2.3: Ajuste polinomial

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¡Investiga!

Un\(8 \times 8\) tablero de ajedrez estándar contiene 64 cuadrados. En realidad, esto es solo el número de cuadrados unitarios. ¿Cuántos cuadrados de todos los tamaños hay en un tablero de ajedrez? Comience con tablas más pequeñas:\(1\times 1\text{,}\)\(2 \times 2\text{,}\)\(3\times 3\text{,}\) etc. Encuentre una fórmula para el número total de cuadrados en una\(n\times n\) tabla.

Hasta ahora hemos visto métodos para encontrar las fórmulas cerradas para secuencias aritméticas y geométricas. Como sabemos calcular la suma de los primeros\(n\) términos de secuencias aritméticas y geométricas, podemos calcular las fórmulas cerradas para secuencias que tienen una secuencia aritmética (o geométrica) de diferencias entre términos. Pero, ¿y si consideramos una secuencia que es la suma de los primeros\(n\) términos de una secuencia que es en sí misma la suma de una secuencia aritmética?

Antes de dejarnos llevar demasiado, consideremos un ejemplo: ¿Cuántos cuadrados (de todos los tamaños) hay en un tablero de ajedrez? Un tablero de ajedrez consiste en\(64\) cuadrados, pero también queremos considerar cuadrados de mayor longitud lateral. A pesar de que sólo estamos considerando una\(8 \times 8\) tabla, ya hay mucho que contar. Entonces, en cambio, construyamos una secuencia: el primer término será el número de cuadrados en un\(1 \times 1\) tablero, el segundo término será el número de cuadrados en un\(2 \times 2\) tablero, y así sucesivamente. Después de pensarlo un poco, llegamos a la secuencia

\ begin {ecuación*} 1,5,14,30, 55,\ ldots\ end {ecuación*}

Esta secuencia no es aritmética (o geométrica para el caso), pero quizás es secuencia de diferencias es. Por diferencias obtenemos

\ begin {ecuación*} 4, 9, 16, 25,\ ldots\ end {ecuación*}

No es una gran sorpresa: una forma de contar el número de cuadrados en un\(4 \times 4\) tablero de ajedrez es notar que hay\(16\) cuadrados con longitud lateral 1, 9 con longitud lateral 2, 4 con longitud lateral 3 y 1 con longitud lateral 4. Entonces la secuencia original es solo la suma de cuadrados. Ahora bien, esta secuencia de diferencias no es aritmética ya que es secuencia de diferencias (las diferencias de las diferencias de la secuencia original) no es constante. De hecho, esta secuencia de segundas diferencias es

\ begin {ecuación*} 5, 7, 9,\ ldots\ end {ecuación*}

que es una secuencia aritmética (con diferencia constante 2). Observe que nuestra secuencia original tenía terceras diferencias (es decir, diferencias de diferencias de diferencias de la original) constante. Llamaremos a tal secuencia\(\Delta^3\) -constante. La secuencia\(1, 4, 9, 16, \ldots\) tiene segundas diferencias constantes, por lo que será una secuencia\(\Delta^2\) -constante. En general, diremos que una secuencia es una secuencia \(\Delta^k\)-constante si las diferencias\(k\) th son constantes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuáles de las siguientes secuencias son\(\Delta^k\) constantes para algún valor de\(k\text{?}\)

1. \(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\text{.}\)
2. \(1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots\text{.}\)
3. \(1,2,4,8,16,64,128,\ldots\text{.}\)

