciertas para\(\mathbb{Z}\text{.}\) Este es nuestro ejemplo principal de un anillo infinito.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): The Ring of Integers Modulo \(n\)

\(\left[\mathbb{Z}_n; +_n, \times_n\right]\)es un anillo. Las propiedades de la aritmética modular on\(\mathbb{Z}_n\) fueron descritas en la Sección 11.4, y nos dan la información que necesitamos para convencernos de que\(\left[\mathbb{Z}_n; +_n, \times_n\right]\) es un anillo. Este ejemplo es nuestro principal ejemplo de anillos finitos de diferentes órdenes.

Definición\(\PageIndex{2}\): Commutative Ring

Un anillo en el que la multiplicación es una operación conmutativa se denomina anillo conmutativo.

Es práctica común utilizar la palabra “abeliano” cuando se refiere a la ley conmutativa en adición y la palabra “conmutativa” cuando se refiere a la ley conmutativa bajo operación de multiplicación.

Definición\(\PageIndex{3}\): Unity of a Ring

Un anillo\([R; + , \cdot ]\) que tiene una identidad multiplicativa se llama anillo con unidad. A la identidad multiplicativa misma se le llama la unidad del anillo. De manera más formal, si existe un elemento\(1 \in R\text{,}\) tal que para todos\(x \in R\text{,}\)\(x\cdot 1 = 1\cdot x = x\text{,}\) entonces\(R\) se llama anillo con unidad.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Los anillos en nuestros dos primeros ejemplos fueron anillos conmutativos con unidad, siendo la unidad en ambos casos el número 1. El anillo\(\left[M_{2\times 2}(\mathbb{R}); + , \cdot \right]\) es un anillo no conmutativo con unidad, siendo la unidad la matriz de identidad dos por dos.

Productos Directos de Anillos

Los productos de anillos son análogos a productos de grupos o productos de álgebras booleanas.

\([R_i; +_i, \cdot_i]\text{,}\)\(i = 1, 2, \ldots , n\)Dejen ser anillos. Let\(P=\underset{i=1}{\overset{n}{\times}}R_i\) y\(a = (a_1, a_2 , \ldots , a_n), b = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\in P\text{.}\)

Del Capítulo 11 sabemos que\(P\) es un grupo abeliano bajo la operación de adición componentwise:

\ begin {ecuación*} a + b =\ izquierda (a_1 +_1 b_1, a_2 +_2 b_2,..., a_n +_n b_n\ derecha)\ end {ecuación*}

También definimos la multiplicación en\(P\) componentwise:

\ begin {ecuación*} a\ cdot b =\ izquierda (a_1\ cdot_1 b_1, a_2\ cdot _2 b_2,.., a_n\ cdot_n b_n\ derecha)\ end {ecuación*}

Para demostrar que\(P\) es un anillo bajo las operaciones anteriores, sólo necesitamos mostrar que la ley asociativa (multiplicativa) y las leyes distributivas sostienen. Este es efectivamente el caso, y lo dejamos como un ejercicio. Si cada uno de los\(R_i\) es conmutativo, entonces\(P\) es conmutativo, y si cada uno contiene una unidad, entonces\(P\) es un anillo con unidad, que es la\(n\) -tupla que consiste en las unidades de cada uno de los\(R_i\)'s.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Desde\(\left[\mathbb{Z}_4;+_4,\times_4\right]\) y\(\left[\mathbb{Z}_3;+_3,\times_3\right]\) son anillos, entonces\(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3\) es un anillo, donde, por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} (2, 1) + (2, 2) = (2 +_42, 1 +_32) = (0, 0)\\ y\\ (3, 2)\ cdot (2, 2) = (3\ times_42, 2\ times_3 2) = (2, 1)\\ end {array}\ text {.} \ end {ecuación*}

Para determinar la unidad en el ring\(\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_3\text{,}\) buscamos el elemento\((m, n)\) tal que para todos los elementos\((a, b) \in \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_3\text{,}\)\((a, b) =(a, b)\cdot (m, n) = (m, n)\cdot (a, b)\text{,}\) o, de manera equivalente,

\ begin {ecuación*}\ left (a\ times_4 m, b\ times_3 n\ right) =\ left (m\ times_4 a, n\ times_3 b\ right) = (a, b)\ end {ecuación*}

