6.5: Propiedades de las Funciones

En esta sección, estudiaremos algunas propiedades de las funciones. Para facilitar nuestra discusión, necesitamos introducir algunas anotaciones. Algunos estudiantes pueden encontrarlos confusos y difíciles de usar. Además de memorizar las definiciones, trata de entender lo que realmente significan.

Definición: imagen de debajo

Dada una función\(f :{A}\to{B}\), y\(C\subseteq A\), la imagen de bajo\(f\) se define como\[f(C) = \{ f(x) \mid x\in C \}. \nonumber\] En palabras,\(f(C)\) es el conjunto de todas las imágenes de los elementos de\(C\).

Algunas observaciones sobre la definición:

1. Se trata de la imagen de un subconjunto\(C\) del dominio de\(A\). No lo confundas con la imagen de un elemento\(x\) de\(A\).
2. Por lo tanto, no se limiten a decir “la imagen”. Sea específico: la imagen de un elemento, o la imagen de un subconjunto.
3. Mejor aún: incluir la notación\(f(x)\) o\(f(C)\) en la discusión.
4. Si bien\(f(x)\) es un elemento en el codominio,\(f(C)\) es un subconjunto del codominio.
5. Quizás, lo más importante a recordar es:

Si\(y\in f(C)\), entonces\(y\in B\), y existe\(x\in C\) tal que\(f(x)=y\).

Esta observación clave es a menudo con lo que necesitamos comenzar una prueba.

Definición: imagen

Dejar\(f :{A}{B}\) ser una función. La imagen o rango de\(f\), denotado\(\mathrm{ im }{f}\), se define como el conjunto\(f(A)\). De ahí,\(\mathrm{ im }{f}\) es el conjunto de todas las imágenes posibles que\(f\) pueden asumir.

La definición implica que una función\(f :{A}\to{B}\) es sobre si\(\mathrm{ im }{f} = B\). Desafortunadamente, esta observación es de uso limitado, porque no siempre es fácil de encontrar\(\mathrm{ im }{f}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:propfcn-01}\)

Para la función\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) definida por

\[f(x) = x^2, \nonumber\]

nos encontramos\(\mathrm{ im }{f}=[0,\infty)\). También tenemos, por ejemplo,\(f\big([\,2,\infty)\big) = [4,\infty)\). Está claro que no\(f\) es ni uno a uno ni a uno ni on.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:propfcn-02}\)

Para la función\(g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) definida por\[g(n) = n+3,\nonumber\] encontramos\(\mathrm{ im }{g}=\mathbb{Z}\), y\(g(\mathbb{N})=\{4,5,6,\ldots\}\). La función\(g\) es a la vez uno a uno y on.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{he:propfcn-01}\)

La función\(p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) se define como\(p(x)=3x+11\). Encontrar\(p(\mathbb{R}^+)\) y\(\mathrm{ im }{p}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{he:propfcn-02}\)

La función\(q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) se define como\(q(x)=x^2-x-7\). Encuentra\(\mathrm{ im }{q}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:propfcn-03}\)

La función\(h :{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}\) está definida por

\[h(x) \equiv 5x-11 \pmod{15}.\nonumber\]

De los datos tabulados

\[\begin{array}{|c||*{9}{c|}} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots & 14 \\ \hline f(x) & 4 & 9 & 14 & 4 & 9 & 14 & 4 & \cdots & 14 \\ \hline \end{array} \nonumber\]

queda claro que las imágenes repiten el patrón 4, 9, 14 cinco veces. Por lo tanto, eso lo determinamos\(\mathrm{ im }{h}=\{4,9,14\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{he:propfcn-03}\)

Determinar\(h(\{0,3,4\})\), donde\(h\) se define en el Ejemplo 6.5.3.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:propfcn-04}\)

Determinar\(f(\{(0,2), (1,3)\})\), donde\(f :{\{0,1,2\} \times\{0,1,2,3\}}{\mathbb{Z}}\) se define la función de acuerdo con

\[f(a,b) = a+b. \nonumber\]

Observación: Estrictamente hablando, debemos escribir\(f((a,b))\) porque el argumento es un par ordenado de la forma\((a,b)\). Sin embargo, a menudo escribimos\(f(a,b)\), porque se\(f\) puede ver como una función de dos variables. La primera variable viene de\(\{0,1,2\}\), la segunda viene de\(\{0,1,2,3\}\), y las agregamos para formar la imagen.

