2.1: Definiciones

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¡Investiga!

Lo que viene a continuación:

\ begin {ecuación*} 1, ~~11, ~~21, ~~1211, ~~111221, ~~312211, ~~\ ldots\ end {ecuación*}

Una secuencia es simplemente una lista ordenada de números. Por ejemplo, aquí hay una secuencia: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Esto es diferente del conjunto\(\N\) porque, si bien la secuencia es una lista completa de cada elemento en el conjunto de números naturales, en la secuencia nos importa mucho en qué orden entran los números. Por esta razón, cuando usamos variables para representar términos en una secuencia se verán así:

\ begin {ecuación*} a_0, a_1, a_2, a_3,\ ldots\ end {ecuación*}

Para referirnos a toda la secuencia a la vez, vamos a escribir\((a_n)_{n\in\N}\)\((a_n)_{n\ge 0}\text{,}\) o a veces si estamos siendo descuidados, simplemente\((a_n)\) (en cuyo caso suponemos que comenzamos la secuencia con\(a_0\)).

Podríamos reemplazar el\(a\) por otra letra, y a veces omitimos\(a_0\text{,}\) comenzar con\(a_1\text{,}\) en cuyo caso usaríamos\((a_n)_{n \ge 1}\) para referirnos a la secuencia como un todo. Los números en los subíndices se denominan índices (el plural del índice).

Si bien a menudo solo pensamos en las secuencias como una lista ordenada de números, realmente son un tipo de función. Específicamente, la secuencia\((a_n)_{n\ge 0}\) es una función con dominio\(\N\) donde\(a_n\) está la imagen del número natural\(n\text{.}\) Posteriormente manipularemos secuencias de la misma manera que se han manipulado funciones en álgebra o cálculo. Podemos desplazar una secuencia hacia arriba o hacia abajo, agregar dos secuencias, o pedir la tasa de cambio de una secuencia. Estos se hacen exactamente como lo harías para las funciones.

Dicho esto, si bien es útil tener en cuenta la definición matemática rigurosa, a menudo describimos secuencias escribiendo los primeros términos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Puedes encontrar el siguiente término en las siguientes secuencias?

1. \(7,7,7,7,7, \ldots\)
2. \(3, -3, 3, -3, 3, \ldots\)
3. \(1, 5, 2, 10, 3, 15, \ldots\)
4. \(1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots\)
5. \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots\)
6. \(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\)
7. \(1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots\)
8. \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\)
9. \(3, 2, 1, 0, -1, \ldots\)
10. \(1, 1, 2, 6, \ldots\)

Solución

No, no se puede. Podrías adivinar que los siguientes términos son:

1. \(7\)
2. \(-3\)
3. \(4\)
4. 64
5. 49
6. 34
7. 28
8. 17
9. \(-2\)
10. \(24\)

De hecho, esos son los siguientes términos de las secuencias que tenía en mente cuando hice el ejemplo, pero no hay forma de estar seguro de que sean correctas.

Aún así, a menudo vamos a hacer esto. Dados los primeros términos de una secuencia, podemos preguntar cuál es el patrón en la secuencia sugiere que son los siguientes términos.

Dado que ningún número de términos iniciales en una secuencia es suficiente para decir con certeza qué secuencia estamos tratando, necesitamos encontrar otra manera de especificar una secuencia. Consideramos dos formas de hacerlo:

Fórmula cerrada

Una fórmula cerrada para una secuencia\((a_n)_{n\in\N}\) es una fórmula para\(a_n\) usar un número finito fijo de operaciones en\(n\text{.}\) Esto es lo que normalmente piensas como una fórmula en\(n\text{,}\) igual que si estuvieras definiendo una función en términos de\(n\) (porque eso es exactamente lo que eres haciendo).

