2.E: Secuencias (Ejercicios)

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2.1: Definiciones

1

Encuentra la fórmula cerrada para cada una de las siguientes secuencias relacionándolas con una secuencia bien conocida. Supongamos que el primer término dado es$a_1\text{.}$

1. $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$
2. $0, 2, 5, 9, 14, 20, \ldots$
3. $8, 12, 17, 23, 30,\ldots$
4. $1, 5, 23, 119, 719,\ldots$

Contestar

1. $a_n = n^2 + 1\text{.}$
2. $a_n = \frac{n(n+1)}{2} - 1\text{.}$
3. $a_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2} + 2\text{.}$
4. $a_n = (n+1)! - 1$(donde$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$).

2

Para cada secuencia dada a continuación, encuentre una fórmula cerrada para$a_n\text{,}$ el término$n$ th de la secuencia (supongamos que los primeros términos son$a_0$) relacionándola con otra secuencia para la que ya conoce la fórmula. En cada caso, diga brevemente cómo obtuvo sus respuestas.

1. 4, 5, 7, 11, 19, 35,...
2. 0, 3, 8, 15, 24, 35,...
3. 6, 12, 20, 30, 42,...
4. 0, 2, 7, 15, 26, 40, 57,... (Pista críptica: estos podrían llamarse “números de casa”)

3

La secuencia de Fibonacci es$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ (donde$F_0 = 0$).

1. Dar la definición recursiva para la secuencia.
2. Escribe los primeros términos de la secuencia de sumas parciales:$0\text{,}$$0+1\text{,}$$0+1+1\text{,}$...
3. Dar una fórmula cerrada para la secuencia de sumas parciales en términos de$F_n$ (por ejemplo, podría decirse$F_0 + F_1 + \cdots + F_n = 3F_{n-1}^2 + n\text{,}$ aunque eso definitivamente no es correcto).

Contestar

1. $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$con$F_0 = 0$ y$F_1 = 1\text{.}$
2. $0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, \ldots.$
3. $F_0 + F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1.$

4

Considera las tres secuencias siguientes. Para cada uno, encuentra una definición recursiva. ¿Cómo se relacionan estas secuencias?

1. $2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, \ldots\text{.}$
2. $5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, \ldots\text{.}$
3. $0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,\ldots\text{.}$

Contestar

Todas las secuencias tienen la misma relación de recurrencia:$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ (la misma que los números de Fibonacci). La única diferencia son las condiciones iniciales.

5

Mostrar que$a_n = 3\cdot 2^n + 7\cdot 5^n$ es una solución a la relación de recurrencia$a_n = 7a_{n-1} - 10a_{n-2}\text{.}$ ¿Cuáles necesitarían ser las condiciones iniciales para que esta sea la fórmula cerrada para la secuencia?

6

Escribe los primeros términos de la secuencia dada por$a_1 = 3\text{;}$$a_n = 2a_{n-1} + 4\text{.}$ Luego encuentra una definición recursiva para la secuencia$10, 24, 52, 108, \ldots\text{.}$

7

Escribe los primeros términos de la secuencia dada por$a_n = n^2 - 3n + 1\text{.}$ Luego encuentra una fórmula cerrada para la secuencia (comenzando con$a_1$)$0, 2, 6, 12, 20, \ldots\text{.}$

8

Encuentra una fórmula cerrada para la secuencia con definición recursiva$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$ con$a_1 = 1$ y$a_2 = 2\text{.}$

9

Encuentra una definición recursiva para la secuencia con fórmula cerrada Puntos$a_n = 3 + 2n\text{.}$ extra si puedes dar una definición recursiva en la que hace uso de dos términos anteriores y no constantes.

2.2: Secuencias aritméticas y geométricas

1

Considera la secuencia$5, 9, 13, 17, 21, \ldots$ con$a_1 = 5$

1. Dar una definición recursiva para la secuencia.
2. Dar una fórmula cerrada para el término$n$ th de la secuencia.
3. ¿$2013$Un término está en la secuencia? Explique.
4. ¿Cuántos términos tiene la secuencia$5, 9, 13, 17, 21, \ldots, 533$?
5. Encuentra la suma:$5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \cdots + 533\text{.}$ Muestra tu trabajo.
6. Usa lo que encontraste arriba para encontrar$b_n\text{,}$ el$n^{th}$ término de$1, 6, 15, 28, 45, \ldots\text{,}$ donde$b_0 = 1$

Contestar

1. $a_n = a_{n-1} + 4$con$a_1 = 5\text{.}$
2. $a_n = 5 + 4(n-1)\text{.}$
3. Sí, ya que$2013 = 5 + 4(503-1)$ (así$a_{503} = 2013$).
4. 133
5. $\frac{538\cdot 133}{2} = 35777\text{.}$
6. $b_n = 1 + \frac{(4n+6)n}{2}\text{.}$

2

Considera la secuencia$(a_n)_{n \ge 0}$ que comienza$8, 14, 20, 26, \ldots\text{.}$

1. ¿Cuál es el siguiente término en la secuencia?
2. Encuentra una fórmula para el término$n$ th de esta secuencia.
3. Encuentra la suma de los primeros 100 términos de la secuencia:$\sum_{k=0}^{99}a_k\text{.}$

Contestar

1. $32\text{,}$que es$26+6\text{.}$
2. $a_n = 8 + 6n\text{.}$
3. $30500\text{.}$Queremos$8 + 14 + \cdots + 602\text{.}$ Reverse y sumar para obtener 100 sumas de 610, un total de 61000, que es el doble de la suma que estamos buscando.

3

Considera la suma$4 + 11 + 18 + 25 + \cdots + 249\text{.}$

1. ¿Cuántos términos (summands) hay en la suma?
2. Compute la suma. Recuerda mostrar todo tu trabajo.