Solución

1. Esta es la secuencia del Ejemplo 2.2.6, en la que encontramos una fórmula cerrada al reconocer la secuencia como la secuencia de sumas parciales de una secuencia aritmética. En efecto, la secuencia de primeras diferencias es la\(1,4,7, 10, 13,\ldots\text{,}\) que a su vez tiene diferencias\(3,3,3,3,\ldots\text{.}\) Así\(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\) es una secuencia\(\Delta^2\) -constante.
2. Estos son los cubos perfectos. La secuencia de primeras diferencias es\(7, 19, 37, 61, 91, \ldots\text{;}\) la secuencia de segundas diferencias es\(12, 18, 24, 30,\ldots\text{;}\) la secuencia de terceras diferencias es constante:\(6,6,6,\ldots\text{.}\) Así los cubos perfectos son una secuencia\(\Delta^3\) -constante.
3. Si tomamos las primeras diferencias obtenemos\(1,2,4,8,16,\ldots\text{.}\) Espera, ¿qué? Esa es la secuencia con la que empezamos. Por lo que tomar segundas diferencias nos volverá a dar la misma secuencia. No importa cuántas veces repetimos esto siempre tendremos la misma secuencia, lo que en particular significa que ningún número finito de diferencias será constante. Por lo tanto, esta secuencia no es\(\Delta^k\) constante para ninguna\(k\text{.}\)

Las secuencias\(\Delta^0\) -constantes son en sí mismas constantes, por lo que una fórmula cerrada para ellas es fácil de calcular (es solo la constante). Las secuencias\(\Delta^1\) -constantes son aritméticas y tenemos un método para encontrar fórmulas cerradas para ellas también. Cada secuencia\(\Delta^2\) -constante es la suma de una secuencia aritmética para que podamos encontrar fórmulas para estas también. Pero fíjense que el formato de la fórmula cerrada para una secuencia\(\Delta^2\) -constante es siempre cuadrático. Por ejemplo, los números cuadrados son\(\Delta^2\) -constantes con fórmula cerrada\(a_n= n^2\text{.}\) Los números triangulares (también\(\Delta^2\) -constante) tienen fórmula cerrada\(a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}\) que cuando se multiplica te da un\(n^2\) término también. Parece que cada vez que aumentamos la complejidad de la secuencia, es decir, aumentamos el número de diferencias antes de obtener constantes, también aumentamos el grado del polinomio utilizado para la fórmula cerrada. Pasamos de constante a lineal a cuadrática. La secuencia de diferencias entre términos nos dice algo sobre la tasa de crecimiento de la secuencia. Si una secuencia está creciendo a una velocidad constante, entonces la fórmula para la secuencia será lineal. Si la secuencia está creciendo a una velocidad que a su vez está creciendo a un ritmo constante, entonces la fórmula es cuadrática. Lo has visto en otra parte: si una función tiene una segunda derivada constante (tasa de cambio) entonces la función debe ser cuadrática.

Esto funciona en general:

Diferencias finitas

La fórmula cerrada para una secuencia será un\(k\) polinomio de grado si y solo si la secuencia es\(\Delta^k\) -constante (es decir, la secuencia\(k\) th de diferencias es constante).

Esto nos dice que la secuencia de números de cuadrados en un tablero de ajedrez,\(1, 5, 14, 30, 55, \ldots\text{,}\) que vimos ser\(\Delta^3\) -constante, tendrá un cúbico (polinomio grado 3) para su fórmula cerrada.

Ahora bien, una vez que sepamos qué formato tomará la fórmula cerrada para una secuencia, es mucho más fácil encontrar realmente la fórmula cerrada. En el caso de que la fórmula cerrada sea un\(k\) polinomio de grado, solo necesitamos puntos de\(k+1\) datos para “ajustar” el polinomio a los datos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra una fórmula para la secuencia\(3, 7, 14, 24,\ldots\text{.}\) Asumir\(a_1 = 3\text{.}\)

Solución

Primero, verifique si la fórmula tiene diferencias constantes en algún nivel. La secuencia de las primeras diferencias es\(4, 7, 10, \ldots\) que es aritmética, por lo que la secuencia de segundas diferencias es constante. La secuencia es\(\Delta^2\) -constante, por lo que la fórmula para\(a_n\) será un polinomio de grado 2. Es decir, sabemos que para algunas constantes\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{,}\)

\ begin {ecuación*} a_n = an^2 + bn + c.\ end {ecuación*}

Ahora para encontrar\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{.}\) Primero, sería bueno saber qué\(a_0\) es, ya que enchufar\(n = 0\) simplifica enormemente la fórmula anterior. En este caso,\(a_0 = 2\) (trabajar hacia atrás a partir de la secuencia de diferencias constantes). Así

