0.3: Sets

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Los objetos más fundamentales que usaremos en nuestros estudios (y realmente en todas las matemáticas) son conjuntos. Gran parte de lo que sigue podría ser revisión, pero es muy importante que domines con fluidez el lenguaje de la teoría de conjuntos. La mayor parte de la notación que usamos a continuación es estándar, aunque algunas pueden ser un poco diferentes a lo que has visto antes.

Para nosotros, un conjunto simplemente será una colección desordenada de objetos. Dos ejemplos: podríamos considerar el conjunto de todos los actores que han interpretado a The Doctor on Doctor Who, o el conjunto de números naturales entre 1 y 10 inclusive. En el primer caso, Tom Baker es un elemento (o miembro) del conjunto, mientras que Idris Elba, entre muchos otros, no es un elemento del conjunto. Además, los dos ejemplos son de conjuntos diferentes. Dos conjuntos son iguales exactamente si contienen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo, el conjunto que contiene todas las vocales en la declaración de independencia es precisamente el mismo conjunto que el conjunto de vocales en la palabra “cuestionablemente” (es decir, todas ellas); no nos importa el orden o las repeticiones, solo si el elemento está en el conjunto o no.

Notación

Necesitamos alguna notación para que sea más fácil hablar de conjuntos. Considerar,

\ begin {ecuación*} A =\ {1, 2, 3\}. \ end {ecuación*}

Esto se lee, “$A$es el conjunto que contiene los elementos 1, 2 y 3”. Usamos llaves “$\{,~~ \}$” para encerrar elementos de un conjunto. Algo más de notación:

\ begin {ecuación*} a\ in\ {a, b, c\}. \ end {ecuación*}

El símbolo “$\in$” se lee “está en” o “es un elemento de”. Así lo anterior significa que$a$ es un elemento del conjunto que contiene las letras$a\text{,}$$b\text{,}$ y$c\text{.}$ Tenga en cuenta que esta es una declaración verdadera. También sería cierto decir que no$d$ está en ese conjunto:

\ comenzar {ecuación*} d\ no\ en\ {a, b, c\}. \ end {ecuación*}

Ten en cuenta: escribimos “$x \in A$” cuando deseamos expresar que uno de los elementos del conjunto$A$ es$x\text{.}$ Por ejemplo, considera el conjunto,

\ begin {ecuación*} A =\ {1, b,\ {x, y, z\},\ conjunto vacío\}. \ end {ecuación*}

Este es un conjunto extraño, para estar seguros. Contiene cuatro elementos: el número 1, la letra b, el conjunto$\{x,y,z\}\text{,}$ y el conjunto vacío ($\emptyset = \{ \}\text{,}$el conjunto que no contiene elementos). Está$x$ en$A\text{?}$ La respuesta es no. Ninguno de los cuatro elementos en$A$ son la letra$x\text{,}$ por lo que debemos concluir que$x \notin A\text{.}$ Del mismo modo, considerar el conjunto A$B = \{1,b\}\text{.}$ pesar de que los elementos de$B$ son elementos de no$A\text{,}$ podemos decir que el conjunto$B$ es uno de los elementos de$A\text{.}$ Por lo tanto$B \notin A\text{.}$ (Pronto veremos que$B$ es un subconjunto de$A\text{,}$ pero esto es diferente de ser un elemento de$A\text{.}$)

Hemos descrito los conjuntos anteriores enumerando sus elementos. A veces esto es difícil de hacer, sobre todo cuando hay muchos elementos en el set (quizás infinitamente muchos). Por ejemplo, si queremos$A$ ser el conjunto de todos los números incluso naturales, podríamos escribir,

\ begin {ecuación*} A =\ {0, 2, 4, 6,\ ldots\},\ end {ecuación*}

pero esto es un poco impreciso. Una mejor manera sería

\ begin {ecuación*} A =\ {x\ in\ N\ st\ existe n\ in\ N (x = 2 n)\}. \ end {ecuación*}

Rompiendo eso: “$x \in \N$” significa$x$ está en el conjunto$\N$ (el conjunto de números naturales,$\{0,1,2,\ldots\}$), “$:$” se lee “tal que” y “$\exists n\in \N (x = 2n) $” se lee “existe un$n$ en los números naturales para el cual$x$ es dos veces$n$” (en otras palabras,$x$ es incluso). Un poco más fácil podría ser,

\ begin {ecuación*} A =\ {x\ st x\ texto {es par}\}. \ end {ecuación*}

Nota: A veces la gente usa$|$ o$\backepsilon$ para el símbolo “tal que” en lugar de los dos puntos.

