16.5: Serie Power

Definición

Anteriormente en este capítulo, encontramos que un polinomio de grado\(n\) sobre un anillo\(R\) es una expresión de la forma

\ begin {ecuación*} f (x) =\ suma_ {i=0} ^n a_i x^i=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ cdots +a_n x^n\ end {ecuación*}

donde\(n\geq 0\text{,}\) cada uno de los\(a_i\) son elementos de\(R\) y\(a_n\neq 0\text{.}\) En la Sección 8.5 definimos una función generadora de una secuencia\(s\) con términos\(s_0\text{,}\)\(s_1\text{,}\)\(s_2, \ldots\) como la suma infinita

\ begin {ecuación*} G (s, z) =\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} s_i z^i=s_0 + s_1 z+s_2 z^2+\ cdots\ end {ecuación*}

La principal diferencia entre estas dos expresiones, sin tener en cuenta la notación, es que esta última es una expresión infinita y la primera es una expresión finita. En esta sección extenderemos el álgebra de polinomios al álgebra de expresiones infinitas como las\(G(s, z)\text{,}\) que se denominan series de poder.

Definición \(\PageIndex{1}\): Power Series

\([R; +,\cdot ]\)Déjese ser un anillo. Una serie de potencias\(R\) es una expresión de la forma

\ begin {ecuación*} f (x) =\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} a_i x^i=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ cdots\ final {ecuación*}

donde\(a_1, a_2, a_3,\ldots \in R\text{.}\) El conjunto de todas esas expresiones se denota por\(R\text{.}\)

Nuestra primera observación en nuestra comparación de\(R[x]\) y\(R\) es que cada polinomio es una serie de potencias y así\(R[x]\subseteq R\text{.}\) Esto es cierto porque un polinomio\(a_0 + a_1 x+a_2 x^2+ \cdots +a_n x^n\) de grado\(n\) en\(R[x]\text{,}\) puede pensarse como una expresión infinita donde\(a_i=0\) para\(i > n\text{.}\) Además, vamos a ver que\(R\) es un anillo con subring\(R[x]\text{.}\)

\(R\)se le da una estructura de anillo definiendo suma y multiplicación en series de potencia como lo hicimos\(R[x]\text{,}\) con la modificación de que, dado que estamos tratando con expresiones infinitas, las sumas y productos seguirán siendo expresiones infinitas que podemos determinar término por término, como se hizo en con polinomios.

Definición\(\PageIndex{2}\): Power Series Addition

Serie de potencia dada

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} f (x) =\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} a_i x^i=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ cdots\ textrm {y}\\ g (x) =\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} b_i x^i=b_0 + b_1 x+b_2 x^2+\ cdots\\\ end {array}\ end {ecuación*}

su suma es

\ begin {ecuación*}\ comenzar {dividir} f (x) +g (x) &=\ suma_ {i=0} ^ {\ infty}\ izquierda (a_i+b_i\ derecha) x^i\ &= (a_0 +b_0) + (a_1+b_1) x+ (a_2+b_2) x^2+ (a_3+b_3) x^3+\ cdots\\\ end {dividir}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Definición\(\PageIndex{3}\): Power Series Multiplication

Serie de potencia dada

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} f (x) =\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} a_i x^i=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ cdots\ textrm {y}\\ g (x) =\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} b_i x^i=b_0 + b_1 x+b_2 x^2+\ cdots\\\ end {array}\ end {ecuación*}

su producto es

\ begin {equation*}\ begin {split} f (x)\ cdot g (x) &=\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} d_i x^i\ quad\ textrm {donde} d_i=\ suma_ {j=0} ^i a_j b_ {i-j}\\ &= (a_0\ cdot c_0) + (a_0\ punto b_1+a_1\ cdot b_0) x+ (a_0\ cdot b_2+a_1\ cdot b_1+a_2\ cdot b_0) x^2+\ cdots\\ final {dividir}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Power Series Calculations