Solución

Porque eso\[f(0,2)=0+2=2, \qquad\mbox{and}\qquad f(1,3)=1+3=4, \nonumber\] lo determinamos\(f(\{(0,2),(1,3)\}) = \{2,4\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{he:propfcn-04}\)

Buscar\(\mathrm{ im }{f}\), donde\(f\) se define en el Ejemplo 6.5.4.

Ya estamos listos para presentar la primera colección de propiedades de funciones.

Teorema\(\PageIndex{1}\label{thm:propfcn-01}\)

Dado\(f :{A}\to{B}\), las siguientes propiedades se mantienen para cualquier\(C_1,C_2\subseteq A\).

1. \(f(C_1\cup C_2) = f(C_1)\cup f(C_2)\)
2. \(f(C_1\cap C_2) \subseteq f(C_1)\cap f(C_2)\)
3. \(f(C_1 - C_2) \supseteq f(C_1) - f(C_2)\)
4. \(C_1\subseteq C_2 \Rightarrow f(C_1) \subseteq f(C_2)\)

Comentario

Estos resultados brindan excelentes oportunidades para aprender a escribir pruebas matemáticas. Solo proporcionamos la prueba de (a) a continuación, y dejamos las pruebas de (b) — (d) como ejercicios. En (a), queremos establecer la igualdad de dos conjuntos. Una forma de probarlo\(S=T\) es demostrar eso\(S\subseteq T\), y\(T\subseteq S\). Ahora bien, para probarlo\(S\subseteq T\), necesitamos demostrar que eso\(z\in S\) implica\(z\in\) T; para demostrarlo\(T\subseteq S\), queremos\(z\in T\) probarlo que implica\(z\in s\).

Prueba de (a)

Primero, queremos demostrarlo\(f(C_1\cup C_2) \subseteq f(C_1)\cup f(C_2)\). Dejemos\(y\in f(C_1\cup C_2)\), entonces existe\(x\in C_1\cup C_2\) tal que\(f(x)=y\). Tener\(x\in C_1\cup C_2\) medios\(x\in C_1\) o bien\(x\in C_2\), entonces tenemos que considerar dos casos.

• Si\(x\in C_1\), entonces\(f(x)\in f(C_1)\).
• Si\(x\in C_2\), entonces\(f(x)\in f(C_2)\).

Así,\(y=f(x)\) pertenece a cualquiera\(f(C_1)\) o\(f(C_2)\), lo que significa\(y=f(x) \in f(C_1)\cup f(C_2)\). Esto lo demuestra\(f(C_1\cup C_2) \subseteq f(C_1)\cup f(C_2)\).

A continuación, queremos demostrarlo\(f(C_1)\cup f(C_2) \subseteq f(C_1\cup C_2)\). Vamos\(y\in f(C_1)\cup f(C_2)\), entonces\(y\) pertenece a cualquiera\(f(C_1)\) o\(f(C_2)\).

• Si\(y\in f(C_1)\), entonces existe\(x_1\in C_1\) tal que\(f(x_1)=y\).
• Si\(y\in f(C_2)\), entonces existe\(x_2\in C_2\) tal que\(f(x_2)=y\).

Estas dos posibilidades en conjunto implican que existe un elemento\(x\) perteneciente a cualquiera\(C_1\) o\(C_2\), es decir,\(x\in C_1\cup C_2\), tal que\(f(x)=y\). Esto significa\(f(x)\in f(C_1\cup C_2)\). Esto lo demuestra\(f(C_1)\cup f(C_2) \subseteq f(C_1\cup C_2)\). Con esto concluye la prueba de\(f(C_1\cup C_2) = f(C_1)\cup f(C_2)\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{he:propfcn-05}\)

Demostrar parte (b) del Teorema 6.5.1.