Definir un conjunto usando este tipo de notación es muy útil, aunque se necesita algo de práctica para leerlos correctamente. Es una manera de describir el conjunto de todas las cosas que satisfacen alguna condición (la condición es la declaración lógica después del símbolo “$\st$”). Aquí hay algunos ejemplos más:

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Describa cada uno de los siguientes conjuntos tanto en palabras como enumerando suficientes elementos para ver el patrón.

$\{x \st x + 3 \in \N\}\text{.}$
$\{x \in \N \st x + 3 \in \N\}\text{.}$
$\{x \st x \in \N \vee -x \in \N\}\text{.}$
$\{x \st x \in \N \wedge -x \in \N\}\text{.}$

Solución

Este es el conjunto de todos los números que son 3 menos que un número natural (es decir, que si les agregas 3, obtienes un número natural). El conjunto también podría escribirse a s$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ (tenga en cuenta que 0 es un número natural, así$-3$ es en este conjunto porque$-3 + 3 = 0$).
Este es el conjunto de todos los números naturales que son 3 menos que un número natural. Así que aquí solo tenemos$\{0, 1, 2,3 \ldots\}\text{.}$
Este es el conjunto de todos los enteros (números enteros positivos y negativos, escritos$\Z$). En otras palabras,$\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\text{.}$
Aquí queremos todos los números$x$ tales que$x$ y$-x$ son números naturales. Sólo hay uno: 0. Así que tenemos el conjunto$\{0\}\text{.}$

Ya tenemos mucha notación, y todavía hay más. A continuación se muestra una práctica tabla de símbolos. Algunos de estos serán discutidos con mayor detalle a medida que avancemos.

Sets especiales

$\emptyset$: El conjunto vacío es el conjunto que no contiene elementos.
$\U$: El conjunto del universo es el conjunto de todos los elementos.
$\N$: El conjunto de números naturales. Es decir,$\N = \{0, 1, 2, 3\ldots\}\text{.}$
$\Z$: El conjunto de números enteros. Es decir,$\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}$
$\Q$: El conjunto de números racionales.
$\R$: El conjunto de números reales.
$\pow(A)$: El conjunto de potencia de cualquier conjunto$A$ es el conjunto de todos los subconjuntos de$A\text{.}$

Notación de teoría de conjuntos

$\{, \}$: Utilizamos estas llaves para encerrar los elementos de un conjunto. Así$\{1,2,3\}$ es el conjunto que contiene 1, 2 y 3.
$\st$:$\{x \st x > 2\}$ es el conjunto de todos los$x$ tales que$x$ es mayor que 2.
$\in$:$2 \in \{1,2,3\}$ afirma que 2 es un elemento del conjunto$\{1,2,3\}\text{.}$
$\not\in$:$4 \notin \{1,2,3\}$ porque 4 no es un elemento del conjunto$\{1,2,3\}\text{.}$
$\subseteq$:$A \subseteq B$ afirma que$A$ es un subconjunto de$B$: cada elemento de$A$ es también un elemento de$B\text{.}$
$\subset$:$A \subset B$ afirma que$A$ es un subconjunto apropiado de$B$: cada elemento de$A$ es también un elemento de$B\text{,}$ pero$A \ne B\text{.}$
$\cap$:$A \cap B$ es la intersección de$A$ y$B$: el conjunto que contiene todos los elementos que son elementos de ambos$A$ y$B\text{.}$
$\cup$:$A \cup B$ es la unión de$A$ y$B$: es el conjunto que contiene todos los elementos que son elementos de$A$$B$ o ambos.
$\times$:$A \times B$ es el producto cartesiano de$A$ y$B$: el conjunto de todos los pares ordenados$(a,b)$ con$a \in A$ y$b \in B\text{.}$
$\setminus$:$A \setminus B$ es$A$ set-menos$B$: el conjunto que contiene todos los elementos de los$A$ cuales no son elementos de$B\text{.}$
$\bar{A}$: El complemento de$A$ es el conjunto de todo lo que no es un elemento de$A\text{.}$
$\card{A}$: La cardinalidad (o tamaño) de$A$ es el número de elementos en$A\text{.}$

¡Investiga!