Contestar

1. 36.
2. $\frac{253 \cdot 36}{2} = 4554\text{.}$

4

Considera la secuencia$1, 7, 13, 19, \ldots, 6n + 7\text{.}$

1. ¿Cuántos términos hay en la secuencia?
2. ¿Cuál es el penúltimo trimestre?
3. Encuentra la suma de todos los términos en la secuencia.

Contestar

1. $n+2$términos, ya que para obtener 1 usando la fórmula$6n+7$ debemos usar$n=-1\text{.}$ Así tenemos$n$ términos, más los$n=-1$ términos$n=0$ y.
2. $6n+1\text{,}$que es 6 menos que$6n+7$ (o$n-1$ enchufar$n$).
3. $\frac{(6n+8)(n+2)}{2}\text{.}$Revertir y agregar. Cada suma da la constante$6n+8$ y hay$n+2$ términos.

5

Encuentra$5 + 7 + 9 + 11+ \cdots + 521\text{.}$

Contestar

$68117\text{.}$Si tomamos$a_0 = 5\text{,}$ los términos de la suma son una secuencia aritmética con fórmula cerrada$a_n = 5+2n\text{.}$ Entonces$521 = a_{258}\text{,}$ para un total de 259 términos en la suma. Revertir y sumar para obtener 259 526 términos idénticos, que es el doble del total que buscamos. $526\cdot 259 = 68117$

6

Encuentra$5 + 15 + 45 + \cdots + 5\cdot 3^{20}\text{.}$

Contestar

$\frac{5-5\cdot 3^{21}}{-2}\text{.}$Dejar que la suma sea$S\text{,}$ y computar$S - 3S = -2S\text{,}$ cuál causa términos excepto$5$ y$-5\cdot 3^{21}$ cancelar. Luego resuelva para$S\text{.}$

7

Encuentra$1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \cdots + \frac{2^{30}}{3^{30}}\text{.}$

8

Encontrar$x$ y$y$ tal que$27, x, y, 1$ es parte de una secuencia aritmética. Entonces encuentra$x$ y$y$ para que la secuencia sea parte de una secuencia geométrica. (Advertencia:$x$ y$y$ podría no ser enteros.)

9

Comenzando con cualquier rectángulo, podemos crear un nuevo rectángulo más grande uniendo un cuadrado al lado más largo. Por ejemplo, si empezamos con un$2\times 5$ rectángulo, pegaríamos en un$5\times 5$ cuadrado, formando un$5 \times 7$ rectángulo:

1. Crea una secuencia de rectángulos usando esta regla empezando por un$1\times 2$ rectángulo. Después escribe la secuencia de perímetros para los rectángulos (el primer término de la secuencia sería 6, ya que el perímetro de un$1\times 2$ rectángulo es 6 - el siguiente término sería 10).
2. Repita la parte anterior esta vez comenzando con un$1 \times 3$ rectángulo.
3. Encuentra fórmulas recursivas para cada una de las secuencias de perímetros que encontraste en las partes (a) y (b). No olvides dar las condiciones iniciales también.
4. ¿Las secuencias son aritméticas? ¿Geométrico? Si no, ¿están cerca de ser alguno de estos (es decir, son las diferencias o proporciones casi constantes)? Explique.

10

Considera la secuencia$2, 7, 15, 26, 40, 57, \ldots$ (con$a_0 = 2$). Al observar las diferencias entre términos, expresar la secuencia como una secuencia de sumas parciales. A continuación, encuentre una fórmula cerrada para la secuencia calculando la suma parcial$n$ th.

Contestar

Tenemos$2 = 2\text{,}$$7 = 2+5\text{,}$$15 = 2 + 5 + 8\text{,}$$26 = 2+5+8+11\text{,}$ y así sucesivamente. Los términos en las sumas vienen dados por la secuencia aritmética$b_n = 2+3n\text{.}$ En otras palabras,$a_n = \sum_{k=0}^n (2+3k)\text{.}$ Para encontrar la fórmula cerrada, invertimos y agregamos. Obtenemos$a_n = \frac{(4+3n)(n+1)}{2}$ (tenemos$n+1$ ahí porque hay$n+1$ términos en la suma para$a_n$).

11

Si tienes suficientes mondadientes, puedes hacer una gran rejilla triangular. Abajo, se encuentran las rejillas triangulares de tamaño 1 y de tamaño 2. La rejilla de tamaño 1 requiere 3 palillos de dientes, la rejilla de tamaño 2 requiere 9 mondadientes.

1. Dejar$t_n$ ser el número de palillos de dientes requeridos para hacer una rejilla$n$ triangular de tamaño. Escribe los primeros 5 términos de la secuencia$t_1, t_2, \ldots\text{.}$
2. Encuentra una definición recursiva para la secuencia. Explica por qué estás en lo correcto.
3. ¿La secuencia es aritmética o geométrica? Si no, ¿es la secuencia de sumas parciales de una secuencia aritmética o geométrica? Explica por qué tu respuesta es correcta.
4. Usa tus resultados de la parte (c) para encontrar una fórmula cerrada para la secuencia. Muestre su trabajo.

12

Utilice la notación summation ($\sum$) o product ($\prod$) para reescribir lo siguiente.

1. $2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n\text{.}$
2. $1 + 5 + 9 + 13 + \cdots + 425\text{.}$
3. $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{50}\text{.}$
4. $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n\text{.}$
5. $(\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})\cdots(\frac{100}{101})\text{.}$

Contestar

1. $\d\sum_{k=1}^n 2k\text{.}$
2. $\d\sum_{k=1}^{107} (1 + 4(k-1))\text{.}$
3. $\d\sum_{k=1}^{50} \frac{1}{k}\text{.}$
4. $\d\prod_{k=1}^n 2k\text{.}$
5. $\d\prod_{k=1}^{100} \frac{k}{k+1}\text{.}$

13

Ampliar las siguientes sumas y productos. Es decir, escríbelos el largo camino.