Vamos

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} f (x) =\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} i x^i=0 + 1 x+2 x^2+3x^3+\ cdots\ quad\ textrm {y}\\ g (x) =\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} 2^i x^i=1 +2 x+4 ^2+8x^3+\ cdots\\\ end {array}\ end {ecuación*}

ser elementos en\(\mathbb{Z}\text{.}\) Vamos a calcular\(f(x) + g(x)\) y\(f(x)\cdot g(x)\text{.}\) Primero la suma:

\ begin {equation*}\ begin {split} f (x) + g (x) & =\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} i x^i+\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} 2^i x^i\\ &=\ sum_ {i=0} ^ {\ infty}\ izquierda (i+2 ^i\ derecha) x^i\\ & =1+3x+6x^2+11x^3+\ cdots\\\ end {split}\ end {ecuación*}

El producto está un poco más involucrado:

\ begin {ecuation*}\ begin {split} f (x)\ cdot g (x) & =\ left (\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} i x^i\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ suma_ {i=0} ^ {\ infty} 2^i x^i\ derecha)\\ &=\ izquierda (0+ 1 x+2 x^2+3x^3+\ cdots\ derecha)\ cdot\ izquierda (1 +2 x+4 x^2+8x^3+\ cdots\ derecha)\\ &=0\ cdot 1 + (0\ cdot 2 + 1\ cdot 1) x + (0\ cdot 4+1\ cdot 2+2\ cdot 1) x^2+\ cdots\\ &= x + 4 x^2+ 11 x^3 +\ cdots\\ &=\ sum_ {i=0} ^ {\ infty} d_i x^i\ quad\ quad\ textrm {donde} d_i=\ suma_ {j=0} ^i j 2^ {i-j}\\ final {split}\ final {ecuación*}

Podemos calcular cualquier valor de\(d_i\text{,}\) con la cantidad de tiempo/trabajo requerido aumentando a medida que\(i\) aumenta.

def d(i):
    s=0
    for j in range(1,i+1):
        s+=j*2^(i-j)
    return s
d(20)

\(d_i\)Sería deseable una expresión de forma cerrada para. Utilizando técnicas del Capítulo 8, la fórmula es la\(d_i=2^{i+1}-i-2\text{,}\) que dejamos al lector derivar. De ahí que,\(f(x)\cdot g(x) =\sum_{i=0}^{\infty } (2^{i+1}-i-2) x^i\)

Inmuebles, Unidades

Hemos visto que la suma y multiplicación en\(R\) es prácticamente idéntica a la de\(R[x]\text{.}\) El siguiente teorema paralelos Teorema 16.3.1, estableciendo las propiedades de anillo de\(R\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\): Properties of Power Series

\([R; +, \cdot ]\)Déjese ser un anillo. Entonces:

1. \(R\)es un anillo bajo las operaciones de suma y multiplicación de series de potencia, que dependen de las operaciones en R.
2. Si R es un anillo conmutativo, entonces\(R\) es un anillo conmutativo.
3. Si R es un anillo con unidad,\(1\text{,}\) entonces\(R\) es un anillo con unidad (la unidad en R [x] es\(1 + 0x + 0 x^2 + \cdots\)).
4. Si R es un dominio integral, entonces\(R\) es un dominio integral.
5. Si F es un campo, entonces no\(F\) es un campo. Sin embargo,\(F\) es un dominio integral.

Estamos más interesados en la situación en la que el conjunto de coeficientes es un campo. El teorema anterior indica que cuando\(F\) es un campo,\(F\) es un dominio integral. Una razón que no\(F\) es un campo es la misma que aquella que podemos citar\(F[x]\text{,}\) a saber que\(x\) no tiene inversa multiplicativa en\(F\text{.}\)

Con todas estas similitudes, uno podría preguntarse si los anillos de polinomios y series de potencia sobre un campo son isomórficos. Resulta que no lo son. La diferencia entre\(F[x]\) y\(F\) se hace evidente cuando se estudia qué elementos son unidades en cada uno. Primero probamos que las únicas unidades en\(F[x]\) son las constantes distintas de cero; es decir, los elementos distintos de cero de\(F\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{2}\): Polynomial Units

Que\([F; +, \cdot ]\) sea un campo. \(f(x)\)El polinomio es una unidad en\(F[x]\) si y solo si es un polinomio constante distinto de cero.

