4.4: Números perfectos, Mersenne y Fermat
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Los enteros con ciertas propiedades fueron estudiados extensamente a lo largo de los siglos. Presentamos algunos ejemplos de tales enteros y probamos teoremas relacionados con estos enteros y sus propiedades.
Comenzamos definiendo números perfectos.
Un entero positivo\(n\) se llama un número perfecto if\(\sigma(n)=2n\).
En otras palabras, un número perfecto es un entero positivo que es la suma de sus divisores propios.
El primer número perfecto es 6, ya que\(\sigma(6)=12\). También puedes ver esto como\(6=1+2+3\). El segundo número perfecto es 28, desde\(\sigma(28)=56\) o\(28=1+2+4+7+14\).
El siguiente teorema nos dice cuáles incluso los enteros positivos son perfectos.
El entero positivo\(n\) es un número perfecto par si y solo si\[n=2^{l-1}(2^l-1),\] donde\(l\) es un entero tal que\(l\geq 2\) y\(2^l-1\) es primo.
Mostramos primero que si\(n=2^{l-1}(2^l-1)\) donde\(l\) es un entero tal que\(l\geq 2\) y\(2^l-1\) es primo entonces\(n\) es perfecto. Observe que\(2^l-1\) es extraño y por lo tanto\((2^{l-1},2^l-1)=1\). También, fíjate que\(\sigma\) es una función multiplicativa y así\[\sigma(n)=\sigma(2^{l-1})\sigma(2^l-1).\] Observe que\(\sigma(2^{l-1})=2^l-1\) y desde que\(2^l-1\) es prime obtenemos\(\sigma(2^l-1)=2^l\). Así\[\sigma(n)=2n.\] demostramos ahora lo contrario. Supongamos que\(n\) es un número perfecto. Let\(n=2^rs\), donde\(r\) y\(s\) son enteros positivos y\(s\) es impar. Ya que\((2^r,s)=1\), obtenemos\[\sigma(n)=\sigma(2^r)\sigma(s)=(2^{r+1}-1)\sigma(s).\] Ya que\(n\) es perfecto, obtenemos\[(2^{r+1}-1)\sigma(s)=2^{r+1}s.\] Notice ahora que\((2^{r+1}-1, 2^{r+1})=1\) y así\(2^{r+1}\mid \sigma(s)\). Por lo tanto existe un entero\(q\) tal que\(\sigma(s)=2^{r+1}q\). Como resultado, tenemos\[(2^{r+1}-1)2^{r+1}q=2^{r+1}s\] y así conseguimos Así\[(2^{r+1}-1)q=s\] que lo conseguimos\(q\mid s\). Agregamos\(q\) a ambos lados de la ecuación anterior y obtenemos\[s+q=(2^{r+1}-1)q+q=2^{r+1}q=\sigma(s).\] Tenemos que mostrar ahora eso\(q=1\). Observe que si\(q\neq 1\), entonces\(s\) tendrá tres divisores y así\(\sigma(s)\geq 1+s+q\). De ahí\(q=1\) y como resultado\(s=2^{r+1}-1\). También fíjese en eso\(\sigma(s)=s+1\). Esto demuestra que\(s\) es primo ya que los únicos divisores de\(s\) son\(1\) y\(s\). Como resultado,\[n=2^r(2^{r+1}-1),\] donde\((2^{r+1}-1)\) es primo.
En el teorema 50, vemos que para determinar incluso números perfectos, necesitamos encontrar primos de la forma\(2^l-1\). Aún se desconoce si hay números impares perfectos o no.
Si\(2^l-1\) es primo donde\(l\) es un entero positivo, entonces\(l\) debe ser primo.
Supongamos que\(l\) es compuesto,\(l=rs\) ahí es donde\(1<r<m\) y\(1<s<m\). Así después de factorizar, obtenemos ese\[2^m-1=(2^r-1)(2^{r(s-1)}+2^{r(s-2)}+...+2^{r}+1)\] Aviso que los dos factores anteriores son ambos mayores que 1. Así no\(2^m-1\) es primo. Esto es una contradicción.
El teorema anterior motiva la definición de números interesantes llamados números de Mersenne.
Dejar\(l\) ser un entero positivo. Un número entero de la forma\(M_l=2^l-1\) se llama el número\(l\) th Mersenne; si\(l\) es primo entonces\(M_l=2^l-1\) se llama el\(l\) th Mersenne primo.
