7.3: Relaciones de equivalencia

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Una relación sobre un conjunto$A$ es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. A menudo usamos la notación tilde$a\sim b$ para denotar una relación de equivalencia.

Ejemplo$\PageIndex{1}\label{eg:equivrel-01}$

Las relaciones en los Ejemplos 7.2.4, 7.2.5 y 7.2.7, son relaciones de equivalencia, así lo son las de los Ejercicios Prácticos 7.2.2 y 7.2.6.

Ejemplo$\PageIndex{2}\label{eg:relmod4}$

Definir una relación$\sim$ on$\mathbb{Z}$ por\[a\sim b \,\Leftrightarrow\, a\equiv b \mbox{ (mod~4)}. \nonumber\] Verifica que$\sim$ es una relación de equivalencia.

Contestar

Tenemos que verificar tres propiedades:

Es obvio$a\equiv a$ (mod 4), de ahí$a\sim a$. La relación$\sim$ es reflexiva.
Si$a\sim b$, entonces$a\equiv b$ (mod 4). Está claro que también tenemos$b\equiv a$ (mod 4). De ahí,$\sim$ es simétrico.
Si$a\sim b$ y$b\sim c$, entonces\[a\equiv b \pmod{4}, \qquad\mbox{and}\qquad b\equiv c \pmod{4}. \nonumber\] se deduce que$a\equiv c$ (mod 4). Por lo tanto$a\sim c$. Esto demuestra que$\sim$ es transitivo.

Por lo tanto,$\sim$ es una relación de equivalencia.

ejercicio$\PageIndex{1}\label{he:relmod6}$

Definir una relación$\sim$ on$\mathbb{Z}$ por\[a\sim b \,\Leftrightarrow\, a\equiv b \mbox{ (mod~6)}. \nonumber\] Verifica que$\sim$ es una relación de equivalencia.

ejercicio$\PageIndex{2}\label{he:relmodn}$

Dejar$n\geq2$ ser un entero positivo. Definir una relación$\sim$ on$\mathbb{Z}$ por\[a\sim b \,\Leftrightarrow\, a\equiv b \mbox{ (mod~$n$)}. \nonumber\] Verifica que$\sim$ es una relación de equivalencia.

Eche un vistazo más de cerca al Ejemplo 7.3.2. Todos los enteros que tienen el mismo resto cuando se dividen por 4 están relacionados entre sí. Definir los conjuntos\[\begin{array}{lclcr} {[0]} &=& \{n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 0 \} &=& 4\mathbb{Z}, \\ [3pt] {[1]} &=& \{n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 1 \} &=& 1+4\mathbb{Z}, \\ [3pt] {[2]} &=& \{n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 2 \} &=& 2+4\mathbb{Z}, \\ [3pt] {[3]} &=& \{n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 3 \} &=& 3+4\mathbb{Z}. \end{array} \nonumber\] Está claro que cada entero pertenece exactamente a uno de estos cuatro conjuntos. De ahí que\[\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3]. \nonumber\] estos cuatro conjuntos sean disjuntos por pares, así$\mathbb{Z}$ es una unión disjunta de estos cuatro conjuntos. Decimos que$\{[0], [1], [2], [3]\}$ es una partición de$\mathbb{Z}$.

Definición

Se dice que una colección$\{S_1,S_2,\ldots,S_n\}$ de subconjuntos no vacíos de$S$ es una partición de$S$ si los subconjuntos$S_1,S_2,\ldots,S_n$ son disjuntos por pares ($S_i \cap S_j = \emptyset$siempre que sea$i\neq j$), y\[S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n = S. \nonumber\] Los subconjuntos$S_1,S_2,\ldots,S_n$ se llaman las partes o componentes de la partición.

Debido a la transitividad y simetría, todos los elementos relacionados con un elemento fijo deben estar relacionados entre sí. Así, si conocemos un elemento en el grupo, esencialmente conocemos a todos sus “parientes”.