1. $\d\sum_{k=1}^{100} (3+4k)\text{.}$
2. $\d\sum_{k=0}^n 2^k\text{.}$
3. $\d\sum_{k=2}^{50}\frac{1}{(k^2 - 1)}\text{.}$
4. $\d\prod_{k=2}^{100}\frac{k^2}{(k^2-1)}\text{.}$
5. $\d\prod_{k=0}^n (2+3k)\text{.}$

Contestar

1. $\d\sum_{k=1}^{100} (3+4k) = 7 + 11 + 15 + \cdots + 403\text{.}$
2. $\d\sum_{k=0}^n 2^k = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^n\text{.}$
3. $\d\sum_{k=2}^{50}\frac{1}{(k^2 - 1)} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \cdots + \frac{1}{2499}\text{.}$
4. $\d\prod_{k=2}^{100}\frac{k^2}{(k^2-1)} = \frac{4}{3}\cdot\frac{9}{8}\cdot\frac{16}{15}\cdots\frac{10000}{9999}\text{.}$
5. $\d\prod_{k=0}^n (2+3k) = (2)(5)(8)(11)(14)\cdots(2+3n)\text{.}$

2.3: Ajuste polinomial

1

Use el ajuste polinomial para encontrar la fórmula para el término$n$ th de las secuencias$(a_n)_{n \ge 0}$ a continuación.

1. 2, 5, 11, 21, 36,...
2. 0, 2, 6, 12, 20,...
3. 1, 2, 4, 8, 15, 26...
4. 3, 6, 12, 22, 37,... Después de encontrar una fórmula aquí, compare con la parte (a).

Contestar

1. Observe que las terceras diferencias son constantes, así que$a_n = an^3 + bn^2 + cn + d\text{.}$ use los términos de la secuencia para resolver para$a, b, c,$ y$d$ para obtener$a_n = \frac{1}{6} (12+11 n+6 n^2+n^3)\text{.}$
2. $a_n = n^2 + n\text{.}$Aquí sabemos que estamos buscando una cuadrática porque las segundas diferencias son constantes. Entonces$a_n = an^2 + bn + c\text{.}$ ya que$a_0 = 0\text{,}$ sabemos$c= 0\text{.}$ Así que solo resuelve el sistema\ begin {align*} 2\ amp = a + b\\ 6\ amp = 4a + 2b\ end {align*}

2

Conforman secuencias que tienen

1. 3, 3, 3,... como sus segundas diferencias.
2. 1, 2, 3, 4, 5,... como sus terceras diferencias.
3. 1, 2, 4, 8, 16,... como sus 100 diferencias.

3

Considera la secuencia$1, 3, 7, 13, 21, \ldots\text{.}$ Explica cómo sabes que la fórmula cerrada para la secuencia será cuadrática. Entonces “adivina” la fórmula correcta comparando esta secuencia con los cuadrados$1, 4, 9, 16, \ldots$ (no use ajuste polinómico).

Solución

Las primeras diferencias son$2, 4, 6, 8, \ldots\text{,}$ y las segundas diferencias son$2, 2, 2, \ldots\text{.}$ Así la secuencia original es$\Delta^2$ -constante, por lo que puede ajustarse a una cuadrática.

Llamar a la secuencia original$a_n\text{.}$ Considerar$a_n - n^2\text{.}$ Esto da$0, -1, -2, -3, \ldots\text{.}$ Esa secuencia tiene fórmula cerrada$1-n$ (comenzando en$n = 1$) así que tenemos$a_n - n^2 = 1-n$ o equivalentemente$a_n = n^2 - n + 1\text{.}$

4

Utilizar una técnica similar a la del ejercicio anterior para encontrar una fórmula cerrada para la secuencia$2, 11, 34, 77, 146, 247,\ldots\text{.}$

5

En su tiempo de inactividad, los piratas fantasmas disfrutan apilando balas de cañón en pirámides triangulares (también conocidas como tetraedros), como las que se muestran aquí:

Tenga en cuenta, en la imagen de la derecha, hay algunas balas de cañón (en realidad solo una) que no se pueden ver. La siguiente imagen tendría 4 balas de cañón que no puedes ver. Las pilas no son huecas.

Los piratas se preguntan cuántas balas de cañón se requerirían para construir una pirámide de 15 capas de altura (rompiendo así el récord mundial de apilamiento de balas de cañón). ¿Puedes ayudar?

1. Dejar$P(n)$ denotar el número de balas de cañón necesarias para crear una pirámide de$n$ capas altas. Entonces$P(1) = 1\text{,}$$P(2) = 4\text{,}$ y así sucesivamente. Calcular$P(3)\text{,}$$P(4)$ y$P(5)\text{.}$
2. Utilice el ajuste polinomial para encontrar una fórmula cerrada para$P(n)\text{.}$ Mostrar su trabajo.
3. Responde a la pregunta del pirata: ¿cuántas balas de cañón necesitan para hacer una pirámide de 15 capas de altura?

6

Supongamos que$a_n = n^2 + 3n + 4\text{.}$ encuentra una fórmula cerrada para la secuencia de diferencias calculando$a_n - a_{n-1}\text{.}$

Contestar

$a_{n-1} = (n-1)^2 + 3(n-1) + 4 = n^2 + n + 2\text{.}$Por lo tanto,$a_n - a_{n-1} = 2n+2\text{.}$ tenga en cuenta que esto es lineal (aritmética). Podemos comprobar que estamos en lo correcto. La secuencia$a_n$ es$4, 8, 14, 22, 32, \ldots$ y la secuencia de diferencias es así con la$4, 6, 8, 10,\ldots$ que concuerda$2n+2$ (si empezamos en$n = 1$).