Entonces queremos\(m\) tal que\(a\times_4 m = m\times_4 a=a\) en el ring\(\mathbb{Z}_4\text{.}\) El único elemento\(m\) en\(\mathbb{Z}_4\) que satisface esta ecuación es\(m = 1\text{.}\) De igual manera, obtenemos valor de 1 para\(n\text{.}\) Entonces la unidad de la\(\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_3\text{,}\) cual es única por Ejercicio\(\PageIndex{15}\) de esta sección, es\((1, 1)\text{.}\) Dejamos al lector para verificar que este anillo es conmutativo.

Inversiones multiplicativas en anillos

Consideramos ahora el concepto sumamente importante de inversos multiplicativos. Ciertamente muchas ecuaciones básicas en álgebra elemental (e.g.,\(2x = 3\)) se resuelven con este concepto.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

La ecuación\(2x = 3\) tiene una solución en el anillo\([\mathbb{Q}; +, \cdot ]\) pero no tiene una solución\([\mathbb{Z}; +, \cdot ]\) ya que, para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados de la ecuación\(2x = 3\) por el inverso multiplicativo de 2. Este número,\(2^{-1}\) existe en\(\mathbb{Q}\) pero no existe en\(\mathbb{Z}\text{.}\) Formalizamos esta importante idea en una definición que por ahora debería ser bastante familiar para usted.

Definición \(\PageIndex{4}\): Multiplicative Inverses

Que\([R; +, \cdot ]\) sea un anillo con unidad, 1. Si\(u \in R\) y existe un elemento\(v \in R\) tal que\(u\cdot v = v\cdot u = 1\text{,}\) entonces\(u\) se dice que tiene una inversa multiplicativa,\(v\text{.}\) Un elemento de anillo que posee una inversa multiplicativa es una unidad del anillo. El conjunto de todas las unidades de un anillo\(R\) se denota por\(U(R)\text{.}\)

Por el Teorema 11.3.3, el inverso multiplicativo de un elemento de anillo es único, si existe. Por esta razón, podemos usar la notación\(u^{-1}\) para el inverso multiplicativo de\(u\text{,}\) si existe.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

En los anillos\([\mathbb{R}; +, \cdot]\) y\([\mathbb{Q}; +, \cdot]\) cada elemento distinto de cero tiene una inversa multiplicativa. Los únicos elementos en los\([\mathbb{Z}; +, \cdot]\) que tienen inversas multiplicativas son -1 y 1. Es decir,\(U(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^*\text{,}\)\(U(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}^*\text{,}\) y\(U(\mathbb{Z}) = \{-1, 1\}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encontremos las inversas multiplicativas, cuando existen, de cada elemento del anillo\([\mathbb{Z}_6; +_6, \times_6]\text{.}\) Si\(u = 3\text{,}\) queremos un elemento\(v\) tal que no\(u\times_6v=1\text{.}\) tengamos que comprobar si\(v\times_6u=1\) ya que\(\mathbb{Z}_6\) es conmutativo. Si intentamos cada uno de los seis elementos, 0, 1, 2, 3, 4 y 5, de\(\mathbb{Z}_6\text{,}\) nos encontramos con que ninguno de ellos satisface la ecuación anterior, por lo que 3 no tiene un inverso multiplicativo en\(\mathbb{Z}_6\text{.}\) Sin embargo, ya que\(5\times_6 5=1\text{,}\) 5 sí tiene un inverso multiplicativo en\(\mathbb{Z}_6\text{,}\) concretamente en sí mismo:\(5^{-1}=5\text{.}\) El siguiente resume todos los resultados para\(\mathbb{Z}_6\text{.}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {cc} u & u^ {-1}\\ 0 &\ textrm {hace}\ textrm {no}\ textrm {existir}\\ 1 & 1\\ 2 &\ textrm {hace}\ textrm {no}\ textrm {existe}\\ 3 &\ textrm {hace}\ textrm {no}\ textrm {existir}\\ 4 &\ textrm {hace}\ textrm {no}\ textrm {existir}\\ 5 & 5\\\ end {array }\ end {ecuación*}

No debería ser una sorpresa que el cero de un anillo nunca va a tener un inverso multiplicativo.