Encuentra la cardinalidad de cada conjunto a continuación.
1. $A = \{3,4,\ldots, 15\}\text{.}$
2. $B = \{n \in \N \st 2 \lt n \le 200\}\text{.}$
3. $C = \{n \le 100 \st n \in \N \wedge \exists m \in \N (n = 2m+1)\}\text{.}$
Encuentra dos conjuntos$A$ y$B$ para cuál$|A| = 5\text{,}$$|B| = 6\text{,}$ y$|A\cup B| = 9\text{.}$ Qué es$|A \cap B|\text{?}$
Encuentra conjuntos$A$ y$B$ con$|A| = |B|$ tal que$|A\cup B| = 7$ y$|A \cap B| = 3\text{.}$ Qué es$|A|\text{?}$
Let$A = \{1,2,\ldots, 10\}\text{.}$ Define$\mathcal{B}_2 = \{B \subseteq A \st |B| = 2\}\text{.}$ Find$|\mathcal{B}_2|\text{.}$
Para cualquier conjunto$A$ y$B\text{,}$ definir$AB = \{ab \st a\in A \wedge b \in B\}\text{.}$ Si$A = \{1,2\}$ y$B = \{2,3,4\}\text{,}$ qué es$|AB|\text{?}$ Qué es$|A \times B|\text{?}$

Relaciones entre conjuntos

Ya dijimos lo que significa que dos conjuntos sean iguales: tienen exactamente los mismos elementos. Así, por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ {1, 2, 3\} =\ {2, 1, 3\}. \ end {ecuación*}

(Recuerde, el orden en que se escriben los elementos no importa.) También,

\ begin {ecuación*}\ {1, 2, 3\} =\ {1, 1+1, 1+1+1\} =\ {I, II, III\}\ end {ecuación*}

ya que todas estas son formas de escribir el conjunto que contiene los tres primeros enteros positivos (cómo los escribamos no importa, justo lo que son).

¿Qué pasa con los conjuntos$A = \{1, 2, 3\}$ y$B = \{1, 2, 3, 4\}\text{?}$ Claramente$A \ne B\text{,}$ pero notamos que cada elemento de$A$ es también un elemento de$B\text{.}$ Debido a esto decimos que$A$ es un subconjunto de$B\text{,}$ o en símbolos$A \subset B$ o$A \subseteq B\text{.}$ Ambos símbolos se leen “es un subconjunto de”. La diferencia es que a veces queremos decir que$A$ es igual o es un subconjunto de$B\text{,}$ en cuyo caso usamos$\subseteq\text{.}$ Esto es análogo a la diferencia entre$<$ y$\le\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Dejar$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}$$B = \{2, 4, 6\}\text{,}$$C = \{1, 2, 3\}$ y$D = \{7, 8, 9\}\text{.}$ Determinar cuáles de las siguientes son verdaderas, falsas o carentes de sentido.

$A \subset B\text{.}$
$B \subset A\text{.}$
$B \in C\text{.}$
$\emptyset \in A\text{.}$
$\emptyset \subset A\text{.}$
$A < D\text{.}$
$3 \in C\text{.}$
$3 \subset C\text{.}$
$\{3\} \subset C\text{.}$

Solución

Falso. Por ejemplo,$1\in A$ pero$1 \notin B\text{.}$
Cierto. Cada elemento en$B$ es un elemento en$A\text{.}$
Falso. Los elementos en$C$ son 1, 2 y 3. El conjunto no$B$ es igual a 1, 2 o 3.
Falso. $A$tiene exactamente 6 elementos, y ninguno de ellos es el conjunto vacío.
Cierto. Todo en el conjunto vacío (nada) también es un elemento de$A\text{.}$ Notice que el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.
Sin sentido. Un conjunto no puede ser menor que otro conjunto.
Cierto. $3$es uno de los elementos del conjunto$C\text{.}$
Sin sentido. $3$no es un conjunto, por lo que no puede ser un subconjunto de otro conjunto.
Cierto. $3$es el único elemento del conjunto$\{3\}\text{,}$ y es un elemento de$C\text{,}$ por lo que cada elemento en$\{3\}$ es un elemento de$C\text{.}$