7

Repita lo anterior asumiendo esta vez Es$a_n = an^2 + bn + c\text{.}$ decir, probar que cada secuencia cuadrática tiene diferencias aritméticas.

8

¿Se puede utilizar el ajuste polinomial para encontrar la fórmula para el término$n$ th de la secuencia 4, 7, 11, 18, 29, 47,...? Explique por qué o por qué no.

9

¿La secuencia$n$ th de diferencias de$2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ alguna vez será constante? Explique.

10

Considera las secuencias$2, 5, 12, 29, 70, 169, 408,\ldots$ (con$a_0 = 2$).

1. Describir la tasa de crecimiento de esta secuencia.
2. Encuentra una definición recursiva para la secuencia.
3. Encuentra una fórmula cerrada para la secuencia.
4. Si miras la secuencia de diferencias entre términos, y luego la secuencia de segundas diferencias, la secuencia de terceras diferencias, etc., ¿alguna vez obtendrás una secuencia constante? Explica cómo sabes

2.4: Resolver relaciones de recurrencia

1

Encuentra los siguientes dos términos$(a_n)_{n\ge 0}$ al principio$3, 5, 11, 21, 43, 85\ldots.\text{.}$ Luego da una definición recursiva para la secuencia. Finalmente, utilice la técnica de raíz característica para encontrar una fórmula cerrada para la secuencia.

Contestar

171 y 341. $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$con$a_0 = 3$ y fórmula$a_1 = 5\text{.}$ cerrada:$a_n = \frac{8}{3}2^n + \frac{1}{3}(-1)^n\text{.}$ Para encontrar esto resuelve el polinomio característico,$x^2 - x - 2\text{,}$ para obtener raíces características$x = 2$ y$x=-1\text{.}$ Luego resolver el sistema\ begin {align*} 3\ amp = a + b\\ 5\ amp = 2a - b\ end {align*}

2

Resolver la relación de recurrencia$a_n = a_{n-1} + 2^n$ con$a_0 = 5\text{.}$

Contestar

$a_n = 3 + 2^{n+1}\text{.}$Deberíamos usar telescopios o iteraciones aquí. Por ejemplo, telescópico da

\ begin {alinear*} a_1 - a_0\ amp = 2^1\ a_2 - a_1\ amp = 2^2\ a_3 - a_2\ amp = 2^3\\ vdots\ amp\ vdots\\ a_n - a_ {n-1}\ amp = 2^n\ end {align*}

que suma a$a_n - a_0 = 2^{n+1} - 2$ (usando la técnica multiplicar-cambiar-restar de la Sección 2.2 para el lado derecho). Sustituir$a_0 = 5$ y resolver para$a_n$ completa la solución.

3

Mostrar que$4^n$ es una solución a la relación de recurrencia$a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2}\text{.}$

Contestar

Reclamamos$a_n = 4^n$ obras. Conectarlo:$4^n = 3(4^{n-1}) + 4(4^{n-2})\text{.}$ Esto funciona, simplemente simplifique el lado derecho.

4

Encontrar la solución a la relación de recurrencia$a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2}$ con términos iniciales$a_0 = 2$ y$a_1 = 3\text{.}$

Contestar

Por la Técnica Raíz Característica. $a_n = 4^n + (-1)^n\text{.}$

5

Encontrar la solución a la relación de recurrencia$a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2}$ con términos iniciales$a_0 = 5$ y$a_1 = 8\text{.}$

6

Resuelve la relación de recurrencia$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}\text{.}$

1. ¿Cuál es la solución si los términos iniciales son$a_0 = 1$ y$a_1 = 2\text{?}$
2. ¿Cuáles deben ser los términos iniciales para$a_9 = 30\text{?}$
3. Para$x$ los cuales hay términos iniciales que hacen$a_9 = x\text{?}$

7

Resolver la relación de recurrencia$a_n = 3a_{n-1} + 10a_{n-2}$ con términos iniciales$a_0 = 4$ y$a_1 = 1\text{.}$

8

Supongamos que$r^n$ y$q^n$ son ambas soluciones a una relación de recurrencia de la forma$a_n = \alpha a_{n-1} + \beta a_{n-2}\text{.}$ Demostrar que también$c\cdot r^n + d \cdot q^n$ es una solución a la relación de recurrencia, para cualquier constante$c, d\text{.}$

9

Piense en la mágica máquina de dulces en la tienda de comestibles de su vecindario. Supongamos que la primera vez que se pone un cuarto en la máquina sale 1 Skittle. La segunda vez, 4 Skittles, la tercera vez 16 Skittles, la cuarta vez 64 Skittles, etc.

1. Encuentra una fórmula recursiva y cerrada para saber cuántos Skittles obtiene el n º cliente.
2. Verifique su solución para la fórmula cerrada resolviendo la relación de recurrencia usando la técnica de Raíz Característica.

10

Tienes acceso a$1 \times 1$ azulejos que vienen en 2 colores diferentes y$1\times 2$ azulejos que vienen en 3 colores diferentes. Queremos averiguar cuántos diseños de$1 \times n$ caminos diferentes podemos hacer con estos azulejos.

1. Buscar una definición recursiva para la secuencia$a_n$ de rutas de longitud$n\text{.}$
2. Resolver la relación de recurrencia utilizando la técnica Raíz Característica.

11

Let$a_n$ be the number of$1 \times n$ tile designs you can make using$1 \times 1$ squares available in 4 colors and$1 \times 2$ dominoes available in 5 colors.