Conceptos Universales, Isomorfismos y Subring

El isomorfismo es un concepto universal que es importante en toda estructura algebraica. Dos anillos son isomórficos como anillos si y sólo si tienen la misma cardinalidad y si se comportan exactamente igual bajo operaciones correspondientes. Ellos son esencialmente el mismo anillo. Para que esto sea cierto, deben comportarse igual que los grupos (bajo +) y deben comportarse igual bajo la operación de multiplicación.

Definición\(\PageIndex{5}\): Ring Isomorphism

Dejar\([R; + , \cdot ]\) y\([R'; +', \cdot']\) ser anillos. Entonces\(R\) es isomórfico a\(R'\) si y solo si existe una función,\(f:R \to R'\text{,}\) llamada isomorfismo de anillo, tal que

1. \(f\)es una biyección
2. \(f(a + b) =f(a)+'f(b)\)para todos\(a, b \in R\)
3. \(f(a \cdot b) = f(a)\cdot ' f(b)\)para todos\(a,b \in R\text{.}\)

Las condiciones 1 y 2 nos dicen que\(f\) es un isomorfismo grupal.

Esto nos lleva al problema de cómo demostrar que dos anillos no son isomórficos. Este es un concepto universal. Es cierto para cualquier estructura algebraica y se discutió en el Capítulo 11. Para demostrar que dos anillos no son isomórficos, debemos demostrar que se comportan de manera diferente bajo una de las operaciones. Ilustramos a través de varios ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Consideremos los anillos\([\mathbb{Z}; +, \cdot ]\) y\([2\mathbb{Z}; +, \cdot ]\text{.}\) en el Capítulo 11 mostramos que como grupos, los dos conjuntos\(\mathbb{Z}\) y 2\(\mathbb{Z}\) con adición fueron isomórficos. El isomorfismo grupal que lo demostró fue la función\(f : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}\text{,}\) definida por\(f(n) = 2n\text{.}\) Is\(f\) a ring isomorfism? Solo necesitamos verificar si\(f(m\cdot n) = f(m)\cdot f(n)\) para todos\(m, n \in \mathbb{Z}\text{.}\) De hecho, esta condición no está satisfecha:

\ comenzar {ecuación*} f (m\ cdot n) = 2\ cdot m\ cdot n\ cuádruple\ textrm {y}\ quad f (m)\ cdot f (n) = 2m\ cdot 2n= 4\ cdot m\ cdot n\ final {ecuación*}

Por lo tanto, no\(f\) es un isomorfismo de anillos. Esto no significa necesariamente que los dos anillos\(\mathbb{Z}\) y 2 no\(\mathbb{Z}\) sean isomórficos, sino simplemente eso\(f\) no satisface las condiciones. Podríamos imaginar que alguna otra función sí. Podríamos intentar encontrar otra función que sea un isomorfismo de anillos, o podríamos intentar demostrar que\(\mathbb{Z}\) y 2 no\(\mathbb{Z}\) son isomórficos como anillos. Para hacer esto último, debemos encontrar algo diferente sobre la estructura del anillo de\(\mathbb{Z}\) y 2\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Ya sabemos que se comportan de manera idéntica bajo suma, así que si son diferentes como anillos, debe tener algo que ver con cómo se comportan bajo la operación de multiplicación. Comencemos a desarrollar una lista de verificación de cómo podrían diferir los dos anillos:

1. ¿Tienen la misma cardinalidad? Sí, ambos son contables.
2. ¿Ambos son conmutativos? Sí.
3. ¿Ambos anillos son con unidad? No.

\(\mathbb{Z}\)es un anillo con unidad, es decir el número 1. 2 no\(\mathbb{Z}\) es un anillo con unidad,\(1\notin 2\mathbb{Z}\text{.}\) por lo tanto, no son isomórficos como anillos.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

A continuación considere si\([2\mathbb{Z};+,\cdot]\) y\([3\mathbb{Z}; +, \cdot ]\) son isomórficos. Por el ejemplo anterior, podríamos adivinar que no lo son. Sin embargo, los ítems 1 a 3 de la lista de verificación anteriores no nos ayudan. ¿Por qué? Agregamos otro elemento de la lista de verificación:

4. Encuentra una ecuación que tenga sentido en ambos anillos, que sea solucionable en uno y no en el otro.

La ecuación\(x + x = x \cdot x\text{,}\) o tiene\(2x=x^2\text{,}\) sentido en ambos anillos. Sin embargo, esta ecuación tiene una solución distinta de cero,\(x = 2\text{,}\) en\(2\mathbb{Z}\text{,}\) pero no tiene una solución distinta de cero en\(3\mathbb{Z}\text{.}\) Así tenemos una ecuación solucionable en un anillo que no se puede resolver en el otro, por lo que no pueden ser isomórficas.