Definición recursiva

Una definición recursiva (a veces llamada definición inductiva) para una secuencia\((a_n)_{n\in\N}\) consiste en una relación de recurrencia: una ecuación que relaciona un término de la secuencia con términos anteriores (términos con índice más pequeño) y una condición inicial: una lista de unos pocos términos de la secuencia (uno menor que el número de términos en la relación de recurrencia).

Es más fácil entender lo que está pasando aquí con un ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Aquí hay algunas fórmulas cerradas para secuencias:

• \(a_n = n^2\text{.}\)
• \(\d a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
• \(\d a_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^{-n}}{5}\text{.}\)

Nota en cada caso, si te dan\(n\text{,}\) puedes calcular\(a_n\) directamente: simplemente enchufar Por ejemplo,\(n\text{.}\) para encontrar\(a_3\) en la segunda secuencia, solo computa\(a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6\text{.}\)

Aquí hay algunas definiciones recursivas para secuencias:

• \(a_n = 2a_{n-1}\)con\(a_0 = 1\text{.}\)
• \(a_n = 2a_{n-1}\)con\(a_0 = 27\text{.}\)
• \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\)con\(a_0 = 0\) y\(a_1 = 1\text{.}\)

En estos casos, si te dan no\(n\text{,}\) puedes calcular\(a_n\) directamente, primero necesitas encontrar\(a_{n-1}\) (o\(a_{n-1}\) y\(a_{n-2}\)). En la segunda secuencia, para\(a_3\) encontrarte tomarías\(2a_2\text{,}\) pero para encontrar\(a_2 = 2a_1\) necesitaríamos saber Esto sí lo\(a_1 = 2a_0\text{.}\) sabemos, así podríamos rastrear de nuevo a través de estas ecuaciones para encontrar\(a_1 = 54\text{,}\)\(a_2 = 108\) y finalmente\(a_3 = 216\text{.}\)

¡Investiga!

Tienes una gran colección de\(1\times 1\) cuadrados y\(1\times 2\) dominó. Quieres arreglar estos para hacer una\(1 \times 15\) tira. ¿De cuántas maneras puedes hacer esto?

1. Comience por recopilar datos. ¿Cuántas\(1\times 1\) tiras largas puedes hacer? ¿Cuántas\(1\times 2\) tiras? ¿Cuántas\(1\times 3\) tiras? Y así sucesivamente.
2. ¿Cómo se relacionan\(1 \times 4\) las tiras\(1\times 3\) y con las\(1\times 5\) tiras?
3. ¿Cuántas\(1\times 15\) tiras puedes hacer?
4. ¿Y si te pido que busques el número de\(1\times 1000\) tiras? ¿Sería útil el método que utilizó para calcular el número de\(1 \times 15\) tiras fo?

Quizás te preguntes por qué nos molestaríamos con definiciones recursivas para secuencias. Después de todo, es más difícil encontrar\(a_n\) con una definición recursiva que con una fórmula cerrada. Esto es cierto, pero también es más difícil encontrar una fórmula cerrada para una secuencia que encontrar una definición recursiva. Entonces, para encontrar una fórmula cerrada útil, primero podríamos encontrar la definición recursiva, luego usarla para encontrar la fórmula cerrada.

Esto no quiere decir que las definiciones recursivas no sean útiles para encontrar Siempre\(a_n\text{.}\) puedes calcular\(a_n\) dada una definición recursiva, podría tomar un tiempo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Buscar\(a_6\) en la secuencia definida por\(a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}\) con\(a_0 = 3\) y\(a_1 = 4\text{.}\)

Solución

Sabemos que\(a_6 = 2a_5 - a_4\text{.}\) Así que para encontrar\(a_6\) necesitamos encontrar\(a_5\) y\(a_4\text{.}\) Bien