1. Primero, encontrar una relación de recurrencia para describir el problema. Explicar por qué la relación de recurrencia es correcta (en el contexto del problema).
2. Escribe los primeros 6 términos de la secuencia$a_1, a_2, \ldots\text{.}$
3. Resolver la relación de recurrencia. Es decir, encontrar una fórmula cerrada para$a_n\text{.}$

12

Considerar la relación de recurrencia$a_n = 4a_{n-1} - 4a_{n-2}\text{.}$

1. Encuentre la solución general a la relación de recurrencia (cuidado con la raíz repetida).
2. Encuentre la solución cuando$a_0 = 1$ y$a_1 = 2\text{.}$
3. Encuentre la solución cuando$a_0 = 1$ y$a_1 = 8\text{.}$

2.5: Inducción

1

Usa la inducción para probar todo$n \in \N$ eso$\d\sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1} - 1\text{.}$

Solución

Prueba

Debemos probar eso$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots +2^n = 2^{n+1} - 1$ para todos$n \in \N\text{.}$ Así que$P(n)$ sea la declaración$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n+1} - 1\text{.}$ Vamos a probar que$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$ Primero establecemos el caso base,$P(0)\text{,}$ que afirma que$1 = 2^{0+1} -1\text{.}$ Desde que$2^1 - 1 = 2 - 1 = 1\text{,}$ vemos eso$P(0)$ es cierto. Ahora para el caso inductivo. Supongamos que eso$P(k)$ es cierto para un arbitrario$k \in \N\text{.}$ Es decir,$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^k = 2^{k+1} - 1\text{.}$ Debemos demostrar que$P(k+1)$ es cierto (es decir, eso$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k+1} = 2^{k+2} - 1$). Para ello, comenzamos con el lado izquierdo de$P(k+1)$ y trabajamos hacia el lado derecho:

\ begin {alinear*} 1 + 2 + 2^2 +\ cdots + 2^k + 2^ {k+1} =\ amp ~ 2^ {k+1} - 1 + 2^ {k+1}\ amp\ texto {por hipótesis inductiva}\\ =\ amp ~2\ cdot 2^ {k+1} - 1\ amp\ =\ amp ~ 2^ {k+2} - 1\ amp\ end {align*}

Así$P(k+1)$ es cierto así por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

2

Demostrar que$7^n - 1$ es un múltiplo de 6 para todos$n \in \N\text{.}$

Solución

Prueba

Let$P(n)$ be the statement “$7^n - 1$es un múltiplo de 6”. Vamos a mostrar$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$ Primero establecemos el caso base,$P(0)\text{.}$ ya que$7^0 - 1 = 0\text{,}$ y$0$ es un múltiplo de 6,$P(0)$ es cierto. Ahora para el caso inductivo. Asumir$P(k)$ retenciones para un arbitrario Es$k \in \N\text{.}$ decir,$7^k - 1$ es un múltiplo de 6, o en otras palabras,$7^k - 1 = 6j$ para algún entero$j\text{.}$ Ahora considere$7^{k+1} - 1\text{:}$

\ begin {align*} 7^ {k+1} - 1 ~\ amp = 7^ {k+1} - 7 + 6\ amp\ text {por astucia:} -1 = -7 + 6\\ amp = 7 (7^k - 1) + 6\ amp\ text {factor hacia fuera un 7 de los dos primeros términos}\\\ amp = 7 (6j) + 6\ amp\ texto {por el hipótesis}\\\ amp = 6 (7j + 1)\ amp\ text {factor de salida a 6}\ end {alinear*}

Por lo tanto$7^{k+1} - 1$ es un múltiplo de 6, o en otras palabras,$P(k+1)$ es cierto. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

3

Demostrar que$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ para todos$n \ge 1\text{.}$

Solución

Prueba

$P(n)$Sea la afirmación$1+3 +5 + \cdots + (2n-1) = n^2\text{.}$ Vamos a probar que$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 1\text{.}$ Primero el caso base,$P(1)\text{.}$ Tenemos$1 = 1^2$ que es cierto, así$P(1)$ se establece. Ahora el caso inductivo. Supongamos que eso$P(k)$ es cierto para algunos arbitrarios$k \ge 1\text{.}$ fijos Es decir, ahora$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) = k^2\text{.}$ vamos a probar que también$P(k+1)$ es cierto (es decir, eso$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k+1) = (k+1)^2$). Comenzamos por el lado izquierdo de$P(k+1)$ y trabajamos hacia el lado derecho:

\ start {alinear*} 1 + 3 + 5 +\ cdots + (2k-1) + (2k+1) ~\ amp = k^2 + (2k+1)\ amp\ texto {por ind. hyp.}\\ amp = (k+1) ^2\ amp\ texto {factorizando}\ end {alinear*}

Así$P(k+1)$ sostiene, así por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 1\text{.}$

4

Demostrar que$F_0 + F_2 + F_4 + \cdots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1$ dónde$F_n$ está el número$n$ th de Fibonacci.

Solución

Prueba

$P(n)$Sea la afirmación$F_0 + F_2 + F_4 + \cdots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1\text{.}$ Demostraremos que$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 0\text{.}$ Primero el caso base es fácil porque$F_0 = 0$ y$F_1 = 1$ así$F_0 = F_1 - 1\text{.}$ Ahora considera el caso inductivo. Supongamos que$P(k)$ es cierto, es decir, asumir$F_0 + F_2 + F_4 + \cdots + F_{2k} = F_{2k+1} - 1\text{.}$ Para establecer$P(k+1)$ trabajamos de izquierda a derecha:

\ begin {alinear*} F_0 + F_2 +\ cdots + F_ {2k} + F_ {2k+2} ~\ amp = F_ {2k+1} - 1 + F_ {2k+2}\ amp\ texto {por ind. hyp.}\\ amp = F_ {2k+1} + F_ {2k+2} - 1\ amp\ amp\ amp = F_ {2k+3} - 1\ amp\ texto {por definición recursiva} \ end {alinear*}

Por$F_0 + F_2 + F_4 + \cdots + F_{2k+2} = F_{2k+3} - 1\text{,}$ lo tanto, es decir$P(k+1)$ sostiene. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 0\text{.}$

5

Demostrar eso$2^n \lt n!$ para todos$n \ge 4\text{.}$ (Recall,$n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots\cdot n\text{.}$)

Solución

Prueba

Dejar$P(n)$ ser la declaración$2^n \lt n!\text{.}$ Vamos a mostrar$P(n)$ es verdad para todos$n \ge 4\text{.}$ Primero, comprobamos el caso base y vemos que sí,$2^4 \lt 4!$ (como$16 \lt 24$) así$P(4)$ es cierto. Ahora para el caso inductivo. Asumir$P(k)$ es cierto para una arbitraria Es$k \ge 4\text{.}$ decir,$2^k \lt k!\text{.}$ Ahora considere$P(k+1)\text{:}$$2^{k+1} \lt (k+1)!\text{.}$ Para probar esto, comenzamos por el lado izquierdo y trabajamos hacia el lado derecho.