Definición: clase de equivalencia

Dejar$\sim$ ser una relación de equivalencia sobre$A$. El conjunto\[[a] = \{ x\in A \mid x\sim a \}. \nonumber\] se llama la clase de equivalencia de$a$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

En el Ejemplo 7.2.4, cada clase de equivalencia de la relación$S$ consiste en todos los triángulos que son similares. Tenga en cuenta que ningún triángulo puede pertenecer a dos clases de equivalencia diferentes. Esto significa que las clases de equivalencia son disjuntas por pares.

En el mismo ejemplo, cada clase de equivalencia de la relación$P$ consiste en todas las líneas que son paralelas. Nuevamente, tome nota que ninguna línea puede pertenecer a dos clases de equivalencia diferentes. Así, las clases de equivalencia son disjuntas por pares.

Ejemplo$\PageIndex{4}\label{eg:equivmod4}$

Para la relación$\sim$ on$\mathbb{Z}$ definida por$a\sim b\,\Leftrightarrow\, a\equiv b$ (mod 4), hay cuatro clases de equivalencia$[0],[1],[2]$ y$[3]$, y el conjunto$\{[0], [1], [2], [3]\}$ forma una partición de$\mathbb{Z}$. Por lo tanto,\[\mathbb{Z} = [0]\cup[1]\cup[2]\cup[3], \nonumber\] y los cuatro componentes$[0]$$[1]$,,$[2]$ y$[3]$ son disjuntos por pares.

ejercicio$\PageIndex{3}\label{he:equivmod6}$

¿Cuáles son las clases de equivalencia de la relación$\sim$ en el Ejercicio 7.3.1?

ejercicio$\PageIndex{4}\label{he:equivmodn}$

¿Cuáles son las clases de equivalencia de la relación$\sim$ en el Ejercicio 7.3.2?

ejercicio$\PageIndex{5}\label{he:equivrel-01}$

Para cada una de las relaciones de equivalencia mencionadas en el Ejemplo 7.3.1, determinar sus clases de equivalencia.

Todos los elementos de la misma clase de equivalencia están relacionados entre sí. Por lo tanto, los elementos en$[a]$ todos comparten la misma propiedad que$a$ disfruta, desde el punto de vista de la relación$\sim$. En el Ejemplo 7.3.4, la clase de equivalencia$[0]$ consiste en elementos que son múltiplos de 4. La clase de equivalencia$[1]$ consiste en elementos que, al dividirse por 4, dejan 1 como el resto, y de manera similar para las clases de equivalencia$[2]$ y$[3]$. Debido al vínculo común entre los elementos en una clase de equivalencia$[a]$, todos estos elementos pueden ser representados por cualquier miembro dentro de la clase de equivalencia. Este es el espíritu detrás del siguiente teorema.

Teorema$\PageIndex{1}\label{thm:equivclass}$

Si$\sim$ es una relación de equivalencia en$A$, entonces$a\sim b \Leftrightarrow [a]=[b]$.

Prueba: Dejamos la prueba como ejercicio.

Se pueden considerar las clases de equivalencia como objetos con muchos alias. Cada elemento de una clase de equivalencia puede servir como su representante. Por lo que tenemos que tener especial cuidado cuando nos ocupamos de clases de equivalencia. No se deje engañar por los representantes, y considere que dos clases de equivalencia aparentemente diferentes son distintas cuando en realidad pueden ser idénticas.

Ejemplo$\PageIndex{5}\label{eg:sameLN}$

Definir$\sim$ sobre un conjunto de individuos en una comunidad según\[a\sim b \,\Leftrightarrow\, \mbox{$a$ and $b$ have the same last name}. \nonumber\] Hemos visto que$\sim$ es una relación de equivalencia. Cada clase de equivalencia consta de todos los individuos con el mismo apellido en la comunidad. De ahí que, por ejemplo, James Smith, Lucy Smith y Peter Smith pertenezcan todos a la misma clase de equivalencia. Cualquier Smith puede servir como su representante, así podemos denotarlo como, por ejemplo,$[$ Peter Smith$]$.

