2.4: Mínimo Común Múltiple
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Podemos usar la factorización prima para encontrar el múltiplo común más pequeño de dos enteros positivos.
El mínimo común múltiplo (l.c.m.) de dos enteros positivos es el número entero positivo más pequeño que es un múltiplo de ambos.
Denotamos el mínimo común múltiplo de dos enteros\(a\) positivos y\(b\) por\(\langle a,b\rangle\).
\(\langle2,8\rangle=8\),
\(\langle5,8\rangle=40\)
Podemos averiguarlo\(\langle a,b\rangle\) una vez que tengamos la factorización principal de\(a\) y\(b\). Para hacer eso, vamos
\[a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_n}\]
y
\[b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_m^{b_n},\]
donde (como arriba) excluimos cualquier primo con 0 power en ambos\(a\) y\(b\). Entonces\(\langle a,b\rangle=p_1^{\max(a_1,b_1)}p_2^{\max(a_2,b_2)}...p_m^{\max(a_n,b_n)}\), donde\(\max(a,b)\) está el máximo de los dos enteros\(a\) y\(b\). Ahora demostramos un teorema que relaciona el múltiplo menos común de dos enteros positivos con su mayor divisor común. En algunos libros, este teorema se adopta como la definición del múltiplo menos común. Para probar el teorema presentamos un lema
Si a y b son dos números reales, entonces
\[\min(a,b)+\max(a,b)=a+b\]
Asumir sin pérdida de generalidad eso\(a\geq b\). Entonces
\[\max(a,b)=a \hspace{0.2cm}\mbox{and} \ \ \min(a,b)=b,\]y el resultado sigue.
Nota
Dejar\(a\) y\(b\) ser dos enteros positivos. Entonces
- \(\langle a,b\rangle\geq 0\);
- \(\langle a,b \rangle=ab/(a,b)\);
- Si\(a\mid m\) y\(b \mid m\), entonces\(\langle a,b \rangle \mid m\)
Prueba
De la definición se desprende la prueba de la parte 1.
En cuanto a la parte 2, vamos
\[a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_n} \mbox{and} \ \ b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_m^{b_n}.\]
Observe que desde
\[(a,b)=p_1^{\min(a_1,b_2)}p_2^{\min(a_2,b_2)}...p_n^{\min(a_n,b_n)}\]
y
\[\langle a,b\rangle=p_1^{\max(a_1,b_1)}p_2^{\max(a_2,b_2)}...p_m^{\max(a_n,b_n)},\]entonces\[\begin{aligned} \langle a,b \rangle(a,b)&=&p_1^{\max(a_1,b_1)}p_2^{\max(a_2,b_2)}...p_m^{\max(a_n,b_n)} p_1^{\min(a_1,b_2)}p_2^{min(a_2,b_2)}...p_n^{\min(a_n,b_n)}\\ &=& p_1^{\max(a_1,b_1)+\min(a_1,b_1)}p_2^{\max(a_2,b_2)+\min(a_2,b_2)}...p_m^{\max(a_n,b_n)+\min(a_n,b_n)}\\&=& p_1^{a_1+b_1}p_2^{a_2+b_2}...p_n^{(a_n+b_n)}\\&=&p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_n}p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_m^{b_n}=ab\end{aligned}\]
Tenga en cuenta también que usamos Lema 8 en las ecuaciones anteriores. Para la parte 3, sería un buen ejercicio demostrarlo\(ab/(a,b) \mid m\) (Ejercicio 6). Así\(\langle a,b \rangle \mid m\).
\(\square\)
Ejercicios
- Encuentra el múltiplo menos común de 14 y 15.
- Encuentra el mínimo común múltiplo de 240 y 610.
- Encuentra el múltiplo menos común y el mayor divisor común de\(2^55^67^211\) y\(2^35^87^213\).
- Mostrar que cada múltiplo común de dos enteros positivos\(a\) y\(b\) es divisible por el mínimo común múltiplo de\(a\) y\(b\).
- Mostrar que si\(a\) y\(b\) son enteros positivos entonces el mayor divisor común de\(a\) y\(b\) divide su mínimo común múltiplo. Cuando son iguales entre sí el múltiplo menos común y el mayor divisor común.
- \(ab/(a,b) \mid m\)Demuéstralo donde\(m=<a,b>\).