20.6: Actividades

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Actividad\(\PageIndex{1}\)

Una placa estándar de Alberta tiene tres letras seguidas de tres o cuatro dígitos.

¿Cuántos vehículos diferentes puede licenciar la provincia con este esquema?
¿Crees que la provincia tenía razón al ampliar las placas agregando otro dígito, o crees que debería haber agregado otra letra en su lugar? (O, como tercera posibilidad, ¿es irrelevante en términos prácticos?)

Pista.: La cifra\(26^3 = 17576\) puede ayudarte a decidir.

Actividad\(\PageIndex{2}\)

Enrolla un dado de seis lados diez veces. ¿Cuántas secuencias diferentes de rollos son posibles?
Describir cómo Tarea a se relaciona con el problema de determinar\(\vert \Sigma^{\ast}_{10} \vert\) para un alfabeto adecuado\(\Sigma\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(\Sigma = \{a, b, c, \ldots, y, z\}\text{.}\) ¿Cuántas palabras\(\Sigma^{\ast}_5\) terminan en la letra\(z\text{?}\) ¿Cuántas no?

Actividad\(\PageIndex{4}\)

Tú y tus cinco compañeros de casa escogen nombres de un sombrero cada semana para determinar quién va a limpiar el inodoro. Durante un período de tres semanas, cuántas secuencias diferentes de limpiadores de inodoros podrían determinarse de esta manera

si los nombres se vuelven a colocar en el sombrero después de cada sorteo?
si los nombres no se vuelven a colocar en el sombrero después de cada sorteo?

Actividad\(\PageIndex{5}\)

Cuántos números naturales entre\(1\) y\(1,000,000\) (inclusive) contienen el dígito\(5\text{?}\)

Pista.: En su lugar, podría contar cuántos números no contienen el dígito\(5\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{6}\)

¿Cuántos números naturales entre\(100\) y\(999\) (inclusive) no tienen dígitos repetidos? De estos, ¿cuántos son impares?

Pista.: No hay regla que cuando “construyas” un objeto arbitrario de este tipo tengas que elegir primero el primer dígito.

Actividad\(\PageIndex{7}\)

Usa el Principio Pigeonhole para probar que en cada conjunto de tres enteros existe un par cuya diferencia es par.

Pista.: ¿Qué tipo de números suman una suma par?

Actividad\(\PageIndex{8}\)

Tienes una lista con los nombres de veinte alumnos. Diez de los estudiantes son estudiantes domésticos y los otros diez son estudiantes fuera de la provincia. ¿Cuántos estudiantes debes seleccionar de la lista para estar seguro de formar un grupo que contenga al menos un estudiante doméstico y al menos un estudiante fuera de la provincia?

Actividad\(\PageIndex{9}\)

Dejar\(n\) ser un número natural fijo. Determine el número más pequeño\(M\) para el cual es verdadera la siguiente declaración: cada subconjunto de

\ begin {ecuación*}\ mathbb {N} _ {<2n+1} =\ {0,1,2,3,\ lpuntos ,2n\}\ end {ecuación*}
de tamaño\(M\) contiene al menos un número impar.

Actividad\(\PageIndex{10}\)

Estás limpiando el cuarto de juguetes de tu sobrino pequeño. Hay\(T\) juguetes en el piso y cajas\(n\) vacías para guardar juguetes. Tiras juguetes al azar en cajas, y cuando termines la caja con más juguetes contiene\(N\) juguetes.

¿Cuál es el más pequeño que\(N\) podría ser cuando\(T = 2 n + 1\text{?}\)
¿Cuál es el más pequeño que\(N\) podría ser cuando\(T = k n + 1\text{?}\)
Ahora supongamos que el número de juguetes\(T\) satisface

\ begin {ecuación*} T\ lt\ dfrac {n (n - 1)} {2}\ texto {.} \ end {equation*}
Demuestra que cuando termines de limpiar, habrá (al menos) un par de cajas que contengan la misma cantidad de juguetes.

Pista.: Argumenta lo contrapositivo asumiendo que cada caja termina con un número diferente de juguetes. ¿Cuál es la menor cantidad de juguetes con los que podrías haber empezado?