2.3: Ajuste polinomial
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
¡Investiga!
Un8×8 tablero de ajedrez estándar contiene 64 cuadrados. En realidad, esto es solo el número de cuadrados unitarios. ¿Cuántos cuadrados de todos los tamaños hay en un tablero de ajedrez? Comience con tablas más pequeñas:1×1,2×2,3×3, etc. Encuentre una fórmula para el número total de cuadrados en unan×n tabla.
Hasta ahora hemos visto métodos para encontrar las fórmulas cerradas para secuencias aritméticas y geométricas. Como sabemos calcular la suma de los primerosn términos de secuencias aritméticas y geométricas, podemos calcular las fórmulas cerradas para secuencias que tienen una secuencia aritmética (o geométrica) de diferencias entre términos. Pero, ¿y si consideramos una secuencia que es la suma de los primerosn términos de una secuencia que es en sí misma la suma de una secuencia aritmética?
Antes de dejarnos llevar demasiado, consideremos un ejemplo: ¿Cuántos cuadrados (de todos los tamaños) hay en un tablero de ajedrez? Un tablero de ajedrez consiste en64 cuadrados, pero también queremos considerar cuadrados de mayor longitud lateral. A pesar de que sólo estamos considerando una8×8 tabla, ya hay mucho que contar. Entonces, en cambio, construyamos una secuencia: el primer término será el número de cuadrados en un1×1 tablero, el segundo término será el número de cuadrados en un2×2 tablero, y así sucesivamente. Después de pensarlo un poco, llegamos a la secuencia
\ begin {ecuación*} 1,5,14,30, 55,\ ldots\ end {ecuación*}
Esta secuencia no es aritmética (o geométrica para el caso), pero quizás es secuencia de diferencias es. Por diferencias obtenemos
\ begin {ecuación*} 4, 9, 16, 25,\ ldots\ end {ecuación*}
No es una gran sorpresa: una forma de contar el número de cuadrados en un4×4 tablero de ajedrez es notar que hay16 cuadrados con longitud lateral 1, 9 con longitud lateral 2, 4 con longitud lateral 3 y 1 con longitud lateral 4. Entonces la secuencia original es solo la suma de cuadrados. Ahora bien, esta secuencia de diferencias no es aritmética ya que es secuencia de diferencias (las diferencias de las diferencias de la secuencia original) no es constante. De hecho, esta secuencia de segundas diferencias es
\ begin {ecuación*} 5, 7, 9,\ ldots\ end {ecuación*}
que es una secuencia aritmética (con diferencia constante 2). Observe que nuestra secuencia original tenía terceras diferencias (es decir, diferencias de diferencias de diferencias de la original) constante. Llamaremos a tal secuenciaΔ3 -constante. La secuencia1,4,9,16,… tiene segundas diferencias constantes, por lo que será una secuenciaΔ2 -constante. En general, diremos que una secuencia es una secuencia Δk-constante si las diferenciask th son constantes.
Ejemplo2.3.1
¿Cuáles de las siguientes secuencias sonΔk constantes para algún valor dek?
- 2,3,7,14,24,37,….
- 1,8,27,64,125,216,….
- 1,2,4,8,16,64,128,….
- Solución
-
- Esta es la secuencia del Ejemplo 2.2.6, en la que encontramos una fórmula cerrada al reconocer la secuencia como la secuencia de sumas parciales de una secuencia aritmética. En efecto, la secuencia de primeras diferencias es la1,4,7,10,13,…, que a su vez tiene diferencias3,3,3,3,…. Así2,3,7,14,24,37,… es una secuenciaΔ2 -constante.
- Estos son los cubos perfectos. La secuencia de primeras diferencias es7,19,37,61,91,…; la secuencia de segundas diferencias es12,18,24,30,…; la secuencia de terceras diferencias es constante:6,6,6,…. Así los cubos perfectos son una secuenciaΔ3 -constante.
- Si tomamos las primeras diferencias obtenemos1,2,4,8,16,…. Espera, ¿qué? Esa es la secuencia con la que empezamos. Por lo que tomar segundas diferencias nos volverá a dar la misma secuencia. No importa cuántas veces repetimos esto siempre tendremos la misma secuencia, lo que en particular significa que ningún número finito de diferencias será constante. Por lo tanto, esta secuencia no esΔk constante para ningunak.
Las secuenciasΔ0 -constantes son en sí mismas constantes, por lo que una fórmula cerrada para ellas es fácil de calcular (es solo la constante). Las secuenciasΔ1 -constantes son aritméticas y tenemos un método para encontrar fórmulas cerradas para ellas también. Cada secuenciaΔ2 -constante es la suma de una secuencia aritmética para que podamos encontrar fórmulas para estas también. Pero fíjense que el formato de la fórmula cerrada para una secuenciaΔ2 -constante es siempre cuadrático. Por ejemplo, los números cuadrados sonΔ2 -constantes con fórmula cerradaan=n2. Los números triangulares (tambiénΔ2 -constante) tienen fórmula cerradaan=n(n+1)2, que cuando se multiplica te da unn2 término también. Parece que cada vez que aumentamos la complejidad de la secuencia, es decir, aumentamos el número de diferencias antes de obtener constantes, también aumentamos el grado del polinomio utilizado para la fórmula cerrada. Pasamos de constante a lineal a cuadrática. La secuencia de diferencias entre términos nos dice algo sobre la tasa de crecimiento de la secuencia. Si una secuencia está creciendo a una velocidad constante, entonces la fórmula para la secuencia será lineal. Si la secuencia está creciendo a una velocidad que a su vez está creciendo a un ritmo constante, entonces la fórmula es cuadrática. Lo has visto en otra parte: si una función tiene una segunda derivada constante (tasa de cambio) entonces la función debe ser cuadrática.