\ begin {alinear*} 2^ {k+1} ~\ amp = 2\ cdot 2^k\ amp\\ amp\\ amp\ lt 2\ cdot k! \ amp\ text {por la hipótesis inductiva}\\\ amp\ lt (k+1)\ cdot k! \ amp\ texto {desde} k+1\ gt 2\\\ amp = (k+1)! \ amp\ final {alinear*}

Por lo tanto$2^{k+1} \lt (k+1)!$ así lo hemos establecido$P(k+1)\text{.}$ Así por el principio de inducción matemática$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 4\text{.}$

6

Demostrar, por inducción matemática, que$F_0 + F_1 + F_2 + \cdots + F_{n} = F_{n+2} - 1\text{,}$ donde$F_n$ está el número$n$ th Fibonacci ($F_0 = 0\text{,}$$F_1 = 1$y$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$).

7

Zombie Euler y Zombie Cauchy, dos famosos matemáticos zombis, acaban de registrarse en las cuentas de Twitter. Después de un día, Zombie Cauchy tiene más seguidores que Zombie Euler. Cada día después de eso, el número de nuevos seguidores de Zombie Cauchy es exactamente el mismo que el número de nuevos seguidores de Zombie Euler (y ninguno pierde seguidores). Explica cómo una prueba por inducción matemática puede demostrar que cada día después del primer día, Zombie Cauchy tendrá más seguidores que Zombie Euler. Es decir, explique cuáles son el caso base y el caso inductivo, y por qué juntos prueban que Zombie Cauchy tendrá más seguidores en el 4to día.

8

Encuentra la mayor cantidad de puntos que un equipo de fútbol no puede obtener exactamente usando solo goles de campo de 3 puntos y touchdowns de 7 puntos (ignora las posibilidades de seguridad, puntos extra perdidos y conversiones de dos puntos). Demuestra que tu respuesta es correcta por inducción matemática.

9

Demostrar que la suma de$n$ cuadrados se puede encontrar de la siguiente manera

\ begin {ecuación*} 1^2 +2^2 +3^2+... +n^2 =\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6}\ final {ecuación*}

10

¿Qué tiene de malo la siguiente “prueba” del “hecho” de que$n+3 = n+7$ para todos los valores de$n$ (además por supuesto que lo que pretende probar es falso)?

Prueba

$P(n)$Sea la afirmación de que$n + 3 = n + 7\text{.}$ Vamos a demostrar que$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$ Asumir, para inducción eso$P(k)$ es cierto. Es decir,$k+3 = k+7\text{.}$ debemos demostrar que$P(k+1)$ es verdad. Ahora desde$k + 3 = k + 7\text{,}$ agregar 1 a ambos lados. Esto da$k + 3 + 1 = k + 7 + 1\text{.}$ Reagrupamiento$(k+1) + 3 = (k+1) + 7\text{.}$ Pero esto es simplemente$P(k+1)\text{.}$ Así por el principio de inducción matemática$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

Solución

El único problema es que nunca establecimos el caso base. Por supuesto, cuando$n = 0\text{,}$$0+3 \ne 0+7\text{.}$

11

La prueba en el problema anterior no funciona. Pero si modificamos el “hecho”, podemos obtener una prueba de trabajo. Demostrar que$n + 3 \lt n + 7$ para todos los valores de$n \in \N\text{.}$ Puedes hacer esta prueba con álgebra (sin inducción), pero el objetivo de este ejercicio es escribir una prueba de inducción válida.

Contestar

Prueba

$P(n)$Sea la afirmación de que$n + 3 \lt n + 7\text{.}$ Vamos a probar que$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$ Primero, tenga en cuenta que el caso base sostiene:$0+3 \lt 0+7\text{.}$ Ahora asuma para inducción eso$P(k)$ es cierto. Es decir,$k+3 \lt k+7\text{.}$ debemos demostrar que$P(k+1)$ es verdad. Ahora desde$k + 3 \lt k + 7\text{,}$ agregar 1 a ambos lados. Esto da$k + 3 + 1 \lt k + 7 + 1\text{.}$ Reagrupamiento$(k+1) + 3 \lt (k+1) + 7\text{.}$ Pero esto es simplemente$P(k+1)\text{.}$ Así por el principio de inducción matemática$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

$\square$

12

Encuentra el defecto en la siguiente “prueba” del “hecho” que$n \lt 100$ por cada$n \in \N\text{.}$

Prueba

$P(n)$Sea la afirmación$n \lt 100\text{.}$ Vamos a probar$P(n)$ es verdad para todos$n \in \N\text{.}$ Primero establecemos el caso base: cuando$n = 0\text{,}$$P(n)$ es cierto, porque$0 \lt 100\text{.}$ Ahora para el paso inductivo, asumir$P(k)$ es cierto. Es decir,$k \lt 100\text{.}$ Ahora si$k \lt 100\text{,}$ entonces$k$ es algún número, como 80. Por supuesto$80+1 = 81$ que aún es inferior a 100. Entonces$k +1 \lt 100$ también. Pero esto es lo que$P(k+1)$ afirma, por lo que hemos demostrado que$P(k) \imp P(k+1)\text{.}$ así por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

Solución

El problema aquí es que while$P(0)$ es cierto, y mientras que$P(k) \imp P(k+1)$ para algunos valores de$k\text{,}$ hay al menos un valor de$k$ (es decir$k = 99$) cuando esa implicación falla. Para una prueba válida por inducción,$P(k) \imp P(k+1)$ debe ser verdadera para todos los valores$k$ mayores o iguales al caso base.