Prueba

(⇒) Dejar\(f(x)\) ser una unidad en\(F[x]\text{.}\) Entonces\(f(x)\) tiene un inverso multiplicativo, llamarlo\(g(x)\text{,}\) tal que\(f(x) \cdot g(x) = 1\text{.}\) De ahí, el\(\deg (f(x)\cdot g(x)) = \deg (1) = 0\text{.}\) Pero\(\deg (f(x)\cdot g(x)) = \deg f(x) + \deg g(x)\text{.}\) Así\(\deg f(x) + \deg g(x) = 0\text{,}\) y como el grado de un polinomio es siempre no negativo, esto sólo puede suceder cuando el\(\deg f(x) = \deg g(x) = 0\text{.}\) Por lo tanto,\(f(x)\) es un constante, un elemento de la\(F\text{,}\) cual es una unidad si y sólo si es distinta de cero.

(∙) Si\(f(x)\) es un elemento distinto de cero\(F\text{,}\) entonces es una unidad ya que\(F\) es un campo. Así tiene una inversa, que también está en\(F[x]\) y así\(f(x)\) es una unidad de\(F[x]\text{.}\)

Antes de proceder a categorizar las unidades en\(F\text{,}\) recordamos al lector que dos series de potencia\(a_0 + a_1 x+a_2 x^2+ \cdots\) y\(b_0 + b_1 x+b_2 x^2+ \cdots\) son iguales si y solo si los coeficientes correspondientes son iguales,\(a_i=b_i\) para todos\(i \geq 0\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{3}\): Power Series Units

Que\([F; +, \cdot ]\) sea un campo. Entonces\(f(x)=\sum_{i=0}^{\infty } a_i x^i\) es una unidad de\(F\) si y solo si\(a_0\neq 0\text{.}\)

Prueba

(⇒) Si\(f(x)\) es una unidad de\(F\text{,}\) entonces existe\(g(x)=\sum_{i=0}^{\infty } b_i x^i\) en\(F\) tal que

\ begin {ecuación*}\ begin {split} f (x)\ cdot g (x) &=\ izquierda (a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ cdots\ derecha)\ cdot\ izquierda (b_0 + b_1 x+b_2 x^2+\ cdots\ derecha)\\ & =1\\ & = 1 + 0x + 0x^2+\ cdots\\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}

Dado que los coeficientes correspondientes en la ecuación anterior deben ser iguales,\(a_0\cdot b_0=1\text{,}\) lo que implica que\(a_0\neq 0\text{.}\)

(∙) Supongamos que\(a_0\neq 0\text{.}\) Para probar que\(f(x)\) es una unidad de\(F\) necesitamos encontrar\(g(x)=\sum_{i=0}^{\infty } b_i x^i\) en\(F\) tal que\(f(x) \cdot g(x) =\sum_{i=0}^{\infty } d_i x^i= 1\text{.}\) Si usamos la fórmula para los coeficientes\(f(x) \cdot g(x)\) y equiparamos coeficientes, obtenemos