OBSERVACIÓN

La parte (b) del Teorema 6.5.2 sólo da una relación de subconjunto. La razón es: tener\(y\in f(C_1)\) y\(y\in f(C_2)\) no significa necesariamente que\(y\) sea la imagen del mismo elemento. Ya que\(f\) puede ser de muchos a uno, es posible tener\(x_1\in C_1-C_2\) y\(x_2\in C_2-C_1\) tal que\(f(x_1)=f(x_2)=y\). Considerar\(f :{\{1,2,3\}}\to{\{a,b\}}\) definido por\[f(1)=f(3)=a, \qquad\mbox{and}\qquad f(2)=b. \nonumber\] Si\(C_1=\{1,2\}\) y\(C_2=\{2,3\}\), entonces\(f(C_1)=f(C_2)=\{a,b\}\), y\[f(C_1\cap C_2) = f(\{2\}) = \{b\} \subset \{a,b\} = f(C_1)\cap f(C_2). \nonumber\] Por lo tanto, sólo podemos concluir eso\(y\in f(C_1\cap C_2) \Rightarrow y\in f(C_1) \cap f(C_2)\).

Definición: preimagen de debajo

Dada una función\(f :{A}\to{B}\), y\(D\subseteq B\), la preimagen de bajo se define como\[f^{-1}(D) = \{ x\in A \mid f(x) \in D \}. \nonumber\] Por lo tanto,\(f^{-1}(D)\) es el conjunto de elementos en el dominio cuyas imágenes se encuentran en\(C\). El símbolo también\(f^{-1}(D)\) se pronuncia como “\(f\)inverso de”\(D\).

Algunas observaciones sobre la definición:

1. La preimagen de\(D\) es un subconjunto del dominio\(A\).
2. En particular, la preimagen de\(B\) es siempre\(A\).
3. La clave para recordar es:

   Si\(x\in f^{-1}(D)\), entonces\(x\in A\), y\(f(x)\in D\).

4. Es posible que\(f^{-1}(D)=\emptyset\) para algún subconjunto\(D\). Si esto sucede, no\(f\) está sobre.
5. Por lo tanto,\(f\) está sobre si y solo si\(f^{-1}(\{b\})\neq \emptyset\) por cada\(b\in B\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:propfcn-05}\)

Si\(t :{\mathbb{R}\to}{\mathbb{R}}\) está definido por\(t(x)=x^2-5x+5\), buscar\(t^{-1}(\{-1\})\).

Solución

Queremos encontrar\(x\) tal que\(t(x)=x^2-5x+5=-1\). De ahí que tengamos que resolver la ecuación\[0 = x^2-5x+6 = (x-2)(x-3).\nonumber\] Las soluciones son\(x=2\) y\(x=3\). Por lo tanto,\(t^{-1}(\{-1\}) = \{2,3\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{he:propfcn-06}\)

Si\(k :{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{R}}\) está definido por\(k(x)=x^2-x-7\), buscar\(k^{-1}(\{3\})\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:propfcn-06}\)

Para la función\(f :{\{0,1,2\}\times\{0,1,2,3\}}\to{\mathbb{Z}}\) definida por\[f(a,b) = a+b, \nonumber\] encontramos\[\begin{aligned} f^{-1}(\{3\}) &=& \{(0,3), (1,2), (2,1)\}, \\ f^{-1}(\{4\}) &=& \{(1,3), (2,2)\}. \end{aligned} \nonumber\] Dado que las preimágenes son conjuntos, necesitamos escribir las respuestas en notación de conjuntos.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{he:propfcn-07}\)

Buscar\(h^{-1}(\{4\})\) y\(h^{-1}(\{2\})\), donde\(h\) se define la función en el Ejemplo 6.5.3.

Teorema\(\PageIndex{2}\label{thm:propfcn-02}\)

Dado\(f :{A}\to{B}\), y\(D_1,D_2\subseteq B\), se mantienen las siguientes propiedades.