Ejemplo$\PageIndex{6}\label{eg:samedec}$

Definir$\sim$ en$\mathbb{R}^+$ según\[x\sim y \,\Leftrightarrow\, x-y\in\mathbb{Z}. \nonumber\] Por lo tanto, dos números reales se relacionan si y solo si tienen las mismas partes decimales. Es fácil verificar que$\sim$ es una relación de equivalencia, y cada clase de equivalencia$[x]$ consiste en todos los números reales positivos que tienen las mismas partes decimales que$x$ tiene. Observe eso\[\mathbb{R}^+ = \bigcup_{x\in(0,1]} [x], \nonumber\] lo que significa que las clases de equivalencia$[x]$, donde$x\in(0,1]$, forman una partición de$\mathbb{R}$.

ejercicio$\PageIndex{6}\label{he:samedec2}$

Demostrar que la relación$\sim$ en el Ejemplo 7.3.6 es efectivamente una relación de equivalencia.

ejercicio$\PageIndex{7}\label{he:samedec3}$

Definir$\sim$ en$\mathbb{R}$ según\[x\sim y \,\Leftrightarrow\, x-y\in\mathbb{Z}. \nonumber\] Show que$\sim$ es una clase de equivalencia. Verdadero o falso:$-2.14\in[5,14]$? Explique.

Lo que hace tan importantes las relaciones de equivalencia es el siguiente Teorema Fundamental sobre Relaciones de Equivalencia.

Teorema$\PageIndex{2}\label{thm:FTequiv}$: Fundamental Theorem on Equivalence Relation

Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto no vacío$A$, el conjunto de clases de equivalencia forma una partición de$A$. Por el contrario, cualquier partición$\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ de un conjunto no vacío$A$ en un número finito de subconjuntos no vacíos induce una relación de equivalencia$\sim$ on$A$, donde$a\sim b$ si y solo si$a,b\in A_i$ para algunos$i$ (por lo tanto$a$ y$b$ pertenecen al mismo componente).

Prueba

Es claro que$A$ es la unión de las clases de equivalencia inducidas por$\sim$, por lo que queda por mostrar que estas clases de equivalencia son disjuntas por pares. Asumir$[a]\cap[b]\neq\emptyset$. Vamos$x\in [a]\cap[b]$. Entonces$x\in[a]$ y$x\in[b]$. Tener$x\in[a]$ medios$x\sim a$, e$x\in[b]$ implica eso$x\sim b$. La simetría y la transitividad lo implican$a\sim b$. El teorema 7.3.1 lo asegura$[a]=[b]$. Por lo tanto, si$[a]\neq[b]$, entonces$[a]\cap[b] = \emptyset$. Esto demuestra que las clases de equivalencia forman una partición de$A$.

Dejar$A = A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ ser una partición de$A$, definir la relación$\sim$ de$A$ acuerdo con\[x\sim y \,\Leftrightarrow\, x,y\in A_i \mbox{ for some $i$}. \nonumber\] Se deduce inmediatamente de la definición que$x\sim x$, por lo que la relación es reflexiva. También es claro que$x\sim y$ implica$y\sim x$, de ahí que la relación sea simétrica. Por último, si$x\sim y$ y$y\sim z$, entonces$x,y\in A_i$ para algunos$i$, y$y,z\in A_j$ para algunos$j$. Dado que los$A_i$ s forman una partición de$A$, el elemento$y$ no puede pertenecer a dos componentes. Esto significa$i=j$, de ahí,$x,z\in A_i$. Esto demuestra que$\sim$ es transitivo. En consecuencia,$\sim$ es una relación de equivalencia.