\ begin {ecuación*} a_5 = 2a_4 - a_3\ qquad\ texto {y}\ qquad a_4 = 2a_3 - a_2,\ end {ecuación*}

así que si sólo podemos encontrar\(a_3\) y\(a_2\) nos fijarían. Por supuesto

\ begin {ecuación*} a_3 = 2a_2 - a_1\ qquad\ texto {y}\ qquad a_2 = 2a_1 - a_0,\ end {ecuación*}

así que sólo nos falta encontrar\(a_1\) y\(a_0\text{.}\) Pero se nos dan estos. Así

\ begin {alinear*} a_0 & = 3\\ a_1 & = 4\\ a_2 & = 2\ cdot 4 - 3 = 5\\ a_3 & = 2\ cdot 5 - 4 = 6\\ a_4 & = 2\ cdot 6 - 5 = 7\ a_5 & = 2\ cdot 7 - 6 = 8\ a_6 & = 2\ cdot 8 - 7 = 9. \ end {alinear*}

Tenga en cuenta que ahora podemos adivinar una fórmula cerrada para el término\(n\) th de la secuencia:\(a_n = n+3\text{.}\) Para estar seguros de que esto siempre funcionará, podríamos enchufar esta fórmula en la relación de recurrencia:

\ begin {align*} 2a_ {n-1} - a_ {n-2} & = 2 ((n-1) + 3) - ((n-2) + 3)\\ & = 2n + 4 - n - 1\\ & = n + 3\\ & = a_n.\ end {align*}

Sin embargo, eso no es suficiente, ya que puede haber múltiples fórmulas cerradas que satisfagan la misma relación de recurrencia; también debemos verificar que nuestra fórmula cerrada esté de acuerdo en los términos iniciales de la secuencia. Dado que\(a_0 = 0 + 3 = 3\) y\(a_1 = 1+3 = 4\) son las condiciones iniciales correctas, ahora podemos concluir que tenemos la fórmula cerrada correcta.

Encontrar fórmulas cerradas, o incluso definiciones recursivas, para secuencias no es trivial. No hay un método único para hacer esto. Al igual que al evaluar integrales o resolver ecuaciones diferenciales, es útil tener una bolsa de trucos que puedas aplicar, pero a veces no hay una respuesta fácil.

Un método útil es relacionar una secuencia dada con otra secuencia para la cual ya conocemos la fórmula cerrada.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Utilice las fórmulas\(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\) y\(a_n = 2^n\) para encontrar fórmulas cerradas para las siguientes secuencias.

1. \((b_n)\text{:}\)\(1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots \text{.}\)
2. \((c_n)\text{:}\)\(3, 5, 9, 17, 33,\ldots \text{.}\)
3. \((d_n)\text{:}\)\(0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \text{.}\)
4. \((e_n)\text{:}\)\(3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots\text{.}\)
5. \((f_n)\text{:}\)\(0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots \text{.}\)
6. \((g_n)\)\(3, 6, 12, 24, 48, \ldots \text{.}\)
7. \((h_n)\text{:}\)\(6, 10, 18, 34, 66, \ldots \text{.}\)
8. \((j_n)\text{:}\)\(15, 33, 57, 87, 123, \ldots\text{.}\)