13

Si bien la prueba anterior no funciona (¡mejor no ya que la declaración que está tratando de probar es falsa!) podemos probar algo parecido. Demostrar que hay una secuencia estrictamente creciente$a_1, a_2, a_3, \ldots$ de números (no necesariamente enteros) tal que$a_n \lt 100$ para todos$n \in \N\text{.}$ (Al aumentar estrictamente nos$a_n \lt a_{n+1}$ referimos a todos$n\text{.}$ Así que cada término debe ser mayor que el último.)

Solución

Prueba

Que$P(n)$ sea la afirmación “hay una secuencia estrictamente creciente$a_1, a_2, \ldots, a_n$ con$a_n \lt 100\text{.}$” Vamos a probar$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 1\text{.}$ Primero establecemos el caso base:$P(1)$ dice que hay un solo número$a_1$ con$a_1 \lt 100\text{.}$ Esto es cierto — toma$a_1 = 0\text{.}$ Ahora para el paso inductivo, supongamos que$P(k)$ es cierto. Es decir, existe una secuencia estrictamente creciente$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_k$ con$a_k \lt 100\text{.}$ Ahora considera esta secuencia, más un término más,$a_{k+1}$ que es mayor que$a_k$ pero menor que$100\text{.}$ Tal número existe, por ejemplo, el promedio entre$a_k$ y 100. Entonces$P(k+1)$ es cierto, entonces hemos demostrado que$P(k) \imp P(k+1)\text{.}$ Así por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

14

¿Qué tiene de malo la siguiente “prueba” del “hecho” de que para todos$n \in \N\text{,}$ el número$n^2 + n$ es impar?

Prueba

$P(n)$Sea la afirmación “$n^2 + n$es impar”. Vamos a demostrar que$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$ Supongamos para la inducción eso$P(k)$ es cierto, es decir, eso$k^2 + k$ es extraño. Ahora consideremos la afirmación$P(k+1)\text{.}$ Ahora$(k+1)^2 + (k+1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + k + 2k + 2\text{.}$ Por la hipótesis inductiva,$k^2 + k$ es impar, y por supuesto$2k + 2$ es par. Un impar más un par siempre es impar, así que por lo tanto$(k+1)^2 + (k+1)$ es impar. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N\text{.}$

$\square$

15

Ahora da una prueba válida (por inducción, aunque puedas hacerlo sin usar inducción) de la afirmación, “para todo$n \in \N\text{,}$ el número$n^2 + n$ es par”.

16

Demostrar que existe una secuencia de números reales positivos$a_0, a_1, a_2, \ldots$ tal que la suma parcial$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ sea estrictamente menor que$2$ para todos$n \in \N\text{.}$ Pista: piensa en cómo podrías definir qué$a_{k+1}$ es hacer que funcione el argumento de inducción.

Solución

La idea es definir la secuencia de manera que$a_n$ sea menor que la distancia entre la suma parcial anterior y 2. De esa manera cuando la agregas a la siguiente suma parcial, la suma parcial sigue siendo inferior a 2. Podrías hacer esto antes de tiempo, o usar un inteligente$P(n)$ en la prueba de inducción.

Prueba

$P(n)$Sea el enunciado, “hay una secuencia de números reales positivos$a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n \lt 2\text{.}$”

Caso base: Elija cualquier$a_0 \lt 2\text{.}$

Caso inductivo: Supongamos que$a_1 + a_2 + \cdots + a_k \lt 2\text{.}$ Ahora vamos$a_{k+1} = \frac{2- a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{2}\text{.}$ Entonces$a_1 + a_2 + \cdots +a_k + a_{k+1} \lt 2\text{.}$

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \in \N$

17

Demostrar que cada entero positivo es una potencia de 2, o puede escribirse como la suma de distintas potencias de 2.

Solución

La prueba será por fuerte inducción.

Prueba

Let$P(n)$ be the statement “$n$es o bien una potencia de 2 o puede escribirse como la suma de poderes distintos de 2”. Demostraremos que$P(n)$ es verdad para todos$n \ge 1\text{.}$

Caso base:$1 = 2^0$ es un poder de 2, así$P(1)$ es cierto.

Caso inductivo: Supongamos que$P(k)$ es cierto para todos$k \lt n\text{.}$ Ahora si$n$ es un poder de 2, ya terminamos. Si no, deja$2^x$ ser la mayor potencia de 2 estrictamente menor que$n\text{.}$ Considera$n - 2^x\text{,}$ cuál es un número menor, de hecho menor que ambos$n$ y$2^x\text{.}$ Así$n-2^x$ es o bien una potencia de 2 o puede escribirse como la suma de poderes distintos de 2, pero ninguno de ellos va a ser $2^x\text{,}$así que el junto con$2^x$ nosotros hemos escrito$n$ como la suma de poderes distintos de 2.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática (fuerte),$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 1\text{.}$

18

Demostrar, usando una fuerte inducción, que cada número natural es un número de Fibonacci o puede escribirse como la suma de distintos números de Fibonacci.

19

Usa la inducción para demostrar que si todas las$n$ personas se dan la mano entre sí, el número total de apretones de manos es$\frac{n(n-1)}{2}\text{.}$

Solución

Tenga en cuenta que ya lo hemos probado sin usar inducción, pero mirarlo inductivamente arroja luz sobre el problema (y es divertido).