Otro concepto universal que se aplica a la teoría de los anillos es el de un subsistema. Un subring de un anillo\([R; +, \cdot ]\) es cualquier subconjunto no vacío\(S\) de\(R\) eso es un anillo bajo las operaciones de\(R\text{.}\) Primero,\(S\) para ser un subring del anillo\(R\text{,}\)\(S\) debe ser un subgrupo del grupo\([R; +]\text{.}\) También,\(S\) debe ser cerrado bajo\(\cdot\text{,}\) satisfacer el derecho asociativo bajo\(\cdot\text{,}\) y satisfacer las leyes distributivas. Pero como\(R\) es un anillo, las leyes asociativas y distributivas son ciertas para cada elemento en\(R\text{,}\) y, en particular, para todos los elementos en\(S\text{,}\) ya que\(S\subseteq R\text{.}\) acabamos de probar el siguiente teorema:

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Un subconjunto no vacío\(S\) de un anillo\([R; + , \cdot]\) es un subring de R si y solo si:

1. \([S; +]\)es un subgrupo del grupo\([R; +]\)
2. \(S\)se cierra bajo multiplicación: si\(a, b \in S\text{,}\) entonces\(a \cdot b \in S\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

El conjunto de enteros pares,\(2\mathbb{Z},\) es un subring del anillo\([\mathbb{Z}; +, \cdot ]\) ya que\([2\mathbb{Z}; +]\) es un subgrupo del grupo\([\mathbb{Z}; +]\) y ya que también está cerrado con respecto a la multiplicación:

\ begin {ecuación*} 2m, 2n\ en 2\ mathbb {Z}\ Rightarrow (2m)\ cdot (2n) =2 (2\ cdot m\ cdot n)\ en 2\ mathbb {Z}\ end {ecuación*}

Varios de los hechos básicos con los que estamos familiarizados son ciertos para cualquier anillo. El siguiente teorema enumera algunas de las propiedades elementales de los anillos.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Some Basic Properties

Deja\([R; +, \cdot]\) ser un anillo, con\(a, b \in R\text{.}\) Entonces

1. \(\displaystyle a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)
2. \(\displaystyle a\cdot (-b) = (-a) \cdot b = -(a\cdot b)\)
3. \(\displaystyle (-a) \cdot (-b) = a\cdot b\)

Prueba

1. \(a \cdot 0 = a \cdot(0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0\text{,}\)la última igualdad válida por el axioma distributivo izquierdo. De ahí que si sumamos\(-(a \cdot 0)\) a ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos\(a \cdot 0 = 0\text{.}\) De igual manera, podemos probar que\(0 \cdot a = 0\text{.}\)
2. Antes de comenzar la prueba de esta parte, recordemos que lo inverso de cada elemento del grupo\([R; +]\) es único. De ahí que la inversa del elemento\(a \cdot b\) sea única y se denota\(-(a \cdot b)\text{.}\) Por lo tanto, para probar que solo\(a\cdot (-b) = -(a \cdot b)\text{,}\) necesitamos mostrar que\(a\cdot (-b)\) invierte\(a\cdot b\text{.}\)
   \ begin {ecuation*}\ begin {split} a\ cdot (-b) +a\ cdot b &= a\ cdot (-b+b)\ quad\ textrm {por la distributiva izquierda axioma}\\ &= a\ cdot 0\ quad\ quad\ quad\ textrm {desde} -b\ textrm {invierte} b\\ & = 0\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ textrm {por la parte 1 de este teorema}\\ end {split}\ end {equation*}
   Del mismo modo, se puede demostrar que\((-a) \cdot b = -(a \cdot b)\text{.}\)
3. Dejamos la prueba de la parte 3 al lector como ejercicio.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Calcularemos\(2 \cdot (-2)\) en el anillo\(\left[\mathbb{Z}_6;+_6,\times_6\right]\text{.}\)\(2 \times_6 (-2) = -\left(2\times_6 2\right)= -4 = 2\text{,}\) ya que la inversa aditiva de 4 (mod 6) es 2. Por supuesto, podríamos haber hecho el cálculo directamente como\(2 \times_6 (-2) = 2 \times_6 4 = 2\)