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {lll} d_0= a_0\ cdot b_0= 1 &\ Rightarrow & b_0=a_0 {} ^ {-1}\\ d_1= a_0\ cdot b_1+ a_1\ cdot b_0=0&\ Rightarrow & b_1= -a_0 {} ^ {-1}\ cdot izquierda\ (a_1\ cdot b_0\ derecha)\\ d_2=a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0=0 &\ fila derecha & b_2=-a_0 {} ^ {-1}\ cdot\ izquierda (a_1\ cdot b_1+ a_2\ cdot b_0\ cdot b_0\ derecha)\\\ vdots &\ vdots &\ vdots\\ d_s= a_0\ cdot b_s+ a_1\ cdot b_ {s-1} +\ cdots +a_s\ cdot b_0 =0 &\ Rightarrow &b_s= -a_0 {} ^ {-1}\ cdot\ cdot\ izquierda (a_1\ cdot b_ {s-1} + a_2\ cdot b_ {s-2} +\ cdots +a_s\ cdot b_0\ derecha)\\ final {array}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto, la serie de potencias\(\sum_{i=0}^{\infty } b_i x^i\) es una expresión cuyos coeficientes se encuentran en\(F\) y que satisface la afirmación\(f(x) \cdot g(x) = 1\text{.}\) Por lo tanto,\(g(x)\) es la inversa multiplicativa de\(f(x)\) y\(f(x)\) es una unidad.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(f(x) =1 + 2x + 3 x^2+ 4 x^3+ \cdots =\sum_{i=0}^{\infty } (i+1) x^i\) ser un elemento de\(\mathbb{Q}\text{.}\) Entonces, por Teorema\(\PageIndex{3}\), ya que\(a_0=1\neq 0\text{,}\)\(f(x)\) es una unidad y tiene un inverso, llamarlo\(g(x)\text{.}\) Para computar\(g(x)\text{,}\) seguimos el procedimiento esbozado en el teorema anterior. Usando las fórmulas para el\(b_i'\) s, obtenemos

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} b_0 = 1\\ b_1= -1 (2\ cdot 1) =-2\\ b_2= -1 (2\ cdot (-2) + 3\ cdot 1) = 1\\ b_3= -1 (2\ cdot 1 + 3\ cdot (-2) +4\ cdot 1) =0\ b_4= -1 (2\ cdot 0+3\ cdot 1 + 4\ cdot (-2) +5\ cdot 1) =0\\ b_5= -1 (2\ cdot 0+3\ cdot 0+4\ cdot (1) +5\ cdot (-2) +6\ cdot 1) =0\\ vdots\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Para\(s \geq 3\text{,}\) nosotros tenemos

\ begin {ecuación*} b_s= -1 (2\ cdot 0 + 3\ cdot 0+\ cdots (s-2)\ cdot 0+ (s-1)\ cdot 1+s\ cdot (-2) + (s+1)\ cdot 1) =0\ end {ecuación*}

Por lo tanto,\(g(x) = 1 - 2x +x^2\) es la inversa multiplicativa de\(f(x)\text{.}\)

Ciertamente\(F\) contiene una mayor variedad de unidades que\(F[x]\text{.}\) Sin embargo, no\(F\) es un campo, ya que no\(x\in F\) es una unidad. Entonces, respecto a la estructura algebraica de\(F\text{,}\) sabemos que es un dominio integral que contiene\(F[x]\text{.}\) Si permitimos que nuestra serie de potencias tome exponentes negativos; es decir, considerar expresiones de la forma\(f(x) =\sum_{i=-\infty }^{\infty } a_i x^i\) donde todos menos un número finito de términos con un índice negativo igual a cero. Estas expresiones se denominan series de potencia extendida. El conjunto de todas esas expresiones es un campo, llámalo\(E\text{.}\) Este conjunto sí contiene, por ejemplo, la inversa de la\(x\text{,}\) cual es\(x^{-1}\text{.}\) Se puede demostrar que cada elemento distinto de cero de\(E\) es una unidad.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i\) y\(g(x)=\sum_{i=0}^{\infty } b_i x^i\) ser elementos de\(R\text{.}\) Let\(f(x) \cdot g(x) =\sum_{i=0}^{\infty } d_i x^i= 1\text{.}\) Aplicar álgebra básica para\(\left(a_0 + a_1 x+a_2 x^2+ \cdots \right)\cdot \left(b_0 + b_1 x+b_2 x^2+ \cdots \right)\) derivar la fórmula\(d_s= \sum_{i=0}^s a_i b_{s-i}\) para los coeficientes de\(f(x) \cdot g(x)\text{.}\) Por lo tanto, para mostrar que\(f(x) \cdot g(x) =\sum_{s=0}^{\infty } \left(\sum_{i=0}^s a_i b_{s-i}\right) x^s\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

