16.4: Extensiones de Campo

Desde álgebra de secundaria nos damos cuenta de que resolver una ecuación polinómica significa encontrar sus raíces (o, de manera equivalente, encontrar los ceros de los polinomios). Del Ejemplo 16.3.6 y del Ejemplo 16.3.8 sabemos que los ceros pueden no estar en el campo de tierra dado. De ahí que resolver un polinomio realmente implica dos pasos: primero, encontrar los ceros, y segundo, encontrar el campo en el que se encuentran los ceros. Por el bien de la economía nos gustaría que este campo fuera el campo más pequeño que contiene todos los ceros del polinomio dado. Para ilustrar este concepto, reconsideremos los ejemplos de la sección anterior.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Extending the Rational Numbers

Deje\(f(x)=x^2 - 2 \in \mathbb{Q}[x]\text{.}\) Es importante recordar que estamos considerando\(x^2-2\) sobre\(\mathbb{Q}\text{,}\) ningún otro campo. Nos gustaría encontrar todos los ceros de\(f(x)\) y el campo más pequeño, llamarlo\(S\) por ahora, que los contenga. Los ceros\(x= \pm \sqrt{2}\text{,}\) no son ninguno de los cuales es un elemento de\(\mathbb{Q}\text{.}\) El conjunto que\(S\) buscamos debe satisfacer las condiciones:

1. \(S\)debe ser un campo.
2. \(S\)debe contener\(\mathbb{Q}\) como subcampo,
3. \(S\)debe contener todos los ceros de\(f(x)=x^2 - 2\)

Por la última condición\(\sqrt{2}\) debe ser un elemento de\(S\text{,}\) y, si\(S\) va a ser un campo, la suma, producto, diferencia y cociente de elementos\(S\) debe estar en\(S\text{.}\) Así operaciones que involucran este número, como\(\sqrt{2}\text{,}\)\(\left(\sqrt{2}\right)^2\text{,}\)\(\left(\sqrt{2}\right)^3\text{,}\)\(\sqrt{2}+\sqrt{2}\text{,}\)\(\sqrt{2}-\sqrt{2}\text{,}\) y \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)todos deben ser elementos de\(S\text{.}\) Además, ya que\(S\) contiene\(\mathbb{Q}\) como subconjunto, cualquier elemento de\(\mathbb{Q}\) combinado con\(\sqrt{2}\) bajo cualquier operación de campo debe ser un elemento de\(S\text{.}\) Por lo tanto, cada elemento de la forma\(a + b \sqrt{2}\text{,}\) donde\(a\) y\(b\) puede ser cualquier elemento en\(\mathbb{Q}\text{,}\) es un elemento de\(S\text{.}\) Dejamos al lector demostrar que\(S =\{a + b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}\) es un campo (ver Ejercicio 1 de esta sección). Observamos que el segundo cero de\(x^2 - 2\text{,}\) a saber\(-\sqrt{2}\text{,}\) es un elemento de este conjunto. Para ver esto, simplemente tomar\(a = 0\) y\(b = -1\text{.}\) El campo\(S\) se denota frecuentemente como\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\text{,}\) y se le conoce como un campo de extensión de\(\mathbb{Q}\text{.}\) Tenga en cuenta que los\(x^2-2=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\) factores polinómicos en factores lineales, o se divide, en\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)[x]\text{;}\) esto es, todos coeficientes de ambos factores son elementos del campo\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Extending \(\mathbb{Z}_2\)

Consideremos el polinomio\(g(x) = x^2 + x + 1 \in \mathbb{Z}_2[x]\text{.}\) Vamos a repetir los pasos del ejemplo anterior al factor\(g(x)\text{.}\) Primero,\(g(0) = 1\) y\(g(1) = 1\text{,}\) así ninguno de los elementos de\(\mathbb{Z}_2\) son ceros de\(g(x)\text{.}\) Por lo tanto, los ceros de\(g(x)\) deben estar en un campo de extensión de\(\mathbb{Z}_2\text{.}\) Por Teorema 16.3.4 ,\(g(x) = x^2 + x + 1\) puede tener como máximo dos ceros. Dejar\(a\) ser un cero de\(g(x)\text{.}\) Entonces el campo\(S\) de extensión de\(\mathbb{Z}_2\) debe contener, además\(a\text{,}\)\(a \cdot a = a^2\text{,}\)\(a^3\text{,}\)\(a + a\text{,}\)\(a+1\text{,}\) y así sucesivamente. Pero, ya que\(g(a) = 0\text{,}\) tenemos\(a^2 + a + 1 = 0\text{,}\) o equivalentemente,\(a^2= -(a+1)=a+1\) (recuerden, estamos trabajando en una extensión de\(\mathbb{Z}_2\)). Podemos utilizar esta relación de recurrencia para reducir poderes de\(a\text{.}\) Hasta el momento nuestro campo de extensión,\(S\text{,}\) de\(\mathbb{Z}_2\) debe contener el conjunto\(\{0, 1, a, a + 1\}\text{,}\) y pretendemos que esta la extensión completa. \(S\)Para ser un campo, todas las sumas posibles, productos, y diferencias de elementos en\(S\) deben estar en\(S\text{.}\) Probemos algunos:\(a + a = a\left(1 +_2 1\right)=a\cdot 0=0\in S\) Ya\(a+a=0\text{,}\)\(-a = a\text{,}\) que es en\(S\text{.}\) Sumar tres\(a\) juntos no nos da nada nuevo:\(a + a + a = a\in S\) De hecho, \(n a\)está en todos\(S\) los enteros positivos posibles\(n\text{.}\) Siguiente,

\ begin {ecuación*}\ begin {split} a^3 & = a^2\ cdot a\\ & = (a +1)\ cdot a\\ & = a^2+ a\\ & = (a+1) +a\\ & =1\\ end {split}\ end {ecuación*}

Por lo tanto,\(a^{-1}= a+1 = a^2\) y\((a+1)^{-1}=a\text{.}\)

No es difícil ver que\(a^n\) está en\(S\) para todo positivo\(n\text{.}\) No\(S\) contiene todos los ceros de\(x^2 + x + 1\text{?}\) Recuerda,\(g(x)\) puede tener a lo sumo dos ceros distintos y llamamos a uno de ellos\(a\text{,}\) así que si hay un segundo, debe ser\(a + 1\text{.}\) Para ver si\(a + 1\) es de hecho un cero de cómputos\(g(x)\text{,}\) simples\(f(a + 1)\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {split} f (a+1) & = (a + 1) ^2 + (a+1) + 1\\ &= a ^2 +1 + a+1+ 1\\ & =a^2+a + 1\\ & =0\\\ end {split}\ end {ecuación*}

Por lo tanto, también\(a + 1\) es un cero de\(x^2 + x + 1\text{.}\) Por lo tanto,\(S = \{0, 1, a, a + 1\}\) es el campo más pequeño que contiene\(\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}\) como subcampo y contiene todos los ceros de\(x^2 + x + 1\text{.}\) Este campo de extensión se denota por\(\mathbb{Z}_2(a)\text{.}\) Nota que se\(x^2 + x + 1\) divide en es\(\mathbb{Z}_2(a)\text{;}\) decir, se facciona en factores lineales en \(\mathbb{Z}_2(a)\text{.}\)También observamos que\(\mathbb{Z}_2(a)\) es un campo que contiene exactamente cuatro elementos. Por Teorema 16.2.3, esperábamos que eso\(\mathbb{Z}_2(a)\) sería de orden\(p^2\) para algún entero primo\(p\) y positivo\(n\text{.}\) También recordamos que todos los campos de orden\(p^n\) son isomórficos. Por lo tanto, hemos descrito todos los campos de orden\(2^2 =4\) encontrando el campo de extensión de un polinomio que es irreducible sobre\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)

El lector podría sentirse algo incómodo con los resultados obtenidos en Ejemplo\(\PageIndex{2}\). En particular, ¿qué es\(a\text{?}\) Podemos describirlo a través de una cantidad conocida? Todo lo que sabemos\(a\) es que es un cero de\(g(x)\) y que también\(a^2= a + 1\text{.}\) podríamos decir eso\(a(a + 1) = 1\text{,}\) pero realmente esperábamos más. No obstante, ¿deberíamos esperar más? En Ejemplo\(\PageIndex{1}\),\(\sqrt{2}\) es un número con el que nos sentimos más cómodos, pero todo lo que realmente sabemos al respecto es que\(\alpha =\sqrt{2}\) es el número tal que\(\alpha ^2= 2\text{.}\) De igual manera, el cero que obtendrá el lector en Ejercicio\(\PageIndex{2}\) de esta sección es el número imaginario\(i\text{.}\) Aquí de nuevo, esto es simplemente un símbolo, y todo lo que sabemos de ello es que\(i^2=-1\text{.}\) De ahí que el resultado obtenido en Ejemplo no\(\PageIndex{2}\) es realmente tan extraño.

El lector debe ser consciente de que acabamos de rayar la superficie en el desarrollo de temas en anillos polinómicos. Un área de aplicaciones significativas es la teoría de la codificación.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): An Error Correcting Polynomial Code

Una observación importante respecto al ejemplo anterior es que los elementos distintos de cero de\(GF(4)\) pueden representarse de dos maneras. Primero como una combinación lineal de 1 y\(a\text{.}\) Hay cuatro combinaciones lineales de este tipo, una de las cuales es cero. Segundo, como potencias de\(a\text{.}\) Hay tres potencias distintas y cada una coincide con una combinación lineal distinta de cero:

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} a^0 = 1\ cdot 1 + 0\ cdot a\\ a^1 = 0\ cdot 1 + 1\ cdot a\\ a^2 = 1\ cdot 1 + 1\ cdot a\\ end {array}\ end {ecuación*}

A continuación, describimos brevemente el campo\(GF(8)\) y cómo se puede construir un código de corrección de errores sobre una misma observación sobre ese campo.

Primero, comenzamos con el polinomio irreducible\(p(x)=x^3 + x + 1\) sobre\(\mathbb{Z}_2\text{.}\) Hay otro polinomio cúbico de este tipo, pero su elección produce esencialmente el mismo resultado. Así como hicimos en el ejemplo anterior, asumimos que tenemos un cero de\(p(x)\) y lo llamamos\(\beta\text{.}\) Ya que hemos asumido que\(p(\beta)= \beta^3+\beta + 1=0\text{,}\) obtenemos la relación de recurrencia para potencias\(\beta^3=\beta + 1\) que nos permite reducir las siete potencias\(\beta^k\text{,}\)\(0 \leq k \leq 6\text{,}\) a combinaciones lineales de 1,\(\beta\text{,}\) y \(\beta^2\text{.}\)Poderes superiores se reducirán a estos siete, que conforman los elementos de un campo con\(2^3=8\) elementos cuando sumamos cero al conjunto. Os dejamos como ejercicio para que pongas una tabla relacionando potencias de\(\beta\) con las combinaciones lineales.

Con esta información ahora estamos en condiciones de tomar bloques de cuatro bits y codificarlos con tres bits de paridad para crear un código de corrección de errores. Si los bits son\(b_3b_4b_5b_6\text{,}\) entonces reducimos la expresión\(B_m= b_3\cdot \beta^3 +b_4\cdot \beta^4 +b_5\cdot \beta^5 +b_6\cdot \beta^6\) usando la relación de recurrencia a una expresión\(B_p=b_0\cdot 1 +b_1\cdot \beta +b_2\cdot \beta^2\text{.}\) Ya que estamos igualando iguales dentro\(GF(8)\text{,}\) tenemos\(B_p=B_m\text{,}\) o\(B_p+B_m=0\text{.}\) El mensaje codificado es el\(b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6\text{,}\) cual es una representación de 0 en\(GF(8)\text{.}\) Si el transmitido secuencia de bits se recibe a medida\(c_0c_1c_2c_3c_4c_5c_6\) que reducimos\(C=c_0\cdot 1 +c_1\cdot \beta +c_2\cdot \beta^2 +c_3\cdot \beta^3 +c_4\cdot \beta^4 +c_5\cdot \beta^5 +c_6\cdot \beta^6\) usando la recurrencia. Si no hubo error de transmisión, el resultado es cero. Si el resultado reducido es cero, lo más probable es que el mensaje original fuera\(c_3c_4c_5c_6\text{.}\) Si el bit\(k\) se conmuta en la transmisión, entonces

\ begin {ecuación*} C = b_p+b_m+\ beta^k=\ beta^k\ final {ecuación*}

Por lo tanto si reducimos\(C\) con la recurrencia, obtenemos la combinación lineal de 1,\(\beta\text{,}\) y\(\beta^2\) eso es igual a\(\beta^k\) y así podemos identificar la ubicación del error y corregirlo.

16.4.1: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. Usa la definición de un campo para mostrar que\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) es un campo.
2. Utilice la definición de espacio vectorial para mostrar que\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\) es un espacio vectorial sobre\(\mathbb{Q}\text{.}\)
3. Demostrar que\(\left\{1,\sqrt{2}\right\}\) es una base para el espacio vectorial\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\) sobre\(\mathbb{Q}\text{,}\) y, por lo tanto, la dimensión de\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) over\(\mathbb{Q}\) es 2.

Responder

Si\(a_0+ a_1\sqrt{2}\in \mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]\) es distinto de cero, entonces tiene una inversa multiplicativa:

\ begin {ecuación*}\ begin {split}\ frac {1} {a_0+ a_1\ sqrt {2}} &=\ frac {1} {a_0+ a_1\ sqrt {2}}\ frac {a_0- a_1\ sqrt {2}} {a_0- a_1\ sqrt {2}}\ quad\ & =\ frac {a_0- a_1\ sqrt {2}} {a_0 {} ^2- 2a_1 {} ^2}\\ & =\ frac {a_0} {a_0 {} ^2- 2a_1 {} ^2} -\ frac {a_1} {a_0 {} ^2- 2a_1 {} ^2}\ sqrt {2}\ end {split}\ end {ecuación*}

El denominador,\(a_0{}^2- 2a_1{}^2\text{,}\) es distinto de cero ya que\(\sqrt{2}\) es irracional. Dado que\(\frac{a_0}{a_0{}^2- 2a_1{}^2}\) y\(\frac{-a_1}{a_0{}^2- 2a_1{}^2}\) son ambos números racionales,\(a_0+ a_1\sqrt{2}\) es una unidad de\(\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]\text{.}\) El campo que contiene\(\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]\) se denota\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\) y así\(\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)=\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

1. Determinar el campo de división de\(f(x) = x^2+ 1\) más\(\mathbb{R}\text{.}\) Esto significa considerar el polinomio\(f(x) = x^2+1 \in \mathbb{R}[x]\) y encontrar el campo más pequeño que contiene\(\mathbb{R}\) y todos los ceros de\(f(x)\text{.}\) Denotar este campo por\(\mathbb{R}(i)\text{.}\)
2. \(\mathbb{R}(i)\)es más comúnmente referido por un nombre diferente. ¿Qué es?
3. Demostrar que\(\{1, i\}\) es una base para el espacio vectorial\(\mathbb{R}(i)\) sobre\(\mathbb{R}\text{.}\) ¿Cuál es la dimensión de este espacio vectorial (over\(\mathbb{R}\))?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Determinar el campo de división de\(x^4 - 5x^2 + 6\) más\(\mathbb{Q}\text{.}\)

Responder

\(x^4 - 5x^2 +6 = (x^2 - 2)(x^2 - 3)\)tiene ceros\(\pm \sqrt{2}\) y\(\pm \sqrt{3}\text{.}\)

\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}\)contiene los ceros\(\pm \sqrt{2}\) pero no contiene\(\pm \sqrt{3}\text{,}\) ya que ninguno son expresables en la forma\(a + b\sqrt{2}\text{.}\) Si consideramos el conjunto\(\{c + d\sqrt{3} \mid c,d \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\}\text{,}\) entonces este campo contiene así\(\pm \sqrt{3}\) como\(\pm \sqrt{2}\text{,}\) y se denota\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})= \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\text{.}\) Teniendo en cuenta la forma de\(c\) y\(d\) en la descripción anterior, podemos expandirnos a

\ begin {ecuación*}\ mathbb {Q} (\ sqrt {2},\ sqrt {3}) =\ {b_0 + b_1\ sqrt {2} + b_2\ sqrt {3} +b_3\ sqrt {6}\ mid b_i\ in\ mathbb {Q}\}\ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Factor\(x^2 + x + 1\) en factores lineales en\(\mathbb{Z}_2(a)\text{.}\)
2. Escriba las tablas de campo para el campo\(\mathbb{Z}_2(a)\) y compare los resultados con las tablas del Ejemplo 16.2.2.
3. Cite un teorema y úselo para mostrar por qué se esperaban los resultados de la parte b.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Demostrar que\(x^3+ x + 1\) es irreducible sobre\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)
2. Determinar el campo de división de\(x^3+ x + 1\) más\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)
3. Por Teorema 16.2.3, has descrito todos los campos de orden\(2^3\text{.}\)

Responder

1. \(f(x) = x^3 + x + 1\)es reducible si y sólo si tiene un factor de la forma\(x- a\text{.}\) Por Teorema 16.3.3,\(x-a\) es un factor si y sólo si\(a\) es un cero. Ni 0 ni 1 es un cero de\(f(x)\) más\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)
2. Ya que\(f(x)\) es irreducible sobre\(\mathbb{Z}_2\text{,}\) todos los ceros de\(f(x)\) debe estar en un campo de extensión de\(\mathbb{Z}_2\). Sea c un cero de se\(f(x)\text{.}\)\(\mathbb{Z}_2(c)\) puede describir de varias maneras diferentes. Una manera es señalar que ya que\(c \in \mathbb{Z}_2(c)\text{,}\)\(c^n\in \mathbb{Z}_2(c)\) para todos n. por lo tanto,\(\mathbb{Z}_2(c)\) incluye 0,\(c\text{,}\)\(c^2\text{,}\)\(c^3, \ldots\text{.}\) Pero\(c^3 = c + 1\) desde\(f(c) = 0\text{.}\) Además,\(c^4 = c^2+ c\text{,}\)\(c^5= c^2+ c +1\text{,}\)\(c^6= c^2+1\text{,}\) y Poderes\(c^7=1\text{.}\) superiores de\(c\) repetición poderes anteriores. Por lo tanto,
   \ begin {equation*}\ begin {split}\ mathbb {Z} _2 (c) &=\ left\ {0, 1, c, c^2, c + 1, c^2 + 1, c^2 + c + 1, c ^2 + c\ right\}\\ &=\ left\ {a_0+ a_1c+a_2c^2\ mid a_i\ in\ mathbb {Z} _2\ derecha\}\\\ end {split}\ end {equation*}
   Los tres ceros de\(f(x)\) son \(c\text{,}\)\(c^2\)y\(c^2+ c\text{.}\)
   \ comenzar {ecuación*} f (x) = (x + c)\ izquierda (x+ c ^2\ derecha)\ izquierda (x + c^2 + c\ derecha)\ final {ecuación*}
3. Citar Teorema Teorema 16.2.3, parte 3.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Listar todos los polinomios de grado 1, 2, 3 y 4 sobre\(\mathbb{Z}_2 = GF(2)\text{.}\)
2. De su lista en la parte a, identifique todos los polinomios irreducibles de grado 1, 2, 3 y 4.
3. Determinar los campos de división de cada uno de los polinomios en la parte b.
4. ¿Cuál es el orden de cada uno de los campos de división obtenidos en la parte c? Explica tus resultados usando el Teorema 16.2.3.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

¿El código polinómico descrito en esta sección es un código lineal?