4.3: La función Mobius y la fórmula de inversión de Mobius
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Comenzamos definiendo la función Mobius que investiga los enteros en términos de su descomposición prima. Luego determinamos la fórmula de inversión de Mobius que determina los valores de la función\(f\) a en un entero dado en términos de su función sumatoria.
\(\mu(n)=\left\{\begin{array}{lcr} \ 1 \ \ \mbox{if}\ \ n=1;\\ \ (-1)^t \ \ \mbox{if}\ \ n=p_1p_2...p_t \ \ \mbox{where the}\ \ p_i \ \ \mbox{are distinct primes};\\ \ 0 \ \ \mbox{ otherwise}.\\ \end{array}\right .\\)
Tenga en cuenta que si\(n\) es divisible por un poder de un primo superior a uno entonces\(\mu(n)=0\).
En relación con la definición anterior, tenemos lo siguiente
\(n\)Se dice que un entero está libre de cuadrados, si ningún cuadrado lo divide, es decir, si no existe un entero\(k\) tal que\(k^2\mid n\).
Es inmediato (probar como ejercicio) que la factorización del número primo de un entero libre de cuadrados contiene solo primos distintos.
Observe que\(\mu(1)=1\),\(\mu(2)=-1\),\(\mu(3)=-1\) y\(\mu(4)=0\).
Ahora demostramos que\(\mu(n)\) es una función multiplicativa.
La función Mobius\(\mu(n)\) es multiplicativa.
Let\(m\) y\(n\) ser dos números enteros relativamente primos. Tenemos que demostrar que\[\mu(mn)=\mu(m)\mu(n).\] si\(m=n=1\), entonces la igualdad se sostiene. También, sin pérdida de generalidad, si\(m=1\), entonces la igualdad también es obvia. Ahora supongamos que\(m\) o\(n\) es divisible por un poder de prime superior a 1, entonces\[\mu(mn)=0=\mu(m)\mu(n).\] lo que queda por probar que si\(m\) y\(n\) son enteros libres de cuadrados dicen\(m=p_1p_2...p_s\) dónde\(p_1,p_2,...,p_s\) están distintos primos y\(n=q_1q_2...q_t\) dónde\(q_1,q_2,...,q_t\). Desde\((m,n)=1\), entonces no hay primos comunes en la descomposición de primos entre\(m\) y\(n\). Así\[\mu(m)=(-1)^s, \mu(n)=(-1)^t \mbox{and} \ \ \mu(mn)=(-1)^{s+t}.\]
En el siguiente teorema, demostramos que la función sumatoria de la función Mobius toma sólo los valores\(0\) o\(1\).
Dejar\(F(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\), entonces\(F(n)\) satisface\[F(n)=\left\{\begin{array}{lcr} \ 1 \ \ \mbox{if}\ \ n=1;\\ \ 0 \ \ \mbox{if}\ \ n>1.\\ \end{array}\right .\\]
Para\(n=1\), tenemos\(F(1)=\mu(1)=1\). Busquemos ahora\(\mu(p^k)\) para cualquier entero\(k>0\). Observe que\[F(p^k)=\mu(1)+\mu(p)+...+\mu(p^k)=1+(-1)+0+...+0=0\] Así por el Teorema 36, para cualquier entero que\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}>1\) tengamos,\[F(n)=F(p_1^{a_1})F(p_2^{a_2})...F(p_t^{a_t})=0\]
Ahora definimos la fórmula de inversión de Mobius. La fórmula de inversión de Mobius expresa los valores de\(f\) en términos de su función sumatoria de\(f\).
Supongamos que\(f\) es una función aritmética y supongamos que\(F\) es su función sumatoria, entonces para todos los enteros positivos\(n\) tenemos\[f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(n/d).\]
Tenemos\[\begin{aligned} \sum_{d\mid n}\mu(d)F(n/d)&=&\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{e\mid (n/d)}f(e)\\ &=& \sum_{d\mid n}\sum_{e\mid (n/d)}\mu(d)f(e)\\&=&\sum_{e\mid n}\sum_{d\mid (n/e)}\mu(d)f(e)\\&=&\sum_{e\mid n}f(e)\sum_{d\mid (n/d)}\mu(d)\\\end{aligned}\] Aviso que\(\sum_{d\mid (n/e)}\mu(d)=0\) a menos\(n/e=1\) y así\(e=n\). Consecuentemente obtenemos\[\sum_{e\mid n}f(e)\sum_{d\mid (n/d)}\mu(d)=f(n).1=f(n).\]
Un buen ejemplo de una fórmula de inversión de Mobius sería la inversión de\(\sigma(n)\) y\(\tau(n)\). Estas dos funciones son las funciones sumatorias de\(f(n)=n\) y\(f(n)=1\) respectivamente. Así conseguimos\[n=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)\sigma(d)\] y\[1=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)\tau(d).\]
Ejercicios
- Encontrar\(\mu(12)\),\(\mu(10!)\) y\(\mu(105)\).
- Encuentra el valor de\(\mu(n)\) para cada entero\(n\) con\(100\leq n\leq 110\).
- Usa la fórmula de inversión de Mobius y la identidad\(n=\sum_{d\mid n}\phi(n/d)\) para mostrar que\(\phi(p^t)=p^t-p^{t-1}\) donde\(p\) es un primo y\(t\) es un entero positivo.