17.3: Propiedades de las Relaciones
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Aquí enumeramos algunas propiedades importantes que\(A\) puede tener una relación\(R\) en un conjunto.
Reflexivity
\(a \mathrel{R} a\)es cierto para todos\(a \in A\)
La relación\(\mathord{\le}\) sobre\(\mathbb{R}\) es reflexiva, pero la relación no lo\(\mathord{\lt}\) es.
Para verificar que la relación\(R\) en el set\(A\) sea reflexiva, demuestre que\((\forall a \in A)(a \mathrel{R} a)\text{.}\)
Simetría y antisimetría
por cada par de elementos\(a_1,a_2 \in A\) para los que\(a_1 \mathrel{R} a_2\) es cierto, también\(a_2 \mathrel{R} a_1\) es cierto.
En el conjunto de todos los seres humanos vivos, la relación “\(a\)es hermano de\(b\)” es simétrica, pero ni la relación “\(a\)es hermano de\(b\)” ni la relación “\(a\)es hermana de\(b\)” es simétrica.
Para verificar que la relación\(R\) en el set\(A\) es simétrica, demuestre que
\ begin {equation*} (\ forall a_1\ in A) (\ forall a_2\ in A) ({a_1\ mathrel {R} a_2}\ Rightarrow {a_2\ mathrel {R} a_1})\ text {.} \ end {ecuación*}
para cada par de elementos distintos,\(a_1,a_2 \in A\text{,}\) ya sea\(a_1\ \not R\ a_2\) o\(a_2\ \not R\ a_1\) (o ambos)
La parte distinta de la definición es importante, ya que si no\(a_1,a_2 \in A\) son distintas (es decir\(a_2 = a_1\)), entonces obviamente ambas\(a_1 \mathrel{R} a_2\) y\(a_2 \mathrel{R} a_1\) pueden ser simultáneamente verdaderas porque son la misma afirmación.
La relación\(\mathord{\le}\) sobre\(\mathbb{R}\) es antisimétrica.
Sobre\(A = \{a,b,c\}\text{,}\) la relación
\ begin {ecuación*} R =\ {(a, b), (b, a), (a, c)\}\ subseteq A\ veces A\ end {ecuación*} no
es ni antisimétrico ni simétrico.
La relación de identidad en cualquier conjunto, donde cada elemento está relacionado consigo mismo y solo consigo mismo, es a la vez antisimétrica y simétrica.
Como\(\PageIndex{5}\) demuestran el Ejemplo\(\PageIndex{4}\) y el Ejemplo, la antisimetría no es lo opuesto a la simetría. Sin embargo, para una relación\(R\) en el set\(A\text{,}\) podemos pensar que la simetría y la antisimetría están en extremos opuestos de un espectro, midiendo con qué frecuencia tenemos ambos\(a_1 \mathrel{R} a_2\) y\(a_2 \mathrel{R} a_1\) para\(a_1 \ne a_2\text{.}\)
Por definición, la antisimetría es cuando nunca tenemos ambas. Por otro lado, la simetría es cuando siempre tenemos ambos o ninguno; es decir, por cada par distinto\(a_1,a_2 \in A\text{,}\) tenemos ambos\(a_1 \mathrel{R} a_2\) y\(a_2 \mathrel{R} a_1\text{,}\) o tenemos ambos\(a_1\ \not R\ a_2\) y\(a_2\ \not R\ a_1\text{.}\) Sin embargo, una relación puede caer entre simetría y antisimetría en el espectro, como en Ejemplo\(\PageIndex{4}\), donde a veces tenemos ambos (por ejemplo, ambos\(a \mathrel{R} b\) y\(b \mathrel{R} a\) para esa relación de ejemplo) y también a veces tenemos solo uno (por ejemplo,\(a \mathrel{R} c\) pero\(c\ \not R\ a\) para esa relación de ejemplo).
La relación de igualdad en un conjunto es un caso especial que es a la vez simétrico y antisimétrico. De hecho, la igualdad es esencialmente la única relación que es a la vez simétrica y antisimétrica — ver Ejercicio 17.6.22.
En el lenguaje simbólico, la definición de relación antisimétrica es
\ begin {ecuation*} (\ forall a_1\ in A) (\ forall a_2\ in A) (a_1\ neq a_2\ Rightarrow a_1\ no R\ a_2\ lor a_2\ no R\ a_1)\ text {.} \ end {equation*}
Sin embargo, en la práctica solemos demostrar antisimetría usando una de dos formulaciones lógicamente equivalentes.
Para verificar que\(R\) la relación en el conjunto\(A\) es antisimétrica, pruebe cualquiera de las siguientes declaraciones lógicas.
- \( (\forall a_1 \in A)(\forall a_2 \in A)(a_1 \neq a_2 \land a_1 \mathrel{R} a_2 \Rightarrow a_2\ \not R\ a_1)\)
- \( (\forall a_1 \in A)(\forall a_2 \in A)(a_1 \mathrel{R} a_2 \land a_2 \mathrel{R} a_1 \Rightarrow a_2 = a_1)\)
La primera formulación para probar la antisimetría proporcionada anteriormente puede pensarse como una forma diferente de decir que no es posible tener ambos\(a_1 \mathrel{R} a_2\) y\(a_2 \mathrel{R} a_1\) para elementos distintos\(a_1,a_2\text{.}\) La segunda formulación esencialmente dice que la única forma posible de tener ambos\(a_1 \mathrel{R} a_2\) y \(a_2 \mathrel{R} a_1\)es si\(a_2 = a_1\text{.}\)
En el Ejercicio 17.6.21 se le pide que demuestre que cada una de las dos formas diferentes de verificar que una relación es antisimétrica proporcionada en la prueba anterior son equivalentes.
Transitividad
por cada triple de elementos\(a_1,a_2,a_3 \in A\) para los que ambos\(a_1 \mathrel{R} a_2\) y\(a_2 \mathrel{R} a_3\) son ciertos, también\(a_1 \mathrel{R} a_3\) deben ser ciertos.
La relación en el set de todos los humanos que alguna vez vivieron definida por “\(a\)es el antepasado de\(b\)” es transitiva.
Para verificar que la relación\(R\) en el set\(A\) sea transitiva, demuestre que
\ begin {ecuación*} (\ forall a_1\ en A) (\ forall a_2\ en A) (\ forall a_3\ en A) (a_1\ mathrel {R} a_2\ tierra a_2\ mathrel {R} a_3\ Rightarrow a_1\ mathrel {R} a_3)\ text {.} \ end {ecuación*}