16.2: Campos

Si bien las estructuras algebraicas de anillos y dominios integrales son ampliamente utilizadas y juegan un papel importante en las aplicaciones de las matemáticas, todavía no podemos resolver la ecuación simple\(a x = b\text{,}\)\(a \neq 0\) en todos los anillos o en todos los dominios integrales, para el caso. Sin embargo, esta es una de las primeras ecuaciones que aprendemos a resolver en álgebra elemental y su solubilidad es básica para innumerables preguntas. Si deseamos resolver una amplia gama de problemas en un sistema necesitamos al menos todas las leyes verdaderas para anillos y las leyes de cancelación junto con la capacidad de resolver la ecuación\(a x = b\text{,}\)\(a \neq 0\text{.}\) Resumimos lo anterior en una definición y enumeramos teoremas que colocarán este concepto en el contexto de la sección anterior.

Definición\(\PageIndex{1}\): Field

Un campo es un anillo conmutativo con unidad tal que cada elemento distinto de cero tiene una inversa multiplicativa.

En este capítulo, denotamos un campo genéricamente por la letra\(F\text{.}\) Las letras\(k\text{,}\)\(K\) y también\(L\) se utilizan convencionalmente para campos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Common Fields

Los campos infinitos más comunes son\([\mathbb{Q}; +, \cdot ]\text{,}\)\([\mathbb{R}; +, \cdot ]\text{,}\) y\([\mathbb{C}; +, \cdot ]\text{.}\)

Observación\(\PageIndex{1}\)

Dado que cada campo es un anillo, todos los hechos y conceptos que son ciertos para los anillos son ciertos para cualquier campo.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Field \(\Rightarrow\) Integral Domain

Cada campo es un dominio integral.

Prueba

La prueba es bastante fácil y un buen ejercicio, por lo que brindamos una pista. Partiendo de la suposición de que\(a\cdot b= 0\) si asumimos que\(a \neq 0\) entonces la existencia de\(a^{-1}\) hace posible inferir que\(b=0\text{.}\)

Por supuesto lo contrario del Teorema no\(\PageIndex{1}\) es cierto. Considerar\([\mathbb{Z}; +, \cdot ]\text{.}\) Sin embargo, el siguiente teorema prueba lo contrario en campos finitos.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Finite Integral Domain \(\Rightarrow\) Field

Cada dominio integral finito es un campo.

Prueba

Dejamos los detalles al lector, pero observamos que si\(D\) es un dominio integral finito, podemos enumerar todos los elementos como\(a_1, a_2, \ldots, a_n\text{,}\) donde\(a_1=1\text{.}\) Ahora, para demostrar que cualquiera\(a_i\) tiene un inverso multiplicativo, considera los\(n\) productos\(a_i \cdot a_1, a_i \cdot a_2, \ldots, a_i \cdot a_n\text{.}\) ¿Qué puedes decir de estos productos?

Si\(p\) es un primo,\(p\mid (a\cdot b) \Rightarrow p\mid a \textrm{ or } p\mid b\text{.}\) Una implicación inmediata de este hecho es el siguiente corolario.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si p es un primo, entonces\(\mathbb{Z}_p\) es un campo.

Ejemplo \(\PageIndex{2}\): A Field of Order 4

El corolario nos\(\PageIndex{1}\) da una gran cantidad de campos finitos, pero debemos ser cautelosos. Esto no nos dice que todos los campos finitos son de la forma\(\mathbb{Z}_p\),\(p\) un primo. Para ver esto, intentemos construir un campo de orden 4.

Primero el campo debe contener las identidades aditiva y multiplicativa, 0 y 1, así, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el campo que estamos buscando es de la forma\(F = \{0, 1, a, b\}\text{.}\) Dado que solo hay dos grupos no isomórficos de orden 4, solo tenemos dos opciones para la tabla de grupos para\([F; +]\text{.}\) Si el grupo aditivo es isomórfico para\(\mathbb{Z}_4\) entonces dos de los elementos distintos de cero de no\(F\) serían su propio inverso aditivo (como son 1 y 3 in\(\mathbb{Z}_4\)). Supongamos que\(\beta \in F\) es uno de esos elementos y\(\beta +\beta =\gamma \neq 0\text{.}\) un isomorfismo entre los grupos aditivos\(F\) y\(\mathbb{Z}_4\) requeriría que\(\gamma\) en\(F\) correspondan con 2 en\(\mathbb{Z}_4\text{.}\) Podríamos continuar nuestro argumento e inferir que\(\gamma \cdot \gamma =0\text{,}\) produciendo un divisor cero, que nosotros necesidad de evitar si\(F\) va a ser un campo. Dejamos el resto del argumento al lector. Podemos así completar la tabla de adiciones para que\([F;+]\) sea isomórfica a\(\mathbb{Z}_2{}^2\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c|cccc} + & 0 & 1 & a & b\\ hline 0 & 0 & 0 & 1 & a & b\\ 1 & 1 & 0 & b & 0 & b & a\ a & a & b & 0 & 1\\ b & a & 1 & 0\\ end {array}\ end {ecuación*}

