1.16: Números Perfectos y Primes de Mersenne

En este capítulo discutimos los números perfectos. \(^{1}\)

Definición\(\PageIndex{1}\): Perfect

Un entero\(n>1\) es perfecto si\(\sigma^\ast(n)=n\); en otras palabras,\(n\) es perfecto si equivale a la suma de sus divisores propios.

Una forma equivalente de definir números perfectos es como aquellos números\(n\) para los que\(\sigma(n)=2n\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Los divisores adecuados de\(6\) son\(1\),\(2\) y\(3\). Entonces\(\sigma^\ast(6)=6\). Por lo tanto\(6\) es perfecto.

Si haces una búsqueda de números perfectos de hasta 10,000 encontrarás solo los siguientes números perfectos:\[\begin{aligned} 6 &=2\cdot 3, \\ 28 &=2^2\cdot 7, \\ 496 &=2^4\cdot 31, \\ 8128 &=2^6\cdot 127.\end{aligned}\] Tenga en cuenta que\(2^2=4\),\(2^3=8\)\(2^5=32\),\(2^7=128\) así que tenemos:\[\begin{aligned} 6 &=2 \cdot (2^2-1), \\ 28 &=2^2\cdot(2^3-1), \\ 496 &=2^4\cdot(2^5-1), \\ 8128 &=2^6\cdot(2^7-1).\end{aligned}\] Tenga en cuenta también que\(2^2-1\), \(2^3-1\),\(2^5-1\),\(2^7-1\) son primos de Mersenne. Se podría conjeturar que todos los números perfectos siguen este patrón. Discutimos hasta qué punto se sabe que esto es cierto. Comenzamos con el siguiente resultado.

Teorema \(\PageIndex{1}\): Mersenne Yields Perfect

Si\(2^p-1\) es un Mersenne prime, entonces\(2^{p-1}\cdot(2^p-1)\) es perfecto.

Prueba

Escribe\(q=2^p-1\) y deja\(n=2^{p-1}q\). Si\(q\) es un primo Mersenne, entonces como es impar y primo, por Teorema 1.15.1 (2) tenemos\(\sigma(n)=\sigma\left(2^{p-1}q\right)=\left(\frac{2^p-1}{2-1}\right) \left(\frac{q^2-1}{q-1}\right)=(2^p-1)(q+1) = (2^p-1)2^p = 2n\). Eso es,\(\sigma(n) = 2n\) y\(n\) es perfecto.

Ahora demostramos que todos los números incluso perfectos tienen la forma conjeturada.

Teorema \(\PageIndex{2}\): Even Perfects

Si\(n\) es parejo y perfecto entonces hay un Mersenne prime\(2^p-1\) tal que\(n=2^{p-1}(2^p-1)\).

Prueba

\(n\)Déjese ser parejo y perfecto. Ya que\(n\) es parejo,\(n=2m\) para algunos\(m\). Saquamos tantos poderes\(2\) como sea posible, obtener\[n=2^k\cdot q,\quad k\ge 1\text{, $q$ odd}.\nonumber \] Desde\(n\) es perfecto,\(\sigma^\ast(n)=n\), es decir,\(\sigma(n)=2n\). Ya que\(q\) es impar\(\gcd(2^k,q)=1\),, así por Lemmas 1.15.1 y 1.15.2,\[\sigma(n)=\sigma(2^k)\sigma(q)=(2^{k+1}-1)\sigma(q).\nonumber \] Así que tenemos de\[2^{k+1}q=2n=\sigma(n)=(2^{k+1}-1)\sigma(q),\nonumber \] ahí\[\label{eq: thm 16-2 first} 2^{k+1}q=(2^{k+1}-1)\sigma(q).\] Ahora\(\sigma^\ast(q)=\sigma(q)-q\), así\[\sigma(q)=\sigma^\ast(q)+q.\nonumber \] poniendo esto en ecuación\(\eqref{eq: thm 16-2 first}\) obtenemos\[2^{k+1}q=(2^{k+1}-1)(\sigma^\ast(q)+q)\nonumber \] o\[2^{k+1}q=(2^{k+1}-1)\sigma^\ast(q)+2^{k+1}q-q,\nonumber \] cual implica\[\label{eq: thm 16-2 second} \sigma^\ast(q)(2^{k+1}-1)=q.\] en otras palabras,\(\sigma^\ast(q)\) es un divisor de\(q\). Ya\(k\ge 1\) que tenemos\(2^{k+1}-1\ge 4-1=3\). Entonces\(\sigma^\ast(q)\) es un divisor adecuado de\(q\). Pero\(\sigma^\ast(q)\) es la suma de todos los divisores propios de\(q\). Esto sólo puede suceder si solo\(q\) tiene un divisor adecuado. Esto quiere decir que\(q\) debe ser primo y\(\sigma^\ast(q)=1\). Entonces la ecuación lo\(\eqref{eq: thm 16-2 second}\) demuestra\(q=2^{k+1}-1\). Entonces\(q\) debe ser un Mersenne prime y\(k+1=p\) es prime. Entonces\(n=2^{p-1}(2^p-1)\), como se desee.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Hay una correspondencia uno a uno entre incluso números perfectos y primos de Mersenne.