En el ejemplo anterior,$B$ es un subconjunto de$A\text{.}$ Podrías preguntarte qué otros conjuntos son subconjuntos de$A\text{.}$ Si recolectas todos estos subconjuntos de$A$ en un nuevo conjunto, obtenemos un conjunto de conjuntos. Llamamos al conjunto de todos los subconjuntos$A$ del conjunto de potencia de$A\text{,}$ y lo escribimos$\pow(A)\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Let$A = \{1,2,3\}\text{.}$ Find$\pow(A)\text{.}$

Solución

$\pow(A)$es un conjunto de conjuntos, todos los cuales son subconjuntos de$A\text{.}$ So

\ begin {ecuación*}\ pow (A) =\ {\ conjunto vacío,\ {1\},\ {2\},\ {3\},\ {1,2\},\ {1, 3\},\ {2,3\},\ {1,2,3\}\}. \ end {ecuación*}

¡Observe$2 \in A\text{,}$ que si bien es incorrecto escribir$2 \in \pow(A)$ ya que ninguno de los elementos en$\pow(A)$ son números! Por otro lado, sí tenemos$\{2\} \in \pow(A)$ porque$\{2\} \subseteq A\text{.}$

¿Qué$\pow(A)$ aspecto tiene un subconjunto de? Observe que$\{2\} \not\subseteq \pow(A)$ porque no todo en$\{2\}$ está en$\pow(A)\text{.}$ Pero sí tenemos$\{ \{2\} \} \subseteq \pow(A)\text{.}$ El único elemento de$\{\{2\}\}$ es el conjunto$\{2\}$ que también es un elemento de$\pow(A)\text{.}$ Podríamos tomar la colección de todos los subconjuntos de$\pow(A)$ y llamarlo$\pow(\pow(A))\text{.}$ O incluso el conjunto de poder de ese conjunto de juegos de conjuntos.

Otra forma de comparar conjuntos es por su tamaño. Observe que en el ejemplo anterior,$A$ tiene 6 elementos y$B\text{,}$$C\text{,}$ y$D$ todos tienen 3 elementos. El tamaño de un conjunto se llama cardinalidad del conjunto. Escribiríamos$|A| = 6\text{,}$$|B| = 3\text{,}$ y así sucesivamente. Para conjuntos que tienen un número finito de elementos, la cardinalidad del conjunto es simplemente el número de elementos en el conjunto. Obsérvese que la cardinalidad de$\{ 1, 2, 3, 2, 1\}$ es 3. No contamos repeticiones (de hecho,$\{1, 2, 3, 2, 1\}$ es exactamente el mismo conjunto que$\{1, 2, 3\}$). Hay conjuntos con cardinalidad infinita, como$\N\text{,}$ el conjunto de números racionales (escritos$\mathbb Q$), el conjunto de números naturales pares, y el conjunto de números reales ($\mathbb R$). Es posible distinguir entre distintas infinitas cardinalidades, pero eso está más allá del alcance de este texto. Para nosotros, un conjunto será infinito, o finito; si es finito, entonces podemos determinar su cardinalidad contando elementos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra la cardinalidad de$A = \{23, 24, \ldots, 37, 38\}\text{.}$
Encuentra la cardinalidad de$B = \{1, \{2, 3, 4\}, \emptyset\}\text{.}$
Si$C = \{1,2,3\}\text{,}$ cuál es la cardinalidad de$\pow(C)\text{?}$

Solución

Ya que$38 - 23 = 15\text{,}$ podemos concluir que la cardinalidad del conjunto es$|A| = 16$ (es necesario agregar uno ya que se incluye 23).
Aquí$|B| = 3\text{.}$ Los tres elementos son el número 1, el conjunto$\{2,3,4\}\text{,}$ y el conjunto vacío.
Escribimos los elementos del poder establecido$\pow(C)$ arriba, y hay 8 elementos (cada uno de los cuales es un conjunto). Entonces$\card{\pow(C)} = 8\text{.}$ (Quizás te preguntes si existe una relación entre$\card{A}$ y$\card{\pow(A)}$ para todos los conjuntos$A\text{.}$ Esta es una buena pregunta a la que volveremos en el Capítulo 1.)