Dominios Integrales y Divisores Cero

Como lo ilustra el ejemplo anterior, el Teorema\(\PageIndex{2}\) es un modesto comienzo en el estudio del cual las manipulaciones algebraicas son posibles cuando se trabaja con anillos. Un hecho en álgebra elemental que se utiliza frecuentemente en la resolución de problemas es la ley de cancelación. Sabemos que las leyes de cancelación son ciertas en adición para cualquier anillo, basadas en la teoría de grupos. ¿Son ciertas las leyes de cancelación bajo la multiplicación, donde no se puede contar con los axiomas grupales? Más específicamente, vamos a\([R; +, \cdot ]\) ser un anillo y dejar\(a, b, c\in R\) con\(a \neq 0\text{.}\) Cuando podemos cancelar los\(a\)'s en la ecuación\(a \cdot b = a \cdot c\text{?}\) Podemos hacerlo si\(a^{-1}\) existe, pero no podemos asumir que\(a\) tiene un inverso multiplicativo. La respuesta a esta pregunta se encuentra con la siguiente definición y el teorema que sigue.

Definición\(\PageIndex{6}\): Zero Divisor

\([R; +, \cdot ]\)Déjese ser un anillo. Si\(a\) y\(b\) son dos elementos distintos de cero de\(R\) tal que\(a \cdot b = 0\text{,}\) entonces\(a\) y se\(b\) denominan divisores cero.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

1. En el ring\([\mathbb{Z}_8;+_8,\times_8]\text{,}\) los números 4 y 2 son divisores cero ya que\(4 \times_8 2 =0\text{.}\) además, 6 es un divisor cero porque\(6\times_8 4 = 0\text{.}\)
2. En el anillo\(\left[M_{2\times 2}(\mathbb{R}); +, \cdot \right]\) las matrices\(A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) y\(B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\) son cero divisores ya que\(A B = 0\text{.}\)
3. \([\mathbb{Z}; +, \cdot]\)no tiene cero divisores.

Ahora bien, aquí es por qué cero divisores están relacionados con la cancelación.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Multiplicative Cancellation

Las leyes de cancelación multiplicativa se mantienen en un anillo\([R; +, \cdot ]\) si y sólo si no\(R\) tiene cero divisores.

Prueba

Demostramos el teorema usando el axioma de cancelación izquierdo, es decir, que si\(a \neq 0\) y\(a \cdot b = a \cdot c\text{,}\) luego\(b = c\) para todos\(a, b, c\in R\text{.}\) La prueba que usa el axioma de cancelación derecho es su imagen especular.

(⇒) Asumir la ley de cancelación izquierda se sostiene\(R\)\(a\) y asume que y\(b\) son dos elementos en\(R\) tal que\(a \cdot b = 0\text{.}\) Debemos demostrar que\(a = 0\) o bien\(b = 0\text{.}\) Para ello, asumir eso\(a \neq 0\) y demostrar que\(b\) debe ser 0.

\ begin {ecuation*}\ begin {split} a\ cdot b = 0 &\ Rightarrow a\ cdot b = a\ cdot 0\\ &\ Rightarrow b = 0\ quad\ textrm {por la ley de cancelación izquierda}\\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}

(alisco) Por el contrario, supongamos que no\(R\) tiene cero divisores y vamos a probar que la ley de cancelación izquierda debe sostenerse. Para ello, supongamos que\(a,b, c \in R\text{,}\)\(a \neq 0\text{,}\) tal eso\(a \cdot b = a \cdot c\) y demostrar que\(b = c\text{.}\)

\ begin {ecuation*}\ begin {split} a\ cdot b = a\ cdot c &\ Rightarrow a\ cdot b - a\ cdot c=0\\ &\ Rightarrow\ a\ cdot (b-c) =0\\ &\ Rightarrow b-c = 0\ quad\ textrm {ya que no hay divisores cero}\\ &\ Rightarrow b=c\\\ final {dividir}\ final {ecuación*}

De ahí que la única vez que las leyes de cancelación mantienen en un ring es cuando no hay cero divisores. A los anillos conmutativos con unidad en los que las dos condiciones son verdaderas se les da un nombre especial.

