16.2: Campos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Si bien las estructuras algebraicas de anillos y dominios integrales son ampliamente utilizadas y juegan un papel importante en las aplicaciones de las matemáticas, todavía no podemos resolver la ecuación simpleax=b,a≠0 en todos los anillos o en todos los dominios integrales, para el caso. Sin embargo, esta es una de las primeras ecuaciones que aprendemos a resolver en álgebra elemental y su solubilidad es básica para innumerables preguntas. Si deseamos resolver una amplia gama de problemas en un sistema necesitamos al menos todas las leyes verdaderas para anillos y las leyes de cancelación junto con la capacidad de resolver la ecuaciónax=b,a≠0. Resumimos lo anterior en una definición y enumeramos teoremas que colocarán este concepto en el contexto de la sección anterior.
Definición16.2.1: Field
Un campo es un anillo conmutativo con unidad tal que cada elemento distinto de cero tiene una inversa multiplicativa.
En este capítulo, denotamos un campo genéricamente por la letraF. Las letrask,K y tambiénL se utilizan convencionalmente para campos.
Ejemplo16.2.1: Some Common Fields
Los campos infinitos más comunes son[Q;+,⋅],[R;+,⋅], y[C;+,⋅].
Observación16.2.1
Dado que cada campo es un anillo, todos los hechos y conceptos que son ciertos para los anillos son ciertos para cualquier campo.
Teorema16.2.1: Field ⇒ Integral Domain
Cada campo es un dominio integral.
- Prueba
-
La prueba es bastante fácil y un buen ejercicio, por lo que brindamos una pista. Partiendo de la suposición de quea⋅b=0 si asumimos quea≠0 entonces la existencia dea−1 hace posible inferir queb=0.
Por supuesto lo contrario del Teorema no16.2.1 es cierto. Considerar[Z;+,⋅]. Sin embargo, el siguiente teorema prueba lo contrario en campos finitos.
Teorema16.2.2: Finite Integral Domain ⇒ Field
Cada dominio integral finito es un campo.
- Prueba
-
Dejamos los detalles al lector, pero observamos que siD es un dominio integral finito, podemos enumerar todos los elementos comoa1,a2,…,an, dondea1=1. Ahora, para demostrar que cualquieraai tiene un inverso multiplicativo, considera losn productosai⋅a1,ai⋅a2,…,ai⋅an. ¿Qué puedes decir de estos productos?
Sip es un primo,p∣(a⋅b)⇒p∣a or p∣b. Una implicación inmediata de este hecho es el siguiente corolario.
Corolario16.2.1
Si p es un primo, entoncesZp es un campo.
Ejemplo 16.2.2: A Field of Order 4
El corolario nos16.2.1 da una gran cantidad de campos finitos, pero debemos ser cautelosos. Esto no nos dice que todos los campos finitos son de la formaZp,p un primo. Para ver esto, intentemos construir un campo de orden 4.
Primero el campo debe contener las identidades aditiva y multiplicativa, 0 y 1, así, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el campo que estamos buscando es de la formaF={0,1,a,b}. Dado que solo hay dos grupos no isomórficos de orden 4, solo tenemos dos opciones para la tabla de grupos para[F;+]. Si el grupo aditivo es isomórfico paraZ4 entonces dos de los elementos distintos de cero de noF serían su propio inverso aditivo (como son 1 y 3 inZ4). Supongamos queβ∈F es uno de esos elementos yβ+β=γ≠0. un isomorfismo entre los grupos aditivosF yZ4 requeriría queγ enF correspondan con 2 enZ4. Podríamos continuar nuestro argumento e inferir queγ⋅γ=0, produciendo un divisor cero, que nosotros necesidad de evitar siF va a ser un campo. Dejamos el resto del argumento al lector. Podemos así completar la tabla de adiciones para que[F;+] sea isomórfica aZ22:
\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c|cccc} + & 0 & 1 & a & b\\ hline 0 & 0 & 0 & 1 & a & b\\ 1 & 1 & 0 & b & 0 & b & a\ a & a & b & 0 & 1\\ b & a & 1 & 0\\ end {array}\ end {ecuación*}
A continuación, ya que 1 es la unidad deF, la tabla de multiplicación parcial debe verse así:
\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c|cccc}\ cdot & 0 & 1 & a & b\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & a & b\\ a & 0 & a & - & -\ b & 0 & b & - & -\\ end {array}\ end {ecuación*}
De ahí que para completar la tabla, solo tenemos cuatro entradas para encontrar, y, comoF debe ser conmutativa, esto reduce nuestra tarea a rellenar tres entradas. A continuación, cada elemento distinto de cero deF debe tener un inverso multiplicativo único. El inverso dea debe ser ya seaa en sí mismo ob. sia−1=a, entoncesb−1=b. (¿Por qué?) Peroa−1=a⇒a⋅a=1. Y sia⋅a=1, entoncesa⋅b es igual aa ob. En cualquier caso, por la ley de cancelación, obtenemosa=1 ob=1, que es imposible. Por lo tanto nos vemos obligados a concluir quea−1=b yb−1=a. Para determinar los dos productos finales de la tabla, basta señalar que,a⋅a≠a debido a que la ecuaciónx2=x tiene sólo dos soluciones, 0 y 1 en cualquier campo. También sabemos quea⋅a no puede ser 1 porquea no se invierte y no puede ser 0 porque noa puede ser un divisor cero. Esto nos deja con una posible conclusión, quea⋅a=b y de manera similarb⋅b=a. Por lo tanto, nuestra tabla de multiplicación paraF es:
\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c|cccc}\ cdot & 0 & 1 & a & b\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & a & b\\ a & 0 & a & b & 0 & a\\ end {array}\ end {ecuación*}
Dejamos al lector verificar que[F;+,⋅], como se describió anteriormente, es un campo. De ahí que hayamos producido un campo de orden 4. Esta construcción sería difícil de repetir para campos más grandes. En la sección 16.4 introduciremos un enfoque diferente para construir campos que serán mucho más eficientes.