A continuación, ya que 1 es la unidad de\(F\text{,}\) la tabla de multiplicación parcial debe verse así:

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c|cccc}\ cdot & 0 & 1 & a & b\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & a & b\\ a & 0 & a & - & -\ b & 0 & b & - & -\\ end {array}\ end {ecuación*}

De ahí que para completar la tabla, solo tenemos cuatro entradas para encontrar, y, como\(F\) debe ser conmutativa, esto reduce nuestra tarea a rellenar tres entradas. A continuación, cada elemento distinto de cero de\(F\) debe tener un inverso multiplicativo único. El inverso de\(a\) debe ser ya sea\(a\) en sí mismo o\(b\text{.}\) si\(a^{-1} = a\text{,}\) entonces\(b^{-1}=b\text{.}\) (¿Por qué?) Pero\(a^{-1} = a \Rightarrow a \cdot a = 1\text{.}\) Y si\(a \cdot a = 1\text{,}\) entonces\(a \cdot b\) es igual a\(a\) o\(b\text{.}\) En cualquier caso, por la ley de cancelación, obtenemos\(a = 1\) o\(b = 1\text{,}\) que es imposible. Por lo tanto nos vemos obligados a concluir que\(a^{-1} = b\) y\(b^{-1} = a\text{.}\) Para determinar los dos productos finales de la tabla, basta señalar que,\(a \cdot a \neq a\) debido a que la ecuación\(x^2=x\) tiene sólo dos soluciones, 0 y 1 en cualquier campo. También sabemos que\(a\cdot a\) no puede ser 1 porque\(a\) no se invierte y no puede ser 0 porque no\(a\) puede ser un divisor cero. Esto nos deja con una posible conclusión, que\(a \cdot a = b\) y de manera similar\(b \cdot b = a\text{.}\) Por lo tanto, nuestra tabla de multiplicación para\(F\) es:

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c|cccc}\ cdot & 0 & 1 & a & b\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & a & b\\ a & 0 & a & b & 0 & a\\ end {array}\ end {ecuación*}

Dejamos al lector verificar que\([F; +, \cdot ]\text{,}\) como se describió anteriormente, es un campo. De ahí que hayamos producido un campo de orden 4. Esta construcción sería difícil de repetir para campos más grandes. En la sección 16.4 introduciremos un enfoque diferente para construir campos que serán mucho más eficientes.

Aunque no todos los campos finitos son isomórficos\(\mathbb{Z}_p\) para algunos primos\(p\text{,}\), se puede demostrar que cada campo\(F\) debe tener:

• un subcampo isomórfico\(\mathbb{Z}_p\) para alguna prima\(p\text{,}\) o
• un subcampo isomórfico a\(\mathbb{Q}\text{.}\)

Uno puede pensar en todos los campos como construidos a partir de uno\(\mathbb{Z}_p\) o\(\mathbb{Q}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\([\mathbb{R}; +, \cdot]\)es un campo, y contiene un subcampo isomórfico a\([\mathbb{Q}; +, \cdot]\text{,}\) saber a\(\mathbb{Q}\) sí mismo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

El campo\(F\) que construimos en Ejemplo\(\PageIndex{2}\) tiene un subcampo isomórfico a\(\mathbb{Z}_p\) para algún primo\(p\text{.}\) De las tablas, observamos que el subconjunto\(\{0, 1\}\) de\(\{0, 1, a, b\}\) debajo de las operaciones dadas de se\(F\) comporta exactamente como\(\left[\mathbb{Z}_2; +_2,\times _2\right]\text{.}\) Por lo tanto,\(F\) tiene un subcampo isomórfico a\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)

Cerramos esta sección con una breve discusión sobre los campos isomórficos. Nuevamente, como un campo es un anillo, la definición de isomorfismo de campos es la misma que la de anillos. Se puede demostrar que si\(f\) es un isomorfismo de campo, entonces es\(f\left(a^{-1} \right) = f(a)^{-1}\text{;}\) decir, las inversas se mapean en inversas bajo cualquier isomorfismo de campo. Una pregunta importante que tratar de resolver es: ¿Cuántos campos finitos no isomórficos diferentes hay de algún orden dado? Si\(p\) es un primo, parece claro de nuestras discusiones que todos los campos de orden\(p\) son isomórficos a\(\mathbb{Z}_p\text{.}\) Pero, ¿cuántos campos no isomórficos hay, si los hay, de orden 4, 6, 8, 9, etc.? La respuesta se da en el siguiente teorema, cuya prueba está fuera del alcance de este texto.