Operaciones en conjuntos

¿Es posible agregar dos juegos? En realidad no, sin embargo hay algo parecido. Si queremos combinar dos conjuntos para obtener la colección de objetos que están en cualquiera de los dos conjuntos, entonces podemos tomar la unión de los dos conjuntos. Simbólicamente,

\ comenzar {ecuación*} C = A\ copa B,\ final {ecuación*}

leer, “$C$es la unión de$A$ y$B\text{,}$” significa que los elementos de$C$ son exactamente los elementos que son un elemento de$A$ o un elemento de$B$ (o un elemento de ambos). Por ejemplo, si$A = \{1, 2, 3\}$ y$B = \{2, 3, 4\}\text{,}$ luego$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}\text{.}$

La otra operación común en conjuntos es la intersección. Escribimos,

\ begin {ecuación*} C = A\ cap B\ final {ecuación*}

y decir, “$C$es la intersección de$A$ y$B\text{,}$” cuando los elementos en$C$ son precisamente los tanto en$A$ y en$B\text{.}$ Entonces si$A = \{1, 2, 3\}$ y$B = \{2, 3, 4\}\text{,}$ entonces$A \cap B = \{2, 3\}\text{.}$

A menudo cuando se trata de sets, vamos a tener cierta comprensión en cuanto a lo que es “todo”. Quizás sólo nos preocupen los números naturales. En este caso diríamos que nuestro universo es$\N\text{.}$ A veces denotamos este universo por$\U\text{.}$ Dado este contexto, podríamos desear hablar de todos los elementos que no están en un conjunto particular. Decimos que$B$ es el complemento de$A\text{,}$ y escribimos,

\ comenzar {ecuación*} B =\ bar A\ final {ecuación*}

cuando$B$ contiene todos los elementos no contenidos en$A\text{.}$ Entonces, si nuestro universo es$\{1, 2,\ldots, 9, 10\}\text{,}$ y$A = \{2, 3, 5, 7\}\text{,}$ entonces$\bar A = \{1, 4, 6, 8, 9,10\}\text{.}$

Por supuesto que podemos realizar más de una operación a la vez. Por ejemplo, considere

\ begin {ecuación*} A\ cap\ bar B.\ end {ecuación*}

Este es el conjunto de todos los elementos que son a la vez elementos de$A$ y no elementos de$B\text{.}$ ¿Qué hemos hecho? Empezamos con$A$ y eliminamos todos los elementos que estaban en$B\text{.}$ Otra forma de escribir esta es la diferencia establecida:

\ begin {ecuación*} A\ cap\ bar B = A\ setmenos B.\ end {ecuación*}

Es importante recordar que estas operaciones (unión, intersección, complemento y diferencia) en conjuntos producen otros conjuntos. No confunda estos con los símbolos de la sección anterior (elemento de y subconjunto de). $A \cap B$es un conjunto, mientras que$A \subseteq B$ es verdadero o falso. Esta es la misma diferencia que entre$3 + 2$ (que es un número) y$3 \le 2$ (que es falso).

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Vamos$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}$$B = \{2, 4, 6\}\text{,}$$C = \{1, 2, 3\}$ y$D = \{7, 8, 9\}\text{.}$ Si el universo se$\U = \{1, 2, \ldots, 10\}\text{,}$ encuentra:

$A \cup B\text{.}$
$A \cap B\text{.}$
$B \cap C\text{.}$
$A \cap D\text{.}$
$\bar{B \cup C}\text{.}$
$A \setminus B\text{.}$
$(D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B}\text{.}$
$\emptyset \cup C\text{.}$
$\emptyset \cap C\text{.}$

Solución

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = A$ya que todo en$B$ ya esta en$A\text{.}$
$A \cap B = \{2, 4, 6\} = B$ya que todo en$B$ esta en$A\text{.}$
$B \cap C = \{2\}$como único elemento de ambos$B$ y$C$ es 2.
$A \cap D = \emptyset$desde entonces$A$ y no$D$ tienen elementos comunes.
$\bar{B \cup C} = \{5, 7, 8, 9, 10\}\text{.}$Primero encontramos que$B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6\}\text{,}$ luego tomamos todo no en ese set.
$A \setminus B = \{1, 3, 5\}$ya que los elementos 1, 3 y 5 están en$A$ pero no en$B\text{.}$ Esto es lo mismo que$A \cap \bar B\text{.}$
$(D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}.$El conjunto contiene todos los elementos que están dentro$D$ pero no en$C$ (es decir,$\{7,8,9\}$), o no en ambos$A$ y$B$ (es decir,$\{1,3,5,7,8,9,10\}$).
$\emptyset \cup C = C$ya que no se agrega nada por el conjunto vacío.
$\emptyset \cap C = \emptyset$ya que nada puede estar tanto en un set como en el conjunto vacío.