1. \(f^{-1}(D_1\cup D_2) = f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)\)
2. \(f^{-1}(D_1\cap D_2) = f^{-1}(D_1)\cap f^{-1}(D_2)\)
3. \(f^{-1}(D_1 - D_2) = f^{-1}(D_1) - f^{-1}(D_2)\)
4. \(D_1\subseteq D_2 \Rightarrow f^{-1}(D_1)\subseteq f^{-1}(D_2)\)

Prueba de (a)

Primero, queremos demostrarlo\(f^{-1}(D_1\cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)\). Vamos\(x\in f^{-1}(D_1\cup D_2)\), entonces\(f(x)\in D_1\cup D_2\). Esto significa cualquiera\(f(x)\in D_1\) o\(f(x)\in D_2\).

• Si\(f(x)\in D_1\), entonces\(x\in f^{-1}(D_1)\).
• Si\(f(x)\in D_2\), entonces\(x\in f^{-1}(D_2)\).

Ya que\(x\) pertenece a cualquiera\(f^{-1}(D_1)\) o\(f^{-1}(D_2)\), nosotros determinamos eso\(x\in f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)\). Por lo tanto,\(f^{-1}(D_1\cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)\).

A continuación, queremos demostrarlo\(f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2) \subseteq f^{-1}(D_1\cup D_2)\). Vamos\(x\in f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)\). Entonces\(x\) pertenece a cualquiera\(f^{-1}(D_1)\) o\(x\in f^{-1}(D_2)\).

• Si\(x\in f^{-1}(D_1)\), entonces\(f(x)\in D_1\).
• Si\(x\in f^{-1}(D_2)\), entonces\(f(x)\in D_2\).

De ahí,\(f(x)\) pertenece a cualquiera\(D_1\) o\(D_2\), lo que significa\(f(x)\in D_1\cup D_2\). Por lo tanto,\(x\in f^{-1}(D_1\cup D_2)\). Eso lo hemos demostrado\(f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2) \subseteq f^{-1}(D_1\cup D_2)\). Junto con\(f^{-1}(D_1\cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)\), concluimos que\(f^{-1}(D_1\cup D_2) = f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{he:propfcn-08}\)

Demostrar parte (b) del Teorema 6.5.2.

Si una función\(f :{A}{B}\) es uno a uno o sobre puede determinarse por la cardinalidad de las preimágenes.

• \(f\)es uno a uno si y solo si\(|f^{-1}(\{b\})|\leq1\) por cada\(b\in B\).
• \(f\)está sobre si y solo si\(|f^{-1}(\{b\})|\geq1\) por cada\(b\in B\).

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos finitos, entonces

• \(|A|\leq|B|\)si\(f\) es uno a uno, y
• \(|A|\geq|B|\)si\(f\) está en.

En particular, si\(f\) es uno a uno y sobre, tenemos\(|A|=|B|\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:propfcn-08}\)

Una función\(f :{\mathbb{Z}_{14}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) no puede ser uno a uno porque para que sea uno a uno, necesitamos 14 imágenes distintas. Dado que el codominio solo tiene 10 elementos, es imposible que se le ocurren 14 imágenes diferentes.

Así mismo, una función\(g :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{57}}\) no puede estar sobre porque el dominio tiene 23 elementos, por lo tanto, podemos tener como máximo 23 imágenes diferentes. Pero el codominio tiene 57 elementos, por lo tanto, algunos de sus elementos deben dejarse sin usar.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:propfcn-07}\)

Consideremos la función\(h :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{57}}\) definida por\[h(x) \equiv 43x \pmod{57}. \nonumber\] If\(y\equiv43x\) (mod 57), entonces, ya que\(43^{-1}\equiv4\) (mod 57), nos encontramos\(\mathbb{Z}_{23}\), en,\[x = 43^{-1}y = 4y. \nonumber\] Ya que también podemos expresar\(x\) en términos de\(y\), declaramos que\(f\) es on. Sin embargo, hemos aprendido del ejemplo anterior que\(f\) no puede estar sobre. ¿Hay alguna contradicción?

Solución

Hay un error en el argumento. Deberíamos haber dicho\[x \equiv 43^{-1}y \equiv 4y \pmod{57}. \nonumber\] Dado que\(x\) se reduce el módulo 57, su valor puede superar los 23. Si esto sucede,\(x\notin\mathbb{Z}_{23}\). Por ejemplo, si\(y=11\), tendríamos\(x=44\notin\mathbb{Z}_{23}\). Incluso si reducimos 44 módulo 23, obtenemos\(x\equiv21\) (mod 23), tendríamos\[43\cdot21 \equiv 48\not\equiv 11 \pmod{57}. \nonumber\] Así que todavía no es la preimagen correcta. Este ejemplo ilustra nuevamente la importancia de tener precaución cuando una función involucra diferentes módulos en su dominio y codominio.

Resumen y revisión

• Dada una función\(f :{A}\to{B}\), la imagen de\(C\subseteq A\) se define como\(f(C) = \{f(x) \mid x\in C\}\).
• Si\(y\in f(C)\), entonces\(y\in B\), y existe\(x\in C\) tal que\(f(x)=y\).
• Consulte Teorema 6.5.1 para obtener una lista de propiedades de la imagen de un conjunto.
• La preimagen de\(D\subseteq B\) se define como\(f^{-1}(D) = \{x\in A \mid f(x)\in D\}\).
• Si\(x\in f^{-1}(D)\), entonces\(x\in A\), y\(f(x)\in D\).
• Consulte Teorema 6.5.2 para obtener una lista de propiedades de la preimagen de un conjunto.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:propfcn-01}\)

Para cada una de las siguientes funciones, encuentra la imagen de\(C\), y la preimagen de\(D\).

1. \({f_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d\}}\);\(f_1(1)=b\),\(f_1(2)=c\),\(f_1(3)=a\),\(f_1(4)=a\),\(f_1(5)=c\);\(C=\{1,3\}\),\(D=\{a.c\}\).
2. \({f_2}:{\{1,2,3,4\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(f_2(1)=c\),\(f_2(2)=b\),\(f_2(3)=a\),\(f_2(4)=d\);\(C=\{1,3\}\),\(D=\{b,d\}\).
3. \({f_3}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(f_3(1)=b\),\(f_3(2)=b\),\(f_3(3)=b\),\(f_3(4)=a\),\(f_3(5)=d\);\(C=\{1,3,5\}\),\(D=\{c\}\).
4. \({f_4}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(f_4(1)=d\),\(f_4(2)=b\),\(f_4(3)=e\),\(f_4(4)=a\),\(f_4(5)=c\);\(C=\{3\}\),\(D=\{c\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:propfcn-02}\)

Para cada una de las siguientes funciones, encuentra la imagen de\(C\), y la preimagen de\(D\).

1. \({f_5}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\);\(f_5(n)=-n\);\(C=2\mathbb{Z}\),\(D=\mathbb{N}\).
2. \({f_6}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\);\(f_6(n) = \cases{ 2n & if $n < 0$, \cr -3n & if $n\geq0$,\cr}\);\(C=\mathbb{N}\),\(D=2\mathbb{Z}\).
3. \({f_7}:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}\);\(f_7 (n) = \cases{ \frac{n+1}{2} & if $n$ is odd \cr \frac{n}{2} & if $n$ is even \cr}\);\(C=D=2\mathbb{N}\).
4. \({f_8}:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}\);\(f_8 (n) = \cases{ n+1 & if $n$ is odd \cr n-1 & if $n$ is even \cr}\);\(C=D=2\mathbb{N}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:propfcn-03}\)

La función\(s :{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{12}}\) se define como\[s(x) \equiv 4x+7 \pmod{12}. \nonumber\]

1. Encuentra\(s(\{2,5,7\})\).
2. Encuentra\(s^{-1}(\{2,5,7\})\).
3. Encuentra\(\mathrm{ im }{s}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:propfcn-04}\)

La función\(t :{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}\) se define como\[t(x) \equiv 3x^2-5 \pmod{15}. \nonumber\]

1. Encuentra\(t(\{2,3,5,13\})\).
2. Encuentra\(t^{-1}(\{1,5,7\})\).
3. Encuentra\(\mathrm{ im }{t}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:propfcn-05}\)

La función\(u :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) se define como\(u(x)=3x+11\), y la función\(v :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{R}}\) se define como\(v(x)=3x+11\).