Prueba

$P(n)$Sea la declaración “cuando la$n$ gente se da la mano entre sí, hay un total de$\frac{n(n-1)}{2}$ apretones de manos”.

Caso base: Cuando$n=2\text{,}$ habrá un apretón de manos, y$\frac{2(2-1)}{2} = 1\text{.}$ así$P(2)$ es cierto.

Caso inductivo: Asumir$P(k)$ es cierto para arbitrario$k\ge 2$ (que el número de apretones de manos entre$k$ las personas es$\frac{k(k-1)}{2}\text{.}$ ¿Qué pasa si aparece una$k+1$ st persona? ¿Cuántos apretones de manos nuevos tienen lugar? La nueva persona debe estrechar la mano de todos los que están ahí, que son$k$ nuevos apretones de manos. Entonces el total es ahora$\frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{(k+1)k}{2}\text{,}$ según sea necesario.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 2\text{.}$

20

Supongamos que un número real particular$x$ tiene la propiedad que$x + \frac{1}{x}$ es un entero. Demostrar que$x^n + \frac{1}{x^n}$ es un número entero para todos los números naturales$n\text{.}$

Solución

Cuando$n = 0\text{,}$ obtenemos$x^0 +\frac{1}{x^0} = 2$ y cuando$n = 1\text{,}$$x + \frac{1}{x}$ es un entero, así que el caso base se mantiene. Ahora supongamos que el resultado se mantiene para todos los números naturales$n \lt k\text{.}$ En particular, sabemos que$x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}}$ y$x + \frac{1}{x}$ son ambos enteros. Así su producto es también un número entero. Pero,

\ begin {align*}\ izquierda (x^ {k-1} +\ frac {1} {x^ {k-1}}\ derecha)\ izquierda (x +\ frac {1} {x}\ derecha)\ amp = x^k +\ frac {x^ {k-1}} {x} +\ frac {x} {x^ {k-1}} +\ frac {1} x^k}\\\ amp = x^k +\ frac {1} {x^k} + x^ {k-2} +\ frac {1} {x^ {k-2}}\ end {align*}

Tenga en cuenta también que$x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ es un número entero por la hipótesis de inducción, por lo que podemos concluir que$x^k + \frac{1}{x^k}$ es un entero.

21

Usa la inducción para demostrar$\d\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n\text{.}$ que Es decir, la suma de la fila$n$ th del Triángulo de Pascal es$2^n\text{.}$

22

Usa la inducción para probar${4 \choose 0} + {5 \choose 1} + {6 \choose 2} + \cdots + {4+n \choose n} = {5+n \choose n}\text{.}$ (Este es un ejemplo del teorema del palo de hockey.)

23

Utilice la regla del producto para logaritmos ($\log(ab) = \log(a) + \log(b)$) para probar, por inducción en$n\text{,}$ eso$\log(a^n) = n \log(a)\text{,}$ para todos los números naturales$n \ge 2\text{.}$

Solución

La idea aquí es que si tomamos el logaritmo de$a^n\text{,}$ podemos aumentar$n$ en 1 si multiplicamos por otro$a$ (dentro del logaritmo). Esto da como resultado sumar 1 más$\log(a)$ al total.

Prueba

Dejar$P(n)$ ser la declaración$\log(a^n) = n \log(a)\text{.}$ El caso base,$P(2)$ es cierto, porque$\log(a^2) = \log(a\cdot a) = \log(a) + \log(a) = 2\log(a)\text{,}$ por la regla del producto para logaritmos. Ahora supongamos, para la inducción, eso$P(k)$ es cierto. Es decir,$\log(a^k) = k\log(a)\text{.}$ considere$\log(a^{k+1})\text{.}$ Tenemos

\ start {ecuación*}\ log (a^ {k+1}) =\ log (a^k\ cdot a) =\ log (a^k) +\ log (a) = k\ log (a) +\ log (a)\ end {ecuación*}

con la última igualdad por la hipótesis inductiva. Pero esto simplifica a$(k+1) \log(a)\text{,}$ establecer$P(k+1)\text{.}$ Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,$P(n)$ es cierto para todos$n \ge 2\text{.}$

24

Dejar$f_1, f_2,\ldots, f_n$ ser funciones diferenciables. Demostrar, usando inducción, que

\ begin {ecuación*} (f_1 + f_2 +\ cdots + f_n) '= f_1' + f_2' +\ cdots + f_n'\ end {ecuación*}

Usted puede asumir$(f+g)' = f' + g'$ para cualquier función diferenciable$f$ y$g\text{.}$

Insinuación

Se le permite asumir el caso base. Para el caso inductivo, agrupe todas menos la última función como una suma de funciones, luego aplique la regla habitual de suma de derivadas, y luego la hipótesis inductiva.

25

Supongamos que$f_1, f_2, \ldots, f_n$ son funciones diferenciables. Utilice la inducción matemática para probar la regla generalizada del producto:

\ begin {ecuación*} (f_1 f_2 f_3\ cdots f_n) '= f_1' f_2 f_3\ cdots f_n + f_1 f_2' f_3\ cdots f_n + f_1 f_2 f_3'\ cdots f_n +\ cdots + f_1 f_2 f_3\ cdots f_n'\ end {*}

Puede suponer que la regla del producto para dos funciones es verdadera.

Insinuación

Para el paso inductivo, sabemos por la regla del producto para dos funciones que

\ begin {ecuación*} (f_1f_2f_3\ cdots f_k f_ {k+1}) '= (f_1f_2f_3\ cdots f_k) 'f_ {k+1} + (f_1f_2f_3\ cdots f_k) f_ {k+1}'\ end {ecuación*}

Luego use la hipótesis inductiva en el primer summand, y distribuya.