Puede notar que los símbolos de unión e intersección se asemejan ligeramente a los símbolos lógicos para “o” y “y”. Esto no es un accidente. Qué significa$x$ para ser un elemento de$A\cup B\text{?}$ Significa que$x$ es un elemento de$A$ o$x$ es un elemento de$B$ (o ambos). Es decir,

\ comenzar {ecuación*} x\ en A\ copa B\ qquad\ Iff\ qquad x\ en A\ vee x\ en B.\ final {ecuación*}

Del mismo modo,

\ comenzar {ecuación*} x\ en A\ cap B\ qquad\ Iff\ qquad x\ en A\ cuña x\ en B.\ final {ecuación*}

También,

\ begin {ecuación*} x\ in\ bar A\ qquad\ Iff\ qquad\ neg (x\ in A). \ end {ecuación*}

que dice que$x$ es un elemento del complemento de$A$ si no$x$ es un elemento de$A\text{.}$

Hay una manera más de combinar conjuntos que nos serán útiles: el producto cartesiano,$A \times B$. Esto suena elegante pero no es nada que no hayas visto antes. Cuando graficas una función en cálculo, la graficas en el plano cartesiano. Este es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales$(x,y)\text{.}$ Podemos hacer esto para cualquier par de conjuntos, no solo los números reales consigo mismos.

Dicho de otra manera,$A \times B = \{(a,b) \st a \in A \wedge b \in B\}\text{.}$ La primera coordenada viene del primer conjunto y la segunda coordenada viene del segundo conjunto. A veces vamos a querer tomar consigo el producto cartesiano de un conjunto, y esto está bien:$A \times A = \{(a,b) \st a, b \in A\}$ (también podríamos escribir$A^2$ para este conjunto). Observe que en todavía$A \times A\text{,}$ queremos todos los pares ordenados, no solo aquellos donde la primera y segunda coordenada son las mismas. También podemos tomar productos de 3 o más juegos, obteniendo pedidos triples, o cuádruples, y así sucesivamente.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Let$A = \{1,2\}$$A \times B$ and$B = \{3,4,5\}\text{.}$ Find y en$A \times A\text{.}$ cuántos elementos esperas estar$B \times B\text{?}$

Solución

$A \times B = \{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}\text{.}$

$A \times A = A^2 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}\text{.}$

$|B\times B| = 9\text{.}$Habrá 3 pares con primera coordenada$3\text{,}$ tres más con primera coordenada$4\text{,}$ y tres finales con primera coordenada$5\text{.}$

Diagramas de Venn

Hay una herramienta visual muy agradable que podemos usar para representar operaciones en sets. Un diagrama de Venn muestra conjuntos como círculos que se cruzan. Podemos sombrear la región de la que estamos hablando cuando realizamos una operación. También podemos representar la cardinalidad de un determinado conjunto poniendo el número en la región correspondiente.

$two-set-venn-empty.svg$ $three-set-empty.svg$

Cada círculo representa un conjunto. El rectángulo que contiene los círculos representa el universo. Para representar combinaciones de estos conjuntos, sombreamos la región correspondiente. Por ejemplo, podríamos dibujar$A \cap B$ como:

$two-set-cap.svg$

Aquí hay una representación de$A \cap \bar B\text{,}$ o equivalentemente$A \setminus B\text{:}$

$two-set-a-minus-b.svg$

Un ejemplo más complicado es$(B \cap C) \cup (C \cap \bar A)\text{,}$ como se ve a continuación.

$three-set-complicated.svg$

Observe que también se podría llegar de otra manera a las regiones sombreadas de arriba. Podríamos haber comenzado con todo$C\text{,}$ entonces excluido la región donde$C$ y$A$ se superponen fuera de$B\text{.}$ Esa región es$(A \cap C) \cap \bar B\text{.}$ Así que el diagrama de Venn anterior también representa$C \cap \bar{\left((A\cap C)\cap \bar B\right)}.$ Así que usando solo la imagen, hemos determinado que

\ begin {ecuación*} (B\ cap C)\ copa (C\ cap\ bar A) = C\ cap\ bar {\ left ((A\ cap C)\ cap\ bar B\ right)}. \ end {ecuación*}