La idea detrás del teorema es bastante simple. Cada clase de equivalencia consta de todos los “parientes” de una misma familia, por lo que obviamente el conjunto se$A$ puede dividir en familias (clases de equivalencia). Estas familias no comparten ningún elemento común (de ahí disjuntos por pares), porque el Teorema 7.3.1 establece que cualesquiera dos clases de equivalencia que compartan algunos elementos comunes deben ser idénticas. Por lo tanto, las familias forman una partición de$A$. Por el contrario, dada una partición$\cal P$, podríamos definir una relación que relacione a todos los miembros en un mismo componente. Esta relación resulta ser una relación de equivalencia, formando cada componente una clase de equivalencia. Esta relación de equivalencia se conoce como la relación de equivalencia inducida por$\cal P$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

En el Ejemplo 7.2.4, la relación$S$ es una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia son los conjuntos de triángulos similares, que forman una partición del conjunto${\cal T}$. Esto significa que cualquier triángulo pertenece a una y sólo una clase de equivalencia. Es decir, podemos clasificar los triángulos en un plano según sus tres ángulos interiores.

La relación$P$ en el mismo ejemplo es también una relación de equivalencia. Sus clases de equivalencia son los conjuntos de líneas que son paralelas. Cada línea del avión pertenece exactamente a una clase de equivalencia. En consecuencia, podemos clasificar las líneas en un plano por sus pendientes.

Ejemplo$\PageIndex{8}\label{eg:equivrelat-06}$

Over$\mathbb{Z}^*$, definir\[R_3 = \{ (m,n) \mid m,n\in\mathbb{Z}^* \mbox{ and } mn > 0\}. \nonumber\] No es difícil verificar que$R_3$ sea una relación de equivalencia. Sólo hay dos clases de equivalencia:$[1]$ y$[-1]$, donde$[1]$ contiene todos los enteros positivos, y$[-1]$ todos los enteros negativos. Es obvio que$\mathbb{Z}^*=[1]\cup[-1]$.

Ejemplo$\PageIndex{9}\label{eg:equivrelat-07}$

Para cada uno$b\in\mathbb{R}$, defina$L_b$ que sea la línea en$\mathbb{R}^2$ (que también se llama el$xy$ -plano) con ecuación$y=2x+b$. Entonces${\cal L} =\{L_b \mid b\in \mathbb{R}\}$ es una partición de$\mathbb{R}^2$ porque dado cualquier punto en$\mathbb{R}^2$, solo hay una línea recta con pendiente 2 que puede pasar a través de ella. Tal partición induce una relación de equivalencia$\sim$ definida por\[(p,q) \sim (s,t) \Leftrightarrow \mbox{both $(p,q)$ and $(s,t)$ lie on $L_b$ for some $b$}. \nonumber\] Así,$(p,q)\sim(s,t)$ si y sólo si los dos puntos$(p,q)$ y se$(s,t)$ encuentran en la misma línea recta de pendiente 2. Esto significa$\frac{q-t}{p-s}=2$. Por lo tanto, podemos reafirmar la definición como\[(p,q) \sim (s,t) \Leftrightarrow q-t=2(p-s). \nonumber\] Por ejemplo,$(1,5)\sim (0,3)$. De hecho,$[(1,5)]$ corresponde a la línea$y=2x+3$ o$L_3$. De igual manera,$[(1,1.25)]$ corresponde a la línea$y=2x-0.75$ o$L_{-0.75}$. En general,$L_b=[(0,b)]$.

ejercicio$\PageIndex{8}\label{he:equivrelat-02}$

Considera la partición de$\mathbb{R}^2$ (el$xy$ -plano)\[\mathbb{R}^2 = \bigcup_{b\in\mathbb{R}} L_b, \nonumber\] donde$L_b$ está la línea que satisface la ecuación$y=5x+b$. Determinar la relación de equivalencia inducida por esta partición.

Hemos estudiado ampliamente la aritmética modular. En el Ejercicio 7.3.2, ya has probado el siguiente resultado.

Teorema$\PageIndex{3}$

Para cualquier entero positivo$n\geq2$, la relación congruencia módulo$n$ es una relación de equivalencia en$\mathbb{Z}$

Ahora podemos proporcionar una definición más rigurosa de$\mathbb{Z}_n$.

Definición

Dejar$n\geq2$ ser un entero. Las clases$[0], [1], \ldots, [n-1]$ de equivalencia de la relación congruencia módulo$n$ se denominan las clases de residuo módulo$n$. El conjunto\[\mathbb{Z}_n = \big\{ [0], [1], \ldots, [n-1] \big\} \nonumber\] se llama el conjunto de clases de residuo módulo$n$.

Comentario

Definimos dos operaciones$\oplus$ y$\odot$ sobre los elementos de$\mathbb{Z}_n$ según No\[[a]\oplus[b] = [a+b], \qquad\mbox{and}\qquad [a]\odot[b] = [ab]. \nonumber\] entraremos en los detalles, pero nos gustaría remarcar que$\<\mathbb{Z}_n,\oplus,\odot\>$ forma una estructura algebraica llamada anillo. En la práctica, rara vez escribimos$\mathbb{Z}_n=\big\{[0],[1],\ldots,[n-1]\big\}$ porque es demasiado engorroso. En cambio, solo escribimos$\mathbb{Z}_n = \{0,1,2,\ldots,n-1\}$. Sin embargo, con lo que realmente trabajamos$\mathbb{Z}_n$ son las clases de residuo representadas por los enteros de 0 a través$n-1$.

La matriz de incidencia de una relación de equivalencia exhibe un patrón hermoso. Por el contrario, al examinar la matriz de incidencia de una relación, podemos decir si la relación es una relación de equivalencia.

Si podemos reorganizar las filas y columnas de una matriz de incidencia para que la matriz de incidencia modificada pueda dividirse en bloques de submatrices que contengan enteramente 1s o completamente 0s, de tal manera que las submatrices 1 se encuentren en la diagonal, entonces la relación subyacente$R$ es una relación de equivalencia. Aquí está la razón. Dado que las entradas en cada 1-submatriz son todas 1s, esto significa que los elementos correspondientes están todos relacionados entre sí. Esta es la noción de transitividad. Obviamente, cada elemento está relacionado consigo mismo. Dado que las submatrices 1 se encuentran en la diagonal, la matriz, de ahí la relación, es simétrica. Esto demuestra que la relación subyacente es una relación de equivalencia. Cada clase de equivalencia consta de todos los elementos que corresponden a la fila y columnas en la misma 1-matriz.

Ejemplo$\PageIndex{10}\label{eg:equivrelat-08}$

Dejar$A=\{1,2,3,4,5\}$ y definir la relación$R_1$ on$A$ by\[R_1 = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,4), (4,4), (5,4), (5,5) \}. \nonumber\] Es claro a partir de la matriz de incidencia (agregamos líneas para hacer más sobresalientes las submatrices 0 y 1)\[\begin{array}{cc} & \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} & \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\] que$R_1$ es una relación de equivalencia y que tiene dos clases de equivalencia:$[1]=[2]=[3]=\{1,2,3\}$, y$[4]=[5]=\{4,5\}$, tal que$A=[1]\cup[4]$.

Ejemplo$\PageIndex{11}\label{eg:equivrelat-09}$

Vamos$A=\{a,b,c,d\}$. Definir la relación$R_2$ en$A$ por\[R_2 = \{(a,a), (a,c), (b,b), (b,d), (c,a), (c,c), (d,b), (d,d)\}. \nonumber\] Después de reescribir la matriz de incidencia queda\[\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} a & b & c & d \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} \qquad\leadsto\qquad \begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} a & c & b & d \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ c \\ b \\ d \end{array} & \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \nonumber\] claro que$R_2$ es una relación de equivalencia, con$[a]=[c]=\{a,c\}$, y$[b]=[d]=\{b,d\}$, tal que$A=[a]\cup[b]$.

ejercicio$\PageIndex{9}\label{he:equivrelat-03}$

Se sabe que la relación$S$ definida en el conjunto$\{1,2,3,4,5,6\}$ es\[\displaylines{ S = \{ (1,1), (1,4), (2,2), (2,5), (2,6), (3,3), \hskip1in \cr (4,1), (4,4), (5,2), (5,5), (5,6), (6,2), (6,5), (6,6) \}. \cr} \nonumber\] Mostrar que$S$ es una relación de equivalencia al estudiar su matriz de incidencia, y reescribirla si es necesario. Determinar los contenidos de sus clases de equivalencia.

Ejemplo$\PageIndex{12}\label{eg:equivrelat-10}$

Encontrar la relación de equivalencia$R$ inducida por la partición\[{\cal P} = \big\{ \{1\}, \{3\}, \{2,4,5,6\} \big\} \nonumber\] de$A=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Contestar: De las dos clases de equivalencia de 1 elemento$\{1\}$ y$\{3\}$, encontramos dos pares ordenados$(1,1)$ y a los$(3,3)$ que pertenecen$R$. A partir de la clase de equivalencia$\{2,4,5,6\}$, cualquier par de elementos produce un par ordenado al que pertenece$R$. Por lo tanto,\[\begin{aligned} R &=& \{ (1,1), (3,3), (2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (4,2), (4,4), (4,5), (4,6), \\ & & \quad (5,2), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,4), (6,5), (6,6) \}. \end{aligned} \nonumber\] alternativamente, podemos construir la matriz\[\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 2 & 4 & 5 & 6 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} & \left( \begin{array}{c|c|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \nonumber\] de incidencia a partir de la cual se$R$ pueden obtener fácilmente los pares ordenados en.

ejercicio$\PageIndex{10}\label{he:equivrelat-04}$

Encuentra la relación de equivalencia$R$ inducida por la partición\[{\cal P} = \big\{ \{a,d\}, \{b,c,g\}, \{e,f\} \big\} \nonumber\] de$A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ enumerando todos sus pares ordenados (el método roster).

Reseña resumida

Una relación$R$ sobre un conjunto$A$ es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Si$R$ es una relación de equivalencia en el conjunto$A$, sus clases de equivalencia forman una partición de$A$.
En cada clase de equivalencia, todos los elementos están relacionados y cada elemento en$A$ pertenece a una y sólo una clase de equivalencia.
La relación$R$ determina la pertenencia a cada clase de equivalencia, y cada elemento de la clase de equivalencia se puede utilizar para representar esa clase de equivalencia.
En cierto sentido, si conoces a un miembro dentro de una clase de equivalencia, también conoces todos los demás elementos de la clase de equivalencia porque todos están relacionados de acuerdo a$R$.
Por el contrario, dada una partición de$A$, podemos usarla para definir una relación de equivalencia declarando dos elementos a relacionarse si pertenecen al mismo componente en la partición.

Ejercicio$\PageIndex{1}\label{ex:equivrelat-01}$

Demostrar que cada una de las siguientes relaciones$\sim$ on$\mathbb{Z}$ es una relación de equivalencia, y encontrar sus clases de equivalencia.

$m\sim n \,\Leftrightarrow\, |m-3|=|n-3|$
$m\sim n \,\Leftrightarrow\, m+n$es parejo

Ejercicio$\PageIndex{2}\label{ex:equivrel-02}$

Demostrar que cada una de las siguientes relaciones$\sim$ on$\mathbb{Z}$ es una relación de equivalencia, y encontrar sus clases de equivalencia.

$m\sim n \,\Leftrightarrow\, 3\mid(m+2n)$
$m\sim n \,\Leftrightarrow\, 5\mid(2m+3n)$

Ejercicio$\PageIndex{3}\label{ex:equivrel-03}$

Dejar$T$ ser un subconjunto fijo de un conjunto no vacío$S$. Definir la relación$\sim$ on$\wp(S)$ por\[X\sim Y \,\Leftrightarrow\, X\cap T = Y\cap T, \nonumber\] Show que$\sim$ es una relación de equivalencia. En particular, vamos$S=\{1,2,3,4\}$ y$T=\{1,3\}$.

Verdadero o falso:$\{1,2,4\}\sim\{1,4,5\}$?
¿Qué tal$\{1,2,4\}\sim\{1,3,4\}$?
Encuentra$[\{1,5\}]$
Describa$[X]$ para cualquier$X\in\wp(S)$.

Ejercicio$\PageIndex{4}\label{ex:equivrel-04}$

Para cada una de las siguientes relaciones$\sim$ sobre$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, determinar si se trata de una relación de equivalencia. Para los que lo son, describir geométricamente la clase de equivalencia$[(a,b)]$.

$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2) \,\Leftrightarrow\, y_1-x_1^2=y_2-x_2^2$.
$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2) \,\Leftrightarrow\, (x_1-1)^2+y_1^2=(x_2-1)^2+y_2^2$

Ejercicio$\PageIndex{5}\label{ex:equivrel-05}$

$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2) \,\Leftrightarrow\, x_1+y_2=x_2+y_1$
$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2) \,\Leftrightarrow\, (x_1-x_2)(y_1-y_2)=0$

Ejercicio$\PageIndex{6}\label{ex:equivrel-06}$

$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2) \,\Leftrightarrow\, |x_1|+|y_1|=|x_2|+|y_2|$
$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2) \,\Leftrightarrow\, x_1y_1=x_2y_2$

Ejercicio$\PageIndex{7}\label{ex:equivrel-07}$

Definir la relación$\sim$ on$\mathbb{Q}$ por\[x\sim y \,\Leftrightarrow\, 2(x-y)\in\mathbb{Z}. \nonumber\] Show que$\sim$ es una relación de equivalencia. Describir las clases de equivalencia$[0]$ y$\big[\frac{1}{4}\big]$.

Ejercicio$\PageIndex{8}\label{ex:equivrel-08}$

Definir la relación$\sim$ on$\mathbb{Q}$ por\[x\sim y \,\Leftrightarrow\, \frac{x-y}{2}\in\mathbb{Z}. \nonumber\] Show que$\sim$ es una relación de equivalencia. Describir las clases de equivalencia$[0]$,$[1]$ y$\big[\frac{1}{2}\big]$.

Ejercicio$\PageIndex{9}\label{ex:equivrel-09}$

Considere la siguiente relación sobre$\{a,b,c,d,e\}$:\[\displaylines{ R = \{(a,a),(a,c),(a,e),(b,b),(b,d),(c,a),(c,c),(c,e), \cr (d,b),(d,d),(e,a),(e,c),(e,e)\}. \hskip0.7in \cr} \nonumber\] Mostrar que es una relación de equivalencia, y describir sus clases de equivalencia.

Contestar: Utilizar la representación matricial de la relación.

Ejercicio$\PageIndex{10}\label{ex:equivrel-10}$

Cada parte a continuación da una partición de$A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$. Encontrar la relación de equivalencia sobre$A$ inducida por la partición.

Contestar

$\mathcal{P}_1 = \big\{\{a,b\},\{c,d\},\{e,f\},\{g\}\big\}$
$\mathcal{P}_2 = \big\{\{a,c,e,g\},\{b,d,f\}\big\}$
$\mathcal{P}_3 = \big\{\{a,b,d,e,f\},\{c,g\}\big\}$
$\mathcal{P}_4 = \big\{\{a,b,c,d,e,f,g\}\big\}$

Ejercicio$\PageIndex{11}\label{ex:equivrel-11}$

Dejar$\sim$ ser una relación de equivalencia sobre$A$. Demostrar que si$a\sim b$, entonces$[a]=[b]$.

Ejercicio$\PageIndex{12}\label{ex:equivrel-12}$

Dejar$\sim$ ser una relación de equivalencia sobre$A$. Demostrar que si$[a]=[b]$, entonces$a\sim b$.