Esto funciona en general:
Diferencias finitas
La fórmula cerrada para una secuencia será unk polinomio de grado si y solo si la secuencia esΔk -constante (es decir, la secuenciak th de diferencias es constante).
Esto nos dice que la secuencia de números de cuadrados en un tablero de ajedrez,1,5,14,30,55,…, que vimos serΔ3 -constante, tendrá un cúbico (polinomio grado 3) para su fórmula cerrada.
Ahora bien, una vez que sepamos qué formato tomará la fórmula cerrada para una secuencia, es mucho más fácil encontrar realmente la fórmula cerrada. En el caso de que la fórmula cerrada sea unk polinomio de grado, solo necesitamos puntos dek+1 datos para “ajustar” el polinomio a los datos.
Ejemplo2.3.2
Encuentra una fórmula para la secuencia3,7,14,24,…. Asumira1=3.
- Solución
-
Primero, verifique si la fórmula tiene diferencias constantes en algún nivel. La secuencia de las primeras diferencias es4,7,10,… que es aritmética, por lo que la secuencia de segundas diferencias es constante. La secuencia esΔ2 -constante, por lo que la fórmula paraan será un polinomio de grado 2. Es decir, sabemos que para algunas constantesa,b, yc,
\ begin {ecuación*} a_n = an^2 + bn + c.\ end {ecuación*}Ahora para encontrara,b, yc. Primero, sería bueno saber quéa0 es, ya que enchufarn=0 simplifica enormemente la fórmula anterior. En este caso,a0=2 (trabajar hacia atrás a partir de la secuencia de diferencias constantes). Así
\ begin {ecuación*} a_0 = 2 = a\ cdot 0^2 + b\ cdot 0 + c,\ end {ecuación*}así quec=2. ahora enchufan=1 yn=2. obtenemos
\ start {ecuación*} a_1 = 3 = a + b + 2\ end {ecuación*}\ start {ecuación*} a_2 = 7 = a4 + b 2 + 2. \ end {ecuación*}En este punto tenemos dos ecuaciones (lineales) y dos incógnitas, por lo que podemos resolver el sistema paraa yb (usando sustitución o eliminación o incluso matrices). Nos encontramosa=32 yb=−12, asían=32n2−12n+2.
Ejemplo2.3.3
Encuentra una fórmula cerrada para el número de cuadrados en unn×n tablero de ajedrez.
- Solución
-
Hemos visto que la secuencia1,5,14,30,55,… esΔ3 -constante, por lo que estamos buscando un polinomio grado 3. Es decir,
\ begin {ecuación*} a_n = an^3 + bn^2 + cn + d.\ end {ecuación*}Podemos encontrard si sabemos lo quea0 es. Trabajando hacia atrás desde las terceras diferencias, encontramosa0=0 (como era de esperar, ya que no hay cuadrados en un0×0 tablero de ajedrez). Por lo tanto,d=0. ahora enchufan=1,n=2, yn=3:
\ begin {alinear*} 1 = & a + b + c\\ 5 = & 8a + 4b + 2c\\ 14 = & 27a + 9b + 3c. \ end {align*}Si resolvemos este sistema de ecuaciones obtenemosa=13,b=12 yc=16. por lo tanto el número de cuadrados en unn×n tablero de ajedrez esan=13n3+12n2+16n.
Nota: Dado que el problema de los cuadrados en un tablero de ajedrez es realmente pedir la suma de cuadrados, ahora tenemos una buena fórmula para\d∑nk=1k2.
No todas las secuencias tendrán polinomios como su fórmula cerrada. Podemos utilizar la teoría de las diferencias finitas para identificarlas.
Ejemplo2.3.4
Determinar si las siguientes secuencias pueden ser descritas por un polinomio, y de ser así, en qué grado.
- 1,2,4,8,16,…
- 0,7,50,183,484,1055,…
- 1,1,2,3,5,8,13,…
- Solución
-
- Como vimos en el Ejemplo 2.3.1, esta secuencia no esΔk -constante para ningunak. Por lo tanto, la fórmula cerrada para la secuencia no es un polinomio. De hecho, sabemos que la fórmula cerrada es laan=2n, que crece más rápido que cualquier polinomio (así que no es un polinomio).
- La secuencia de primeras diferencias es7,43,133,301,571,…. Las segundas diferencias son:36,90,168,270,…. Tercera diferencia:54,78,102,…. Cuartas diferencias: Por24,24,…. lo que podemos decir, esta secuencia de diferencias es constante por lo que la secuencia esΔ4 -constante y como tal la fórmula cerrada es un polinomio de grado 4.
- Esta es la secuencia de Fibonacci. La secuencia de primeras diferencias es0,1,1,2,3,5,8,…, la segunda diferencias son1,0,1,1,2,3,5…. Notamos que después de los primeros términos, recuperamos la secuencia original. Por lo que nunca habrá diferencias constantes, por lo que la fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci no es un polinomio.