Aun sabiendo de la fuerte conexión entre los números perfectos y los primos de Mersenne, quedan varias preguntas bien conocidas.

Preguntas abiertas

• ¿Hay infinitamente muchos números perfectos?
• ¿Hay números impares perfectos?

Por supuesto, demostrar que hay infinitamente muchos primos de Mersenne respondería a la primera pregunta.

Hasta el momento nadie ha encontrado un solo número impar perfecto. Se sabe que si existe un número perfecto impar, debe serlo\(>10^{50}\).

La idea de un número perfecto es bastante antigua, como es el resultado del Teorema\(\PageIndex{1}\). Los Elementos de Euclides \(^{2}\)definen números perfectos al comienzo del Libro VII, y una prueba de que los primos de Mersenne pueden ser utilizados para construir los números incluso perfectos aparece como Proposición 36 en el Libro IX. Por supuesto, el uso de Euclides de primos “Mersenne” data de aproximadamente 1800 años antes de que naciera Mersenne, por lo que no usó exactamente esa terminología (o nuestra notación algebraica moderna), pero las ideas son similares y merecen ser leídas.

Algunos incluso piensan que el conocimiento de Euclides que\(2^{p-1}(2^p-1)\) es perfecto cuando\(2^p-1\) es primo puede haber sido su motivación para definir números primos.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Usa la definición de números perfectos para determinar cuáles de los siguientes números son perfectos, mostrando tu trabajo.

1. \(n=28\)
2. \(n=32\)
3. \(n=128\)
4. \(n=496\)
5. \(n=900\)
6. \(n=1024\)
7. \(n=8128\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que si\(n\) es un número perfecto, entonces\(\displaystyle\sum_{d \mid n} \frac{1}{d} = 2,\) donde la suma es sobre divisores positivos\(d\) de\(n\).

(Pista: Si borraste los denominadores en esta ecuación, ¿cómo sería la ecuación?)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

1. Usando los resultados de este capítulo, demuestre que si\(M\) es un primo de Mersenne, entonces\(\frac{1}{2}M(M+1)\) es un número perfecto.
2. Demuestre que si\(M\) es un primo de Mersenne, entonces la suma\[1+2+3+\dots + M\nonumber \] es un número perfecto. (Pista: usa la parte (a) y, si es necesario, mira la fórmula en el Ejercicio 1.3.3.)

Los dos ejercicios siguientes muestran que los conjuntos de cuadrados perfectos (números de la forma\(n^2\)) y de números perfectos no se superponen.

Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

Demuestre que si\(n\) es extraño, entonces no\(n^2\) es perfecto.

(Pista: Comparar las paridades de\(n^2\) y\(\sigma^*(n^2)\).)

Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

Demuestre que si\(n\) es par, entonces no\(n^2\) es perfecto.

(Pista: use Teorema\(\PageIndex{2}\).)

Notas al pie

[1] Tenga en cuenta que nuestro uso de “perfecto” aquí y la expresión “cuadrado perfecto” en otra parte del texto no están relacionados; los cuadrados de enteros nunca son números perfectos (ver Ejercicios\(\PageIndex{4}\) y \(\PageIndex{5}\)al final del capítulo), ¡así que no hay un cuadrado perfecto perfecto!

[2] Recuerda que ya nos encontramos con Elementos en las Secciones 1.8 y 1.11 y 1.12. ¡Este texto antiguo definitivamente contiene algunas gemas!