Definición \(\PageIndex{7}\): Integral Domain

Un anillo conmutativo con unidad que no contiene divisores cero se denomina dominio integral.

En este capítulo, los dominios Integrales serán denotados genéricamente por la letra\(D\text{.}\) Indicamos los siguientes dos hechos útiles sin pruebas.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si\(m \in \mathbb{Z}_n\text{,}\)\(m\neq 0\text{,}\) entonces\(m\) es un divisor cero si y solo si\(m\) y no\(n\) son relativamente primos; es decir,\(gcd(m, n) \gt 1\text{.}\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si p es un primo, entonces no\(\mathbb{Z}_p\) tiene divisores cero.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

\([\mathbb{Z}; +, \cdot]\text{,}\)\(\left[\mathbb{Z}_p; +_p , \times_p \right]\)con\(p\) un prime,\([\mathbb{Q}; +, \cdot ]\text{,}\)\([\mathbb{R}; +, \cdot ]\text{,}\) y\([\mathbb{C}; +, \cdot ]\) son todos dominios integrales. El ejemplo clave de un dominio integral infinito es\([\mathbb{Z}; +, \cdot ]\text{.}\) De hecho, es de\(\mathbb{Z}\) que se deriva el término dominio integral. Nuestro ejemplo principal de un dominio integral finito es\(\left[\mathbb{Z}_p; +_p , \times_p \right]\text{,}\) cuando\(p\) es primo.

Cerramos esta sección con la verificación de una observación que se hizo en el Capítulo 11, a saber, que el producto de dos sistemas algebraicos puede no ser un sistema algebraico del mismo tipo.

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Ambos\(\left[\mathbb{Z}_2; +_2 , \times_2 \right]\) y\(\left[\mathbb{Z}_3; +_3 , \times_3 \right]\) son dominios integrales. Considera el producto directo\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\text{.}\) Es cierto que\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3\) es un anillo conmutativo con unidad (ver Ejercicio\(\PageIndex{13}\)). Sin embargo,\((1,0)\cdot (0, 2) = (0, 0)\text{,}\) así\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\) tiene cero divisores y por lo tanto no es un dominio integral.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Revisa la definición de anillos para demostrar que los siguientes son anillos. Las operaciones involucradas son las operaciones habituales definidas en los conjuntos. ¿Cuáles de estos anillos son conmutativos? ¿Cuáles son los anillos con unidad? Para los anillos con unidad, determinar la unidad y todas las unidades.

1. \(\displaystyle [\mathbb{Z};+,\cdot ]\)
2. \(\displaystyle [\mathbb{C};+,\cdot ]\)
3. \(\displaystyle [\mathbb{Q};+,\cdot ]\)
4. \(\displaystyle \left[M_{2\times 2}(\mathbb{R});+, \cdot \right]\)
5. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_2;+_2,\times_2\right]\)

Responder

Todos menos el anillo d son conmutativos. Todos los anillos tienen un elemento de unidad. El número 1 es la unidad para todos los anillos excepto d. La unidad para\(M_{2\times 2}(\mathbb{R})\) es la matriz de identidad de dos por dos. Las unidades son las siguientes:

1. \(\displaystyle \{1, -1\}\)
2. \(\displaystyle \mathbb{C}^*\)
3. \(\displaystyle \mathbb{Q}^*\)
4. \(\displaystyle \left\{A \left| A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\neq 0\right.\right\}\)
5. \(\displaystyle \{1\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Siga las instrucciones para el ejercicio\(\PageIndex{1}\) y los siguientes anillos:

1. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_6;+_6,\times_6\right]\)
2. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_5;+_5,\times_5\right]\)
3. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_2{}^3;+,\cdot \right]\)
4. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_8; +_8 , \times_8 \right]\)
5. \(\displaystyle [\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}; +, \cdot ]\)
6. \(\displaystyle \left[\mathbb{R}^2; +, \cdot \right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que los siguientes pares de anillos no son isomórficos:

