1.1: Conjuntos

Esto es sólo una especie de “definición” porque no es una definición rigurosa de un conjunto. Por ejemplo, ¿a qué nos referimos con una “colección” de objetos? Esta “definición” será suficiente para nuestro rumbo, pero ten en cuenta que definir un conjunto de esta manera vaga puede llevar a algunos problemas matemáticos serios, como la paradoja de Russell. Un matemático cuya experiencia es en la teoría de conjuntos puede ceñirse el ceño de manera desagradable si intentas definir un conjunto como lo hemos hecho anteriormente.

Nota

\(S\)Sea el conjunto de todos los conjuntos que no sean miembros de sí mismos. ¿Es\(S\) miembro de sí mismo? Si piensas detenidamente sobre esto, verás que no\(S\) puede ser ni un miembro de sí mismo, ni tampoco un miembro de sí mismo. ¡Ah, oh! Esta contradicción se conoce como “la paradoja de Russell” (llamada así por el filósofo británico, matemático y académico integral Bertrand Russell). Los matemáticos tratan con esto declarando que algunas colecciones de objetos, llamadas clases, no son en realidad conjuntos.

Definición: Elementos y Conjunto Vacío

A los miembros de un conjunto se les llama sus elementos. Si\(S\) es un conjunto, escribimos\(x\in S\) para indicar “\(x\)es un elemento de\(S\text{,}\)” y\(x \not\in S\) para indicar “no\(x\) es un elemento de\(S\text{.}\)” Hay un conjunto único que no contiene elementos; se llama el conjunto vacío, y denotado por\(\emptyset\text{.}\)

Los conjuntos deben estar bien definidos: es decir, debe quedar claro exactamente qué objetos están en un conjunto y qué objetos no lo están. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros está bien definido, pero el conjunto de todos los enteros grandes no está bien definido, ya que no está claro qué significa “grande” en este contexto.

Nos referimos a algunos conjuntos tan frecuentemente en matemáticas que tenemos notación especial para ellos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Algunos conjuntos comunes son:

\(\begin{array} &&\mathbb{Z} &\;\;\;\;\;\text{the set of all integers (the Z comes “zahlen,” the German word for “numbers”)} \\ &\mathbb{Q} &\;\;\;\;\;\text{set of all rational numbers} \\ &\mathbb{R} &\;\;\;\;\;\text{the set of all real numbers} \\ &\mathbb{C} &\;\;\;\;\;\text{the set of all complex numbers} \\ &\mathbb{N} &\;\;\;\;\; \text{the set of all natural numbers, i.e., \(\{0, 1, 2, \ldots\}\)}\\ & &\;\;\;\;\;\ text {(Tenga en cuenta que muchos libros/matemáticos no incluyen\(0\) en el conjunto de números naturales}\ end {array}\)

Podemos escribir más denotar por\(\mathbb{Z}^+\) the set of all positive integers, and by \(\mathbb{Z}^*\) the set of all nonzero integers. Can you guess what the penultimate notation represents if we replace \(\mathbb{Z}\) with \(\mathbb{Q}\) or \(\mathbb{R}\text{,}\) and/or \(+\) with \(-\text{?}\) What about what the last notation, if we replace \(\mathbb{Z}\) with \(\mathbb{Q}\text{,}\) \(\mathbb{R}\text{,}\) or \(\mathbb{C}\text{?}\)

También proporcionamos notación para conjuntos de matrices comúnmente considerados:

Definición

Dado\(m,n \in \mathbb{Z}^+\) y un conjunto\(S\text{,}\)\(\mathbb{M}_{m\times n}(S)\) definimos como el conjunto de todas las\(m \times n\) matrices sobre\(S\) (es decir, de todas las\(m\times n\) matrices con entradas en\(S\)). Usamos la notación taquigráfica\(\mathbb{M}_n(S)\) para el conjunto\(\mathbb{M}_{n\times n}(S)\text{.}\)

Una forma común de describir un conjunto es enumerar sus elementos en llaves, separadas por comas; puedes usar elipses para indicar un patrón repetido de elementos. Algunos ejemplos son\(\{1,4,\pi\}\text{,}\)\(\{3, 4, 5, \ldots\}\text{,}\) y\(\{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}\text{;}\) el último de estos se puede escribir de manera más concisa como\(\{0,\pm 2, \pm 4,\ldots\}\text{.}\) Note que dado que los elementos de un conjunto están desordenados, los conjuntos\(\{1,4,\pi\}\) y\(\{4,\pi, 1\}\text{,}\) por ejemplo, son idénticos.

