2.4: Corolarios del Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema de factorización único es intuitivo y fácil de usar. Es muy eficaz para demostrar un gran número de resultados. Algunos de estos resultados se pueden probar con un poco más de esfuerzo sin utilizar el teorema (ver ejercicio 2.5 para un ejemplo).

Corolario 2.15

Para todos\(a\) y\(b\) en\(\mathbb{Z}\) no ambos iguales a\(0\), tenemos eso\(\gcd(a, b) \cdot \mbox{lcm} (a, b) = ab\) hasta unidades.

Prueba

Si\(c\) es un divisor o múltiplo de\(a\), entonces así es\(-c\). Entonces\(a\) y\(-a\) tener los mismos divisores y múltiplos. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad podemos suponer eso\(a\) y\(b\) somos positivos.

Dados dos números positivos\(a\) y\(b\), dejar\(P = \{p_{i}\}^{k}_{i=1}\) ser la lista de todos los números primos que ocurren en la factorización única de\(a\) o\(b\). Entonces tenemos:

\[\begin{array}{ccc} {a = \prod_{i=1}^{s} p_{i}^{k_{i}}}&{and}&{b = \prod_{i=1}^{s} p_{i}^{l_{i}}} \end{array} \nonumber\]

dónde\(k_{i}\) y\(l_{i}\) en\(\mathbb{N} \cup \{0\}\). Ahora defina:

\[\begin{array} {ccc} {m_{i} = \mbox{ min} (k_{i},l_{i})}&{and}&{M_{i} = \mbox{ max} (k_{i},l_{i})} \end{array} \nonumber\]

y dejar que los números\(m\) y\(M\) ser dados por

\[\begin{array}{ccc} {m = \prod_{i=1}^{s} p_{i}^{m_{i}}}&{and}&{M = \prod_{i=1}^{s} p_{i}^{M_{i}}} \end{array} \nonumber\]

Ya que\(m_{i} + M_{i} = k_{i} + l_{i}\), es claro que la multiplