1.4: Tautologías y contradicciones
- Page ID
- 118393
una declaración lógica que siempre es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus subsentencias variables
sinónimo de tautología
- \(p \rightarrow p\text{.}\)
- \(p \leftrightarrow p\text{.}\)
- Ley del Medio Excluido:\(p \lor \neg p \text{.}\)
Verificación:
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p \lor \neg p\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
La tabla verifica que la sentencia es una tautología ya que la última columna consiste únicamente en\(T\) valores.
- Ley de Contradicción:\(\neg (p \land \neg p)\text{.}\)
Verificación:
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p \land \neg p\) | \(\neg (p \land \neg p)\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(T\) |
La tabla verifica que la sentencia es una tautología ya que la última columna consiste únicamente en\(T\) valores.
¿Es\(p \lor p\) una tautología? No, ya que es falso cuando\(p\) es falso.
una declaración que siempre debe ser falsa, independientemente de los valores de verdad de sus subsentencias variables
sinónimo de contradicción
La negación de una tautología es siempre una contradicción (y la negación de una contradicción es siempre una tautología).
\((p \lor \neg p) \rightarrow (q \land \neg q)\)La declaración es una contradicción:
| \(p\) | \(q\) | \(\neg p\) | \(\neg q\) | \(p \lor \neg p\) | \(q \land \neg q\) | \((p \lor \neg p) \rightarrow (q \land \neg q)\) |
| \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
La tabla verifica que la sentencia es una contradicción ya que la última columna consiste únicamente en\(F\) valores.
La implicación sólo\(A\rightarrow B\) puede ser una contradicción si\(A\) es una tautología y\(B\) es una contradicción.
Supongamos que\(A\) es una declaración lógica que involucra variables de subdeclaración\(p_1, p_2, \dotsc, p_m\text{.}\) Si\(A\) es lógicamente verdadera o lógicamente falsa, entonces también lo es cada declaración obtenida de\(A\) reemplazando cada variable de sentencia\(p_i\) por alguna declaración lógica\(B_i\text{,}\) para cada colección posible de sentencias lógicas\(B_1, B_2, \dotsc, B_m\text{.}\)
- Sabemos que\(p \lor \neg p\) es una tautología, por lo tanto también lo es
\ comenzar {ecuación*} (q\ fila derecha (r\ tierra\ neg s))\ lor\ neg (q\ fila derecha (r\ tierra\ neg s))\ fin {ecuación*}
usando sustitución\(p = (q \rightarrow (r \land \neg s))\text{.}\)
- Sabemos que\((p \lor \neg p) \rightarrow (q \land \neg q)\) es una contradicción, por lo tanto también lo son
\ comenzar {reunir*} (p\ lor\ neg p)\ fila derecha (p\ tierra\ neg p)\ qquad\ texto {(por} p = p\ texto {,} q = p\ texto {),}\\ ((r\ lor s)\ lor\ neg (r\ lor s))\ derecha (q\ tierra\ neg q)\ qquad\ texto {(por} p = r\ lor s\ texto {,} q = q\ texto {),}\\ (r\ tierra (s\ trightarrow t))\ lor\ neg (r\ land (s\ left trightarrow t))\ fila derecha (t\ tierra\ neg t)\ qquad\ texto {(por} p = r\ tierra (s\ izquierdafila t)\ texto {,} q = t\ texto {).} \ end {reunir*}
En matemáticas, a menudo deseamos demostrar que una condición\(A \rightarrow B\) es en realidad una tautología. (Ver Capítulo 6.)
si el condicional\(A \rightarrow B\) es una tautología, decimos que\(A\) lógicamente implica\(B\)
notación para implicación lógica
- Si\(A = p\) y\(B = p \lor q\text{,}\) entonces\(A \Rightarrow B\text{.}\)
- Si\(A = p \land q\) y\(B = p\text{,}\) entonces\(A \Rightarrow B\text{.}\)
Comentario\(\PageIndex{1}\)
Como veremos en el Capítulo 6, verificar las implicaciones lógicas en contextos matemáticos es una de las principales tareas de la prueba matemática. Y para verificar una implicación lógica\(A \Rightarrow B\text{,}\) queremos enfocarnos en la idea de condicional como expresar “Si\(A\) es verdad entonces\(B\) es verdad”, y realmente no queremos preocuparnos por lo que sucede en el caso que\(A\) sea falso. Aquí es donde nuestros valores “predeterminados” en las filas de la tabla de verdad para el condicional\(A \rightarrow B\) donde\(A\) es falso ayudan — ya que el condicional\(A \rightarrow B\) es automáticamente verdadero cuando\(A\) es falso, independientemente del valor de\(B\text{,}\) verdad de realmente solo necesitamos considerar lo que sucede cuando \(A\)es cierto para verificar\(A \Rightarrow B\text{.}\)