1. \([\mathbb{Z};+,\cdot ]\)y\(\left[M_{2\times 2}(\mathbb{Z});+,\cdot \right]\)
2. \([3\mathbb{Z};+, \cdot ]\)y\([4\mathbb{Z};+, \cdot ]\text{.}\)

Responder

1. Considerar la conmutatividad
2. Resuelve\(x ^2=3x\) en ambos anillos.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que los siguientes pares de anillos no son isomórficos:

1. \([\mathbb{R}; +, \cdot ]\)y\([\mathbb{Q};+, \cdot ]\text{.}\)
2. \(\left[\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2; +,\cdot \right]\)y\(\left[\mathbb{Z}_4; +, \cdot \right]\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Demostrar que\(3\mathbb{Z}\) es un subring del anillo\([\mathbb{Z}; +, \cdot]\)
2. Encuentra todos los sutrae de\(\mathbb{Z}_8\text{.}\)
3. Encuentra todos los sutrae de\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\text{.}\)

Responder

1. Ya sabemos que\(3\mathbb{Z}\) es un subgrupo del grupo Solo\(\mathbb{Z}\text{.}\) necesitamos mostrar que\(3\mathbb{Z}\) esté cerrado con respecto a la multiplicación. Vamos\(3m, 3n \in 3\mathbb{Z}\text{.}\)\((3m)(3n) = 3(3m n) \in 3\mathbb{Z}\text{,}\) desde\(3 m n \in \mathbb{Z}\text{.}\)
2. Los subring adecuados son\(\{0, 2, 4, 6\}\) y\(\{0, 4\}\text{;}\) mientras\(\{0\}\) y\(\mathbb{Z}_8\) son subring inadecuados.
3. Los sutrae adecuados son\(\{00, 01\}\text{,}\)\(\{00, 10\}\text{,}\) y\(\{00,11\}\text{:}\) mientras\(\{00\}\) y\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\) son sutrae inadecuados.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Verificar la validez del Teorema\(\PageIndex{3}\) encontrando ejemplos de elementos\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{,}\)\(a \neq 0\) en los siguientes anillos, donde\(a \cdot b = a \cdot c\) y sin embargo\(b \neq c\text{:}\)

1. \(\displaystyle \mathbb{Z}_8\)
2. \(\displaystyle M_{2\times 2}(\mathbb{R})\)
3. \(\displaystyle \mathbb{Z}_2{}^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

1. Determine todas las soluciones de la ecuación\(x^2 - 5x + 6 = 0\) en\(\mathbb{Z}\text{.}\) ¿Puede haber más de dos soluciones para esta ecuación (o cualquier ecuación cuadrática) en\(\mathbb{Z}\text{?}\)
2. Encuentra todas las soluciones de la ecuación en la parte a en\(\mathbb{Z}_{12}\text{.}\) ¿Por qué hay más de dos soluciones?

Responder

1. El lado izquierdo de la ecuación factores en el producto\((x-2)(x-3)\text{.}\) Since\(\mathbb{Z}\) es un dominio integral,\(x = 2\) y\(x =3\) son las únicas soluciones posibles.
2. Más de\(\mathbb{Z}_{12}\text{,}\) 2, 3, 6 y 11 son soluciones. Aunque los factores de la ecuación en\((x-2)(x-3)\text{,}\) este producto pueden ser cero sin hacer\(x\) ni 2 ni 3. Por ejemplo. Si\(x\) = 6 obtenemos\((6-2)\times _{12}(6-3)=4 \times _{12}3 = 0\text{.}\) Observe que 4 y 3 son divisores cero.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Resuelve la ecuación\(x^2 +4x + 4 = 0\) en los siguientes anillos. Interpreta 4 como\(1 + 1 + 1 + 1\text{,}\) donde 1 es la unidad del anillo.

1. en\(\mathbb{Z}_8\)
2. en\(M_{2\times 2}(\mathbb{R})\)
3. en\(\mathbb{Z}\)
4. en\(\mathbb{Z}_3\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

La relación “es isomórfica con” en los anillos es una relación de equivalencia. Explique el significado de esta afirmación.

Responder

Dejar\(R_1\text{,}\)\(R_2\text{,}\) y\(R_3\) ser cualquier anillo, entonces

1. \(R_1\)es isomórfico\(R_1\) y por lo tanto “es isomórfico a” es una relación reflexiva en los anillos.
2. \(R_1\)es isomorfa a\(R_2\)\(\Rightarrow\)\(R_2\) es isomorfa a\(R_1\text{,}\) y entonces “es isomorfa a” es una relacion simetrica en anillos,
3. \(R_1\)es isomorfa a\(R_2\text{,}\) y\(R_2\) es isomorfa a\(R_3\) implica que\(R_1\) es isomorfa a\(R_3\text{,}\) y entonces “es isomorfa a” es una relacion transitiva en anillos.

No hemos probado estas propiedades aquí, solo las declaramos. La combinación de estas observaciones implica que “es isomórfico a” es una relación de equivalencia en anillos.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

1. \(R_1\text{,}\)\(R_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(R_n\)Dejen ser anillos. Demostrar las leyes multiplicativas, asociativas y distributivas para el anillo
   \ begin {ecuación*} R=\ underset {i=1} {\ overset {n} {\ times}} R_i\ end {ecuación*}
2. Si cada uno de los\(R_i\) es conmutativo, ¿es R conmutativo?
3. ¿Bajo qué condiciones\(R\) será un anillo con unidad?
4. ¿Cuáles serán las unidades de\(R\) ser cuando tenga una unidad?

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

1. Demostrar que el anillo\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3\) es conmutativo y tiene unidad.
2. Determine todos los divisores cero para el anillo\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3\text{.}\)
3. Dé otro ejemplo que ilustra el hecho de que el producto de dos dominios integrales puede no ser un dominio integral. ¿Hay un ejemplo donde el producto es un dominio integral?

Responder

1. La conmutatividad es clara a partir del examen de una tabla de multiplicación para\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\text{.}\) Más generalmente, podríamos probar un teorema de que el producto directo de dos o más anillos conmutativos es conmutativo. \((1, 1)\)es la unidad de\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\text{.}\)
2. \(\displaystyle \{(m, n) | m = 0 \textrm{ or } n = 0, (m, n) \neq (0, 0)\}\)
3. Otro ejemplo es Nunca\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\text{.}\) obtienes un dominio integral en esta situación. Por la definición un dominio integral\(D\) debe contener un “cero” así que siempre tenemos\((1, 0) \cdot (0, 1) = (0, 0)\) en\(D \times D\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\): Boolean Rings

Dejar\(U\) ser un conjunto no vacío.

1. Verificar que\([\mathcal{P}(U);\oplus ,\cap ]\) sea un anillo conmutativo con unidad.
2. ¿Cuáles son las unidades de este anillo?

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

1. Para cualquier anillo\([R; +, \cdot ]\text{,}\) expandirse\((a + b)(c + d)\) para\(a, b, c, d \in R\text{.}\)
2. Si\(R\) es conmutativo, demuéstralo\((a + b)^2 = a^2 + 2a b + b^2\) para todos\(a, b \in R\text{.}\)

Responder

1. \(\displaystyle (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = a c + b c + a d + b d\)
2. \ begin {ecuación*}\ begin {split} (a + b) (a + b) &= a a a + b a + a b + b b\ quad\ textrm {por parte a}\\ & = a a a + a b + a b + b\ quad\ textrm {desde} R\ textrm {es conmutativo}\\ & =a^2 + 2a b + b^2\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

1. Que\(R\) sea un anillo conmutativo con unidad. Demostrar por inducción que para\(n \geq 1\text{,}\)\((a+b)^n= \sum _{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k}\)
2. Simplificar\((a + b)^5\) en\(\mathbb{Z}_5\).
3. Simplificar\((a + b)^{10}\) en\(\mathbb{Z}_{10}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Demostrar la parte 3 del Teorema\(\PageIndex{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Dejar\(U\) ser un conjunto finito. Demostrar que el anillo booleano\([\mathcal{P}(U);\oplus ,\cap ]\) es isomórfico al anillo\(\left[\mathbb{Z}_2{}^n; +, \cdot \right]\text{.}\) donde\(n =\left| U\right|\text{.}\)