Aunque no todos los campos finitos son isomórficosZp para algunos primosp,, se puede demostrar que cada campoF debe tener:
- un subcampo isomórficoZp para alguna primap, o
- un subcampo isomórfico aQ.
Uno puede pensar en todos los campos como construidos a partir de unoZp oQ.
Ejemplo16.2.3
[R;+,⋅]es un campo, y contiene un subcampo isomórfico a[Q;+,⋅], saber aQ sí mismo.
Ejemplo16.2.4
El campoF que construimos en Ejemplo16.2.2 tiene un subcampo isomórfico aZp para algún primop. De las tablas, observamos que el subconjunto{0,1} de{0,1,a,b} debajo de las operaciones dadas de seF comporta exactamente como[Z2;+2,×2]. Por lo tanto,F tiene un subcampo isomórfico aZ2.
Cerramos esta sección con una breve discusión sobre los campos isomórficos. Nuevamente, como un campo es un anillo, la definición de isomorfismo de campos es la misma que la de anillos. Se puede demostrar que sif es un isomorfismo de campo, entonces esf(a−1)=f(a)−1; decir, las inversas se mapean en inversas bajo cualquier isomorfismo de campo. Una pregunta importante que tratar de resolver es: ¿Cuántos campos finitos no isomórficos diferentes hay de algún orden dado? Sip es un primo, parece claro de nuestras discusiones que todos los campos de ordenp son isomórficos aZp. Pero, ¿cuántos campos no isomórficos hay, si los hay, de orden 4, 6, 8, 9, etc.? La respuesta se da en el siguiente teorema, cuya prueba está fuera del alcance de este texto.
Teorema 16.2.3
- Cualquier campo finitoF tiene ordenpn para un número entero primop y un número entero positivon.
- Para cualquier primop y cualquier entero positivon hay un campo de ordenpn.
- Dos campos de orden cualesquierapn son isomórficos.
Nota16.2.1: Galois
El campo de ordenpn es frecuentemente referido como el campo de orden Galoispn y es denotado porGF(pn). Evariste Galois (1811-32) fue pionero en el campo del álgebra abstracta.

Este teorema nos dice que hay un campo de orden22 = 4, y sólo hay uno de esos campos hasta el isomorfismo. Es decir, todos esos campos de orden 4 son isomórficos a losF, que construimos en el ejemplo anterior.
Ejercicios
Ejercicio16.2.1
Escriba las tablas de suma, multiplicación e “inversa” para cada uno de los siguientes campos'.
- [Z2;+2,×2]
- [Z3;+3,×3]
- [Z5;+5,×5]
Ejercicio16.2.2
Mostrar que el conjunto de unidades de los campos en Ejercicio16.2.1 forman un grupo bajo la operación de la multiplicación del campo dado. Recordemos que una unidad es un elemento que tiene un inverso multiplicativo.
Ejercicio16.2.3
Completar la prueba del Teorema de16.2.2 que cada dominio integral finito es un campo.
Ejercicio16.2.4
Escribe las mesas de operaciones paraZ22. ¿EsZ22 un anillo? ¿Un dominio integral? ¿Un campo? Explique.
Ejercicio16.2.5
Determine todos los valoresx del campo dado que satisfagan la ecuación dada:
- x+1=−1enZ2,Z3 yZ5
- 2x+1=2enZ3 yZ5
- 3x+1=2enZ5
- Contestar
-
- 0 enZ2, 1 enZ3, 3 inZ5
- 2 enZ3, 3 enZ5
- 2 enZ5
Ejercicio16.2.6
- Demostrar que sip yq son primos, entonces nuncaZp×Zq es un campo.
- PuedeZpn ser un campo para cualquier primop y cualquier entero positivon≥2?
Ejercicio16.2.7
Determinar todas las soluciones a las siguientes ecuaciones sobre EsZ2. decir, encontrar todos los elementos deZ2 que satisfagan las ecuaciones.
- x2+x=0
- x2+1=0
- x3+x2+x+1=0
- x3+x+1=0
- Contestar
-
- 0y1
- 1
- 1
- ninguno
Ejercicio16.2.8
Determinar el número de campos diferentes, en su caso, de todos los pedidos del 2 al 15. Siempre que sea posible, describa estos campos a través de un campo conocido.
Ejercicio16.2.9
LetQ(√2)={a+b√2|a,b∈Q}.
- Demostrar que[Q(√2);+,⋅] es un campo.
- Mostrar queQ es un subcampo deQ(√2). Por esta razón,Q(√2) se llama campo de extensión deQ.
- Mostrar que todas las raíces de la ecuación sex2−4x+72=0 encuentran en el campo de extensiónQ(√2).
- ¿Las raíces de la ecuaciónx2−4x+3=0 se encuentran en este campo? Explique.