18.4: Ejemplos importantes
- Page ID
- 118291
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Equality is the strongest form of equivalence.
La relación de equivalencia “más fuerte” en un conjunto\(A\) es la relación de identidad, donde\(a \equiv b\) si y solo si\(a = b\text{.}\) En este caso, cada clase de equivalencia es un singleton:\([a] = \{a\}\) para cada\(a \in A\text{.}\) Esta relación de equivalencia produce la partición “más fina” o más “granular” de\(A\text{,}\) en el unión de todos los conjuntos singleton en\(\mathscr{P}(A)\text{.}\) Aquí, el cociente\(A/\equiv\) es esencialmente el mismo que\(A\text{:}\) la proyección natural\(A \to (A/\equiv)\) es una biyección.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Even and odd.
Podemos particionar\(\mathbb{N}\) en los subconjuntos de números pares e impares. Esta es la misma partición obtenida de la relación módulo-\(2\) equivalancia\(\mathord{\equiv}_2\text{,}\) y tenemos cociente
\ begin {ecuación*} (\ mathbb {N}/\ mathord {\ equiv} _2) =\ {[0], [1]\}\ text {.} \ end {equation*}
Este cociente es como construimos álgebra booleana (ver Capítulo 3). La convención\(1 + 1 = 0 \) en álgebra booleana viene de definir suma en el cociente para que
\ begin {ecuación*} [1] + [1] = [1 + 1] = [2] = [0]\ texto {.} \ end {ecuación*}
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Modulo-\(n\) arithmetic.
De manera similar al Ejemplo 18.4.2, si consideramos la relación módulo-\(n\) equivalencia\(\mathord{\equiv}_n\) en\(\mathbb{N}\text{,}\) tenemos
\ begin {ecuación*} (\ mathbb {N}/\ mathord {\ equiv} _n) =\ {[0], [1], [2],\ ldots, [n-1]\}\ text {.} \ end {equation*}
Podemos transferir la aritmética de\(\mathbb{N}\) a\(\mathbb{N} / \mathord{\equiv}_n\) definiendo
\ begin {alinear*} [m] + [n] & = [m + n]\ texto {,} & [m]\ cdot [n] & = [m n\ texto {.} \ end {align*}
Por ejemplo, en\(5\) aritmética de módulo,
\ begin {ecuación*} [2] + [4] = [6] = [1]\ end {ecuación*}
y
\ begin {ecuación*} [2]\ cdot [4] = [8] = [3]\ texto {.} \ end {ecuación*}
Hay algunas cosas que revisar sobre este nuevo módulo-\(n\) aritmética.
Comprobar que la\(n\) suma de módulo y la multiplicación estén bien definidas; es decir, asegurarse de que el resultado de cada una de estas operaciones nunca dependa de las elecciones de los representantes de las clases de equivalencia involucradas.
Comprobar que módulo-\(n\) suma y multiplicación satisfacen todas las reglas habituales de la aritmética. Es decir, comprobar que la\(n\) suma de módulo y la multiplicación sean tanto asociativas como conmutativas, y que la multiplicación distribuya sobre la suma.
Los números naturales\(0\) y\(1\) juegan papeles especiales\(\mathbb{N}\) con respecto a la suma ordinaria y la multiplicación, respectivamente. ¿Sus clases de equivalencia\([0]\) y\([1]\) desempeñan los mismos papeles especiales\(\mathbb{N} / \mathrel{\equiv}_n\) con respecto a la\(n\) suma de módulo y la multiplicación, respectivamente?
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Same image under a function.
Para una función\(f: A \rightarrow B\text{,}\) podemos considerar elementos del dominio equivalentes si producen la misma salida bajo Es\(f\text{.}\) decir, la relación\(\mathord{\equiv}_f\) en\(A\) definida por “\(a_1 \equiv_f a_2\)medios\(f(a_1) = f(a_2)\)” es una relación de equivalencia.
Supongamos que\(f: A \rightarrow B\) es una función, y considerar la relación de equivalencia\(\mathord{\equiv}_f\) sobre\(A\) descrita en el Ejemplo 18.4.5. ¿Cómo se podría saber si\(f\) es o no es inyectivo mirando las clases de equivalencia\(A\) en\(\mathord{\equiv}_f\text{?}\)
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Inverting a non-injective function.
Las relaciones de equivalencia nos permiten tomar otro punto de vista del concepto de imagen inversa de un elemento de la Sección 10.5.
Supongamos\(f: A \rightarrow B\text{,}\) y consideremos la relación de equivalencia\(\mathord{\equiv}\) sobre\(A\) descrita en el Ejemplo 18.4.5. Entonces podemos crear una nueva función “inducida”
\ begin {align*}\ tilde {f}\ colon (A/\ equiv) &\ a B,\\ [a] &\ mapsto f (a). \ end {alinear*}
Figura 18.4.8. Diagrama que ilustra el mapa inducido\(\tilde{f}\text{.}\)
En esta definición de función, se está mapeando una clase de equivalencia completa a la imagen de salida de uno de los elementos de esa clase bajo la función original\(f\text{.}\) Pero bajo esta relación de equivalencia, cada elemento en una equivalencia específica class comparte la misma imagen de salida en el codominio que todos los demás elementos de esa clase. Por esta razón, permitir que nuestra definición\(\tilde{f}([a]) = f(a)\) de regla de entrada y salida dependa de la elección del representante de clase\(a\) está bien definido, y por lo tanto es una función.
- Ver.
-
Ejemplo 10.1.13.
Además, la función inducida\(\tilde{f}\) es siempre inyectiva, aunque no\(f\) lo sea. Si asumimos que eso\(f\) es suryectiva (o, si no\(f\) es suryectiva podríamos sustituir nuestro codominio\(B\) con el conjunto de imágenes\(f(A)\) para que\(f\) sea suryectiva —ver restringir el dominio), entonces también\(\tilde{f}\) será suryectiva, de ahí biyectiva. Esto quiere decir que\(\tilde{f}\) es invertible, con
\ begin {align*}\ tilde {f} ^ {-1}\ colon B &\ to (A/\ mathord {\ equiv} _f),\\ b &\ mapsto\ {a\ en A\ vert f (a) = b\} = f^ {-1} (\ {b\}). \ end {align*}
En cierto sentido\(\tilde{f}^{-1}\) es una inversa de\(f\text{,}\) excepto que es una función\(B \to (A / \mathord{\equiv}_f) \) en lugar de\(B \to A\text{.}\)