Teorema \(\PageIndex{3}\)

1. Cualquier campo finito\(F\) tiene orden\(p^n\) para un número entero primo\(p\) y un número entero positivo\(n\text{.}\)
2. Para cualquier primo\(p\) y cualquier entero positivo\(n\) hay un campo de orden\(p^n\).
3. Dos campos de orden cualesquiera\(p^n\) son isomórficos.

Nota\(\PageIndex{1}\): Galois

El campo de orden\(p^n\) es frecuentemente referido como el campo de orden Galois\(p^n\) y es denotado por\(GF(p^n)\text{.}\) Evariste Galois (1811-32) fue pionero en el campo del álgebra abstracta.

Figura\(\PageIndex{1}\): Sello francés en honor a Evariste Galois

Este teorema nos dice que hay un campo de orden\(2^2\textrm{ = 4}\text{,}\) y sólo hay uno de esos campos hasta el isomorfismo. Es decir, todos esos campos de orden 4 son isomórficos a los\(F\text{,}\) que construimos en el ejemplo anterior.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escriba las tablas de suma, multiplicación e “inversa” para cada uno de los siguientes campos'.

1. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_2; +_2, \times _2\right]\)
2. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_3; +_3, \times _3\right]\)
3. \(\displaystyle \left[\mathbb{Z}_5; +_5, \times _5\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Mostrar que el conjunto de unidades de los campos en Ejercicio\(\PageIndex{1}\) forman un grupo bajo la operación de la multiplicación del campo dado. Recordemos que una unidad es un elemento que tiene un inverso multiplicativo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Completar la prueba del Teorema de\(\PageIndex{2}\) que cada dominio integral finito es un campo.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe las mesas de operaciones para\(\mathbb{Z}_2{}^2\text{.}\) ¿Es\(\mathbb{Z}_2{}^2\) un anillo? ¿Un dominio integral? ¿Un campo? Explique.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Determine todos los valores\(x\) del campo dado que satisfagan la ecuación dada:

1. \(x + 1 = -1\)en\(\mathbb{Z}_2\),\(\mathbb{Z}_3\) y\(\mathbb{Z}_5\)
2. \(2x + 1 = 2\)en\(\mathbb{Z}_3\) y\(\mathbb{Z}_5\)
3. \(3x + 1 = 2\)en\(\mathbb{Z}_5\)

Contestar

1. 0 en\(\mathbb{Z}_2\text{,}\) 1 en\(\mathbb{Z}_3\text{,}\) 3 in\(\mathbb{Z}_5\)
2. 2 en\(\mathbb{Z}_3\text{,}\) 3 en\(\mathbb{Z}_5\)
3. 2 en\(\mathbb{Z}_5\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Demostrar que si\(p\) y\(q\) son primos, entonces nunca\(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q\) es un campo.
2. Puede\(\mathbb{Z}_p{}^n\) ser un campo para cualquier primo\(p\) y cualquier entero positivo\(n \geq 2\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Determinar todas las soluciones a las siguientes ecuaciones sobre Es\(\mathbb{Z}_2\text{.}\) decir, encontrar todos los elementos de\(\mathbb{Z}_2\) que satisfagan las ecuaciones.

1. \(\displaystyle x^2 + x = 0\)
2. \(\displaystyle x^2 + 1 = 0\)
3. \(\displaystyle x^3 + x^2 + x + 1 = 0\)
4. \(\displaystyle x^3 + x + 1 = 0\)

Contestar

1. \(0\)y\(1\)
2. \(1\)
3. \(1\)
4. ninguno

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Determinar el número de campos diferentes, en su caso, de todos los pedidos del 2 al 15. Siempre que sea posible, describa estos campos a través de un campo conocido.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Let\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) = \left\{\left.a + b\sqrt{2}\right| a, b \in \mathbb{Q}\right\}\text{.}\)

1. Demostrar que\(\left[\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right); +, \cdot \right]\) es un campo.
2. Mostrar que\(\mathbb{Q}\) es un subcampo de\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\text{.}\) Por esta razón,\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\) se llama campo de extensión de\(\mathbb{Q}\text{.}\)
3. Mostrar que todas las raíces de la ecuación se\(x^2 - 4x+\frac{7}{2} = 0\) encuentran en el campo de extensión\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\text{.}\)
4. ¿Las raíces de la ecuación\(x^2 -4 x+ 3 = 0\) se encuentran en este campo? Explique.