1. Encontrar\(u([\,3,5))\) y\(v(\{3,4,5\})\).
2. Encontrar\(u^{-1}((2,7\,])\) y\(v^{-1}((2,7\,])\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:propfcn-06}\)

¿La función está\(h :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) definida por\[h(n) = \cases{ 2n & if $n\geq0$ \cr -n & if $n < 0$ \cr} \nonumber\] uno a uno? ¿Está sobre?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:propfcn-07}\)

Definir el\(r :{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Q}}\) según\(r(m,n) = 3^m 5^n\).

1. Encuentra\(r(\{1,2,3\}\times\{-1,0,1\})\).
2. Encuentra\(r^{-1}\big(\big\{\frac{25}{27}\big\}\big)\).
3. Encontrar\(r^{-1}(D)\), dónde\(D=\{3,9,27,81,\ldots\,\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:propfcn-08}\)

Definir la función de\(p :{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) acuerdo a\(p(x,y) = 12x+15y\).

1. Encuentra\(p^{-1}(\{18\})\). Puede usar la notación set-builder para describir su respuesta.
2. Encuentra\(\mathrm{ im }{p}\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:propfcn-09}\)

La suma de las entradas en una fila particular en una matriz se denomina suma de filas, y la suma de las entradas en una columna en particular se denomina suma de columna. Discutir cómo podemos usar las sumas de fila y las sumas de columna de la matriz de incidencia de una función para determinar si la función está bien definida, uno a uno y sobre.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:propfcn-10}\)

A continuación se muestra la matriz de incidencia de la función\(f :{\{a,b,c,d,e\}}\to{\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}}\):\[\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{ccccc} \alpha & \beta & \gamma & \delta &\epsilon \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array} & \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]

1. Encuentra\(f(\{a,d,e\})\).
2. Encuentra\(f^{-1}(\{\alpha,\beta,\epsilon\})\).
3. Encuentra\(\mathrm{ im }{f}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\label{ex:propfcn-11}\)

Considera la función\(h_1\) definida en Problema 6.5.8a en Ejercicios 1.2. ¿Qué es\(h_1^{-1}(\{m\})\), si\(m\) representa a tu madre?

Ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:propfcn-12}\)

Que\(S\) denote el árbol genealógico materno, que te incluye a ti, a tu madre, a tu abuela materna, a tu bisabuela materna, y así sucesivamente. Definir una función\({M}:{S}\to{S}\) dejando\(M(x)\) ser la madre de\(x\). Determinar\(\mathrm{ im }{M}\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\label{ex:propfcn-13}\)

Demostrar parte (c) del Teorema 6.5.1.

Ejercicio\(\PageIndex{14}\label{ex:propfcn-14}\)

Demostrar parte (c) del Teorema 6.5.2.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\label{ex:propfcn-15}\)

1. (a) Demostrar la parte (d) del Teorema 6.5.1.
2. (b) Demostrar la parte (d) del Teorema 6.5.2.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\label{ex:propfcn-16}\)

Construir un ejemplo de una función\(f :{A}{B}\), y\(C_1,C_2 \subseteq A\) tal que\(f(C_1-C_2) \supsetneq f(C_1)-f(C_2)\). Ver parte (c) del Teorema 6.5.1.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\label{ex:propfcn-17}\)

Dada una función\(f :{A}\to{B}\), y\(C\subset A\), ya que\(f(C)\) es un subconjunto de\(B\), la preimagen de este subconjunto se indica mediante la notación\(f^{-1}(f(C))\). Considerar la función\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) definida por\(f(x)=x^2\), y\(C=\{0,1,2,3\}\).

1. Encuentra\(f(C)\).
2. Encuentra\(f^{-1}(f(C))\).

Ejercicio\(\PageIndex{18}\label{ex:propfcn-18}\)

Demostrarlo\(C \subseteq f^{-1}(f(C))\) para cualquier función\(f :{A}\to{B}\), y\(C\subseteq A\).