6.3: Muy Buena Aproximación
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Las fracciones continuas proporcionan una representación de números que es, en cierto sentido, genérica y canónica. No depende de una elección arbitraria de una base. Tal representación debería ser la mejor en cierto sentido. En esta sección cuantificamos esta idea ingenua.
Un número racional\(a/b\) se conoce como una aproximación “buena” a un número\(\alpha\) si\[\frac{c}{d} \neq \frac{a}{b} \hspace{5mm} \text{and} \hspace{5mm} 0<d \leq b\] implica\[|d\alpha - c| > |b\alpha -a|.\]
Observaciones. 1. Nuestra “buena aproximación” es “la mejor aproximación del segundo tipo” en una terminología más habitual.
2. Aunque usamos esta definición solo para racional\(\alpha\), también puede ser utilizada para cualquier real\(\alpha\). Ni los resultados de esta sección ni las pruebas se alteran.
3. Ingenuamente, esta definición significa que\(a/b\) se aproxima\(\alpha\) mejor que cualquier otro número racional cuyo denominador no exceda\(b\). Hay otra definición, más común, de “la mejor aproximación”. Un número racional\(x/y\) se conoce como “la mejor aproximación del primer tipo” si\(c/d\neq x/y\) e\(0<d\leq y\) implica\(|\alpha - c/d|>|\alpha - x/y|\). En otras palabras,\(x/y\) está\(\alpha\) más cerca que cualquier número racional cuyo denominador no exceda\(y\). En nuestra definición consideramos una medida de aproximación ligeramente diferente, que toma en cuenta el denominador, es decir,\(b|\alpha - a/b|=|b\alpha -a|\) en lugar de tomar solo la distancia\(|\alpha - a/b|\).
[bueno] Cualquier aproximación “buena” es una convergente.
Comprobante. Dejemos\(a/b\) ser una “buena” aproximación a\(\alpha = [a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n]\). Tenemos que demostrarlo\(a/b=p_k/q_k\) para algunos\(k\).
Así tenemos\(a/b>p_1/q_1\) o\(a/b\) miente entre dos convergentes consecutivos\(p_{k-1}/q_{k-1}\) y\(p_{k+1}/q_{k+1}\) para algunos\(k\). Asumir lo último. Entonces\[\left\vert \frac{a}{b} - \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}} \right\vert \geq \frac{1}{bq_{k-1}}\] y De\[\left\vert \frac{a}{b} - \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}} \right\vert < \left\vert \frac{p_k}{q_k} - \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}} \right\vert = \frac{1}{q_kq_{k-1}}.\] ello se deduce\[\left\vert \alpha - \frac{a}{b} \right\vert \geq \left\vert \frac{p_{k+1}}{q_{k+1}} - \frac{a}{b} \right\vert \geq \frac{1}{bq_{k+1}},\] que\[\label{l7} b>q_k.\] También lo que implica\[\left\vert b\alpha - a \right\vert \geq \frac{1}{q_{k+1}}.\] Al mismo tiempo Teorema [inequ] (es la desigualdad correcta multiplicada por\(q_k\)) lee De\[\left\vert q_k \alpha - p_k \right\vert \leq \frac{1}{q_{k+1}}.\] ello se deduce que\[\left\vert q_k \alpha - p_k \right\vert \leq \left\vert b\alpha - a \right\vert,\] y esta última desigualdad junto con ([l7]) muestran que no\(a/b\) es una “buena” aproximación de\(\alpha\) en este caso.
Esto termina la prueba del Teorema [bueno].
Ejercicios
- Demostrar que si\(a/b\) es una “buena” aproximación entonces\(a/b \geq a_0\).
- Demostrar que si\(a/b>p_1/q_1\) entonces no\(a/b\) es una “buena” aproximación a\(\alpha\).