Otro método es usar la notación set-builder. Este consiste en un nombre de elemento (o nombres), seguido de dos puntos (que significa “tal que”), seguido de una expresión booleana que involucra el nombre o nombres del elemento, todo rodeado de llaves.

Nota

El uso de dos puntos para denotar “tal que” solo es válido en el contexto de notación set-builder anterior. Fuera de este contexto, nunca debes usar dos puntos para denotar “tal que”; en su lugar, usa la abreviatura “s.t.” o escribe las palabras reales. Por el contrario, nunca use una de esas formas de indicar “tal que” dentro de la notación set-builder; siempre use dos puntos allí. ¿Por qué? Convención.

Por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ {x\ in\ mathbb {Z}: x > 4\}\ fin {ecuación*}

es el conjunto\(\{5, 6, 7, \ldots\}\text{,}\) mientras

\ begin {ecuación*}\ {z\ in\ mathbb {C}: |z|=1\}\ fin {ecuación*}

es el conjunto de todos los números complejos a distancia\(1\) from the origin in the complex plane.

Nota

Si uno simplemente escribe no está\(\{x\,:\,x>4\}\text{,}\) claro qué es este conjunto; podría ser el conjunto de todos los enteros mayores que\(4\), o el conjunto de todos los números reales mayores que 4, o algo más. Cuando se puede, es mejor identificar el/los elemento (s) nombrado (s) como miembro (s) de un conjunto conocido, tal como\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{Z}\text{,}\) siempre que sea posible.

Definición: Subconjunto y Superconjunto

Set\(A\) es un subconjunto de\(B\) (y set\(B\) es un superconjunto de\(A\)) si cada elemento en también\(A\) está en\(B\text{.}\) Denotamos “\(A\)es un subconjunto de\(B\)” por\(A\subseteq B\text{.}\) Conjuntos\(A\) y\(B\) se dice que son iguales , y escribimos\(A=B\text{,}\) si contienen exactamente los mismos elementos; equivalentemente,\(A=B\) si y solo si\(A \subseteq B\) y\(B\subseteq A\text{.}\) Set\(A\) es un subconjunto apropiado de conjunto\(B\) si\(A\subseteq B\) pero\(A\neq B\text{;}\) escribimos esto\(A\subsetneq B\text{.}\)

Observación

A veces la notación\(A\subset B\) se usa para indicar que\(A\) es un subconjunto propio de\(B\text{,}\) y a veces simplemente se usa para significar que\(A\) es un subconjunto, apropiado o inapropiado, de No\(B\text{.}\) usaremos la notación\(A \subset B\) en este texto.

Nota

A menudo se demuestra que dos conjuntos\(A\) y\(B\) son iguales al demostrar que\(A\subseteq B\) y\(B\subseteq A\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Contamos con lo siguiente:\(\mathbb{Z}^+ \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}\text{.}\)

Definición: Power Set

El conjunto de potencia de\(A\text{,}\) denotado\(P(A)\text{,}\) es el conjunto de todos los subconjuntos de\(A\text{.}\) (Tenga en cuenta que el conjunto de potencia de cualquier conjunto contiene el conjunto vacío como un elemento.)

Nota

¡Ten cuidado de usar tus llaves correctamente al escribir conjuntos de energía! Recuerde, el conjunto de potencia de un conjunto es un conjunto de conjuntos.