Solución

1. Antes de decir que esto es imposible, lo que estamos pidiendo es simplemente encontrar una fórmula cerrada que concuerde con todos los términos iniciales de las secuencias. Por supuesto que no hay forma de leer en la mente de la persona que anotó los números, pero al menos podemos hacer esto.
2. Los primeros términos de\((T_n)_{n\ge 0}\) son\(0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots\) (estos se llaman los números triangulares). Los primeros términos de\((a_n)_{n\ge 0}\) son\(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\text{.}\) Vamos a tratar de encontrar fórmulas para las secuencias dadas:
3. \((1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots)\text{.}\)Tenga en cuenta que si restamos 1 de cada término, obtenemos la secuencia\((T_n)\text{.}\) Así que tenemos\(b_n = T_n + 1\text{.}\) Por lo tanto una fórmula cerrada es\(b_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1\text{.}\) Una comprobación rápida de los primeros\(n\) confirma que lo tenemos bien.
4. \((3, 5, 9, 17, 33, \ldots )\text{.}\)Cada término en esta secuencia es uno más que una potencia de 2, así que podríamos adivinar que la fórmula cerrada es\(c_n = a_n+1 = 2^n + 1\text{.}\) Si intentamos esto aunque, obtenemos\(c_0 2^0 + 1 = 2\) y\(c_1 = 2^1 + 1 = 3\text{.}\) Estamos apagados porque los índices están desplazados. Lo que realmente queremos es\(c_n = a_{n+1}+1\) dar\(c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}\)
5. (\(0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \)). Observe que todos estos términos son parejos. ¿Qué pasa si facetamos un 2? Obtenemos\((T_n)\text{!}\) Más precisamente, encontramos que\(d_n/2 = T_n\text{,}\) así esta secuencia tiene fórmula cerrada\(d_n = n(n+1)\text{.}\)
6. \((3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots)\text{.}\)Todos estos son números triangulares. Sin embargo, estamos comenzando con 3 como nuestro término inicial en lugar de como nuestro tercer mandato. Entonces, si pudiéramos enchufar 2 en lugar de 0 en la fórmula\(T_n\text{,}\) porque estaríamos establecidos. Por lo tanto, la fórmula cerrada es\(e_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}\) (de dónde\(n+3\) vino\((n+2)+1\)). Pensando en las secuencias como funciones, estamos haciendo un desplazamiento horizontal por 2:\(e_n = T_{n+2}\) lo que provocaría que la gráfica se desplazara 2 unidades hacia la izquierda.
7. \((0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots )\text{.}\)Intenta sumar 1 a cada término y obtenemos poderes de 2. Podría adivinar esto porque cada término es un poco más del doble del término anterior (los poderes de 2 son exactamente el doble del término anterior). Fórmula cerrada:\(f_n = 2^{n} - 1\text{.}\)
8. \((3, 6, 12, 24, 48, \ldots )\text{.}\)Estos números también se duplican cada vez, pero también son todos múltiplos de 3. Dividiendo cada uno por 3 da 1, 2, 4, 8,... Ajá. Obtenemos la fórmula cerrada\(g_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}\)
9. \((6, 10, 18, 34, 66, \ldots )\text{.}\)Para pasar de un término al siguiente, casi duplicamos cada término. Entonces tal vez podamos relacionar esto de nuevo con\(2^n\text{.}\) Sí, cada término es 2 más que un poder de 2. Entonces obtenemos\(h_n = 2^{n+2} + 2\) (el\(n+2\) es porque el primer término es 2 más que\(2^2\text{,}\) no\(2^0\)). Alternativamente, podríamos haber relacionado esta secuencia con la segunda secuencia en este ejemplo: comenzando con 3, 5, 9, 17,... vemos que esta secuencia es el doble de los términos de esa secuencia. Esa secuencia tenía fórmula cerrada\(c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}\) Nuestra secuencia aquí sería el doble de esto, así\(h_n = 2(2^n + 1)\text{,}\) que que es lo mismo que obtuvimos antes.
10. \((15, 33, 57, 87, 123, \ldots)\text{.}\)Intenta dividir cada término por 3. Eso da la secuencia\(5, 11, 19, 29, 41,\ldots\text{.}\) Ahora agrega 1:\(6, 12, 20, 30, 42, \ldots\text{,}\) que está\((d_n)\) en este ejemplo, excepto comenzando con 6 en lugar de 0. Entonces comencemos con la fórmula\(d_n= n(n+1)\text{.}\) Para comenzar con el 6, cambiamos:\((n+2)(n+3)\text{.}\) Pero esta es una de demasiadas, así que resta 1:\((n+2)(n+3) - 1\text{.}\) Eso nos da nuestra secuencia, pero dividida por 3. Así que queremos\(j_n = 3((n+2)(n+3) - 1)\text{.}\)