\(M_3=2^3-1=7\)es el tercer prime de Mersenne.
Demostramos un teorema que ayuda a decidir si los números de Mersenne son primos.
Divisores de\(M_p=2^p-1\) para primo\(p\) es de la forma\(2mp+1\), donde\(m\) es un entero positivo.
\(p_1\)Déjese ser una división prime\(M_p=2^p-1\). Por teorema de Fermat, eso lo sabemos\(p_1\mid (2^{p_1-1}-1)\). Además, es fácil ver que\[(2^{p}-1,2^{p_1-1}-1)=2^{(p,p_1-1)}-1.\] Since\(p_1\) es un divisor común de\(2^p-1\)\(2^{p_1-1}-1\) y por lo tanto no relativamente primo. De ahí\((p,p_1-1)=p\). De ahí\(p\mid (p_1-1)\) y así existe un entero positivo\(k\) tal que\(p_1-1=kp\). Ya que\(p_1\) es impar, entonces\(k\) es par y así\(k=2m\). De ahí\[p_1=kp+1=2mp+1.\] Porque cualquier divisor de\(M_p\) es un producto de divisores primos de\(M_p\), cada divisor primo de\(M_p\) es de la forma\(2mp+1\) y el resultado sigue.
\(M_{23}=2^{23}-1\)es divisible por\(47=46k+1\). Esto lo sabemos por ensayo y error y así mirando todos los primos de la forma\(46k+1\) que son menores que\(\sqrt{M_{23}}\).
Ahora definimos números de Fermat y probamos algunos teoremas sobre las propiedades de estos números.
Los enteros de la forma\(F_n=2^{2^n}+1\) se llaman números Fermat.
Fermat conjeturó que estos enteros son primos pero resultó que esto no es cierto. Observe que\(F_0=3\)\(F_1=5\),\(F_2=17\),,\(F_3=257\) y\(F_4=65,537\) while\(F_5\) es compuesto. Resultó que el\(F_5\) es divisible por\(641\). Presentamos ahora un par de teoremas sobre las propiedades de estos números.
Para todos los enteros positivos\(n\), tenemos\[F_0F_1F_2...F_{n-1}=F_n-2\]
Demostraremos este teorema por inducción. Porque\(n=1\), la identidad anterior es cierta. Supongamos que ahora eso\[F_0F_1F_2...F_{n-1}=F_n-2\] sostiene. Afirmamos que\[F_0F_1F_2...F_{n}=F_{n+1}-2.\] Notice que\[F_0F_1F_2...F_{n}=(F_n-2)F_n=(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)=2^{2^{n+1}}-1=F_{n+1}-2.\]
Usando el Teorema 53, demostramos que los números de Fermat son relativamente primos.
Dejar\(s \neq t\) ser enteros no negativos. Entonces\((F_s,F_t)=1\).
Asumir sin pérdida de generalidad eso\(s<t\). Así por Teorema 52, tenemos\[F_0F_1F_2...F_s...F_{t-1}=F_t-2\] Supongamos ahora que hay un divisor común\(d\) de\(F_s\) y\(F_t\). así vemos que\(d\) divide\[F_t-F_0F_1F_2...F_s...F_{t-1}=2.\] Así\(d=1\) o\(d=2\). Pero como\(F_t\) es extraño para todos\(t\). Tenemos\(d=1\). Así\(F_s\) y\(F_t\) son relativamente primos.
Ejercicios
- Encuentra los seis números más pequeños incluso perfectos.
- Encuentra el octavo número perfecto.
- Encuentra un factor de\(2^{1001}-1\).
- Decimos que\(n\) es abundante si\(\sigma(n)>2n\). Demostrar que si\(n=2^{m-1}(2^m-1)\) donde\(m\) es un entero positivo tal que\(2^m-1\) es compuesto, entonces\(n\) es abundante.
- Demostrar que hay infinitamente muchos incluso números abundantes.
- Demostrar que hay infinitamente muchos números impares abundantes.
- Determinar si\(M_{11}\) es primo.
- Determinar si\(M_{29}\) es primo.
- Encuentra todos los primos de la forma\(2^{2^n}+5\) donde\(n\) es un entero no negativo.