\ begin {ecuación*} a_0 = 2 = a\ cdot 0^2 + b\ cdot 0 + c,\ end {ecuación*}

así que\(c = 2\text{.}\) ahora enchufa\(n =1\) y\(n = 2\text{.}\) obtenemos

\ start {ecuación*} a_1 = 3 = a + b + 2\ end {ecuación*}\ start {ecuación*} a_2 = 7 = a4 + b 2 + 2. \ end {ecuación*}

En este punto tenemos dos ecuaciones (lineales) y dos incógnitas, por lo que podemos resolver el sistema para\(a\) y\(b\) (usando sustitución o eliminación o incluso matrices). Nos encontramos\(a = \frac{3}{2}\) y\(b = \frac{-1}{2}\text{,}\) así\(a_n = \frac{3}{2} n^2 - \frac{1}{2}n + 2\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra una fórmula cerrada para el número de cuadrados en un\(n \times n\) tablero de ajedrez.

Solución

Hemos visto que la secuencia\(1, 5, 14, 30, 55, \ldots\) es\(\Delta^3\) -constante, por lo que estamos buscando un polinomio grado 3. Es decir,

\ begin {ecuación*} a_n = an^3 + bn^2 + cn + d.\ end {ecuación*}

Podemos encontrar\(d\) si sabemos lo que\(a_0\) es. Trabajando hacia atrás desde las terceras diferencias, encontramos\(a_0 = 0\) (como era de esperar, ya que no hay cuadrados en un\(0\times 0\) tablero de ajedrez). Por lo tanto,\(d = 0\text{.}\) ahora enchufa\(n = 1\text{,}\)\(n =2\text{,}\) y\(n =3\text{:}\)

\ begin {alinear*} 1 = & a + b + c\\ 5 = & 8a + 4b + 2c\\ 14 = & 27a + 9b + 3c. \ end {align*}

Si resolvemos este sistema de ecuaciones obtenemos\(a = \frac{1}{3}\text{,}\)\(b = \frac{1}{2}\) y\(c = \frac{1}{6}\text{.}\) por lo tanto el número de cuadrados en un\(n \times n\) tablero de ajedrez es\(a_n = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n\text{.}\)

Nota: Dado que el problema de los cuadrados en un tablero de ajedrez es realmente pedir la suma de cuadrados, ahora tenemos una buena fórmula para\(\d\sum_{k=1}^n k^2\text{.}\)

No todas las secuencias tendrán polinomios como su fórmula cerrada. Podemos utilizar la teoría de las diferencias finitas para identificarlas.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Determinar si las siguientes secuencias pueden ser descritas por un polinomio, y de ser así, en qué grado.

1. \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\)
2. \(0, 7, 50, 183, 484, 1055, \ldots\)
3. \(1,1,2,3,5,8,13,\ldots\)

Solución

1. Como vimos en el Ejemplo 2.3.1, esta secuencia no es\(\Delta^k\) -constante para ninguna\(k\text{.}\) Por lo tanto, la fórmula cerrada para la secuencia no es un polinomio. De hecho, sabemos que la fórmula cerrada es la\(a_n = 2^n\text{,}\) que crece más rápido que cualquier polinomio (así que no es un polinomio).
2. La secuencia de primeras diferencias es\(7, 43, 133, 301, 571,\ldots\text{.}\) Las segundas diferencias son:\(36, 90, 168, 270,\ldots\text{.}\) Tercera diferencia:\(54, 78, 102,\ldots\text{.}\) Cuartas diferencias: Por\(24, 24, \ldots\text{.}\) lo que podemos decir, esta secuencia de diferencias es constante por lo que la secuencia es\(\Delta^4\) -constante y como tal la fórmula cerrada es un polinomio de grado 4.
3. Esta es la secuencia de Fibonacci. La secuencia de primeras diferencias es\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots\text{,}\) la segunda diferencias son\(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5\ldots\text{.}\) Notamos que después de los primeros términos, recuperamos la secuencia original. Por lo que nunca habrá diferencias constantes, por lo que la fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci no es un polinomio.