A continuación se proporciona un buen ejemplo del uso de llaves correctamente.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Si\(A=\{a,b\}\text{,}\) entonces\(P(A)=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\text{.}\) Tenga en cuenta que el elemento\(\{a,b\}\) de también\(P(A)\) podría escribirse simplemente como\(A\text{.}\)

Definición: Unión, intersección, diferencia y disjunta

Si\(A\) y\(B\) son subconjuntos de un conjunto\(U\text{,}\) entonces la unión de\(A\) y\(B\text{,}\) denotado\(A\cup B\text{,}\) es el conjunto de\(A\cup B=\{x\in U : x\in A \text{ or } x\in B\};\) la intersección\(A\) y\(B\text{,}\) denotado\(A\cap B\text{,}\) es el conjunto\(A\cap B=\{x \in U: x\in A \text{ and } x\in B\};\) y la diferencia de \(A\)y\(B\text{,}\) denotado\(A-B\) (o\(A\setminus B\)), es el conjunto\(A-B=\{x: x\in A \text{ and } x\not\in B\}.\)
De manera más general, dada cualquier colección de subconjuntos\(A_i\) (\(i\)en algún conjunto de índices\(I\)) de un conjunto,\(U\text{,}\) la unión de\(A_i\) la

\ begin {ecuación*}\ bigcup_ {i\ in I} a_i=\ {x\ en U: x\ en a_i\ texto {para algunos} i\ en I\},\ end {ecuación*}

y la intersección del\(A_i\) is

\ begin {ecuación*}\ bigcap_ {i\ in I} a_i=\ {x\ en U: x\ en a_i\ texto {por cada} i\ en I\}. \ end {ecuación*}

Establece\(A\) y\(B\) son disjuntos si\(A\cap B=\emptyset\text{.}\) Más generalmente, los conjuntos\(A_i\) (\(i\)en algún conjunto de índices\(I\)) son disjuntos si

\ begin {ecuación*}\ bigcap_ {i\ in I} a_i=\ emptyset\ end {ecuación*}

y son mutuamente disjuntas si

\ begin {ecuación*} a_i\ cap a_J=\ emptyset\ text {para todos} i\ neq j\ en I.\ end {ecuación*}

Observe que para cualquier subconjunto\(A\) y\(B\) de un conjunto\(U\text{,}\)\(A\cap B \subseteq A \subseteq A\cup B\) y\(A\cap B \subseteq B \subseteq A\cup B\text{.}\) también tenga en cuenta que si los conjuntos\(A_i\) (\(i \in I\)) son mutuamente disjuntos entonces también son disjuntos, pero pueden ser disjuntos sin ser mutuamente disjuntos. Por ejemplo, los conjuntos\(\{i, i+1\}\) para\(i\in \mathbb{Z}\) son disjuntas pero no mutuamente disjuntas. (¿Ves por qué?)

Definimos una forma más de “combinar” conjuntos.

Definición: Producto Directo y Par Pedido

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Entonces el producto directo (o producto cartesiano)\(A\times B\) de\(A\) y\(B\) es el conjunto

\ begin {ecuación*} A\ veces B =\ {(a, b):\ text {\(a\in A\),\(b\in B\)}\}\}. \ end {ecuación*}

Un elemento\((a,b)\) de\(A\times B\) se llama par ordenado. De manera más general, si\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) son conjuntos para algunos\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) entonces el producto de la\(A_i\) es

\ begin {ecuation*} A_1\ times A_2\ times\ cdots\ times a_n=\ {(a_1, a_2\ ldots, a_n): a_i\ in a_i\ text {for} i=1,2,\ ldots, n\};\ end {ecuación*}

los elementos\(a_1, a_2, \ldots, a_n\) de este producto se llaman\(n\)-tuples (or triples, if \(n=3\)). (You can also have products of infinitely many sets, but we will not discuss that in this course.) Finally, if each set \(A_i\) is the same set \(A\text{,}\) we can use the notation \(A^n\) to denote the product

\ begin {ecuación*} A\ veces B =\ {(a, b):\ text {\(a\in A\),\(b\in B\)}\}\}. \ end {ecuación*}

de\(n\) copias de\(A\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Por ejemplo, el plano cartesiano es el conjunto\(\mathbb{R}^2\text{,}\) y el conjunto\(\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) consiste exactamente en los puntos del plano con\(x\) coordenadas enteras (es decir, los puntos que se encuentran en líneas verticales que intersectan el\(x\) eje -en valores enteros).