1. Demostrar que para cualquier dominio\(D\text{,}\) integral se puede probar lo siguiente:\(f(x)=\sum_{i=0}^{\infty } a_i x^i\) es una unidad de\(D\) si y solo si\(a_0\) es una unidad en\(D\text{.}\)
2. Comparar la afirmación en la parte a con la del Teorema\(\PageIndex{3}\).
3. Dé un ejemplo de la declaración en la parte a en\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice la fórmula del producto para verificar que la expresión\(g(x)\) de Ejemplo\(\PageIndex{2}\) es de hecho la inversa de\(f(x)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Determinar la inversa de\(f(x) = 1 + x + x^2 + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty } x^i\) in\(\mathbb{Q}\text{.}\)
2. Repetir la parte a con\(f(x)\) tomado en\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)
3. Utiliza el método esbozado en el Capítulo 8 para mostrar que la serie de potencias\(f(x) = \sum_{i=0}^{\infty } x^i\) es la función generadora racional\(\frac{1}{1-x}\text{.}\) ¿Cuál es la inversa de esta función? Compara tus resultados con los de la parte a.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Determinar la inversa de\(h(x) = \sum_{i=0}^{\infty } 2^i x^i\) in\(\mathbb{Q}\text{.}\)
2. Utilice los procedimientos del Capítulo 8 para encontrar una función generadora racional para\(h(x)\) en la parte a. encontrar el inverso multiplicativo de esta función.

Responder

1. \ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} b_0= 1\\ b_1= (-1) (2\ cdot 1) = -2\\ b_2= (-1) (2\ cdot (-2) +4\ cdot 1) = 0\\ b_3= (-1) (2\ cdot 0 + 4\ cdot (-2) +8\ cdot 1) =0\\\ end {array}\ end {equation*}
   Todos los demás términos son cero. De ahí que,\(f(x)^{-1}= 1-2x\)
2. \ begin {ecuación*}\ begin {split} f (x) &=1+2x + 2^2x^2+ 2^3x^3+\ cdots\\ &= (2x) ^0 + (2x) ^1 + (2x) ^2+ (2x) ^3+\ cdots\\ &=\ frac {1} {1-2x}\\ end {split}\ end {ecuación*}
   El último paso se desprende de la fórmula para la suma de una serie geométrica.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(a(x) = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \cdots =\sum_{i=0}^{\infty } 3^i x^i\) y\(b(x) = 1 + x + x^2+ x^3+\cdots =\sum_{i=0}^{\infty } x^i\) ambos en\(\mathbb{R}\text{.}\)

1. ¿Cuáles son los primeros cuatro términos (contando el término constante como\(0^{\textrm{ th}}\) término) de\(a(x) + b(x)\text{?}\)
2. Buscar una expresión de forma cerrada para\(a(x)\text{.}\)
3. ¿Cuáles son los primeros cuatro términos de\(a(x) b(x)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Escribir como una serie de potencia extendida:

1. \(\displaystyle \left(x^4-x^5\right)^{-1}\)
2. \(\displaystyle \left(x^2-2x^3+x^4\right)^{-1}\)

Responder

1. \ begin {equation*}\ begin {split}\ left (x^4-x^5\ right) ^ {-1} & = (x^4 (1-x)) ^ {-1}\\ &=x^ {-4}\ frac {1} {1-x}\\ & =x^ {-4}\ izquierda (\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} x^k\ derecha)\\ &=\ sum_ {k=-4} ^ {\ infty} x^k\\\ final {dividir}\ texto {.} \ end {ecuación*}
2. \ begin {ecuación*}\ comenzar {dividir}\ izquierda (x^4-2 x^3+x^2\ derecha) ^ {-1} & =\ izquierda (x^2\ izquierda (x^2-2 x+1\ derecha)\ derecha) ^ {-1}\\ &=x^ {-2}\ izquierda (1-2x+x^2\ derecha) ^ {-1}\\ & =x^ {-2} izquierda\ (\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} (k+1) x^k\ derecha)\\ &=\ suma_ {k=-2} ^ {\ infty} (k+2) x^k\\ final {dividir}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Derivar la expresión de forma cerrada\(d_i = 2^{i+1}-i -2 \) para los coeficientes del producto\(f(x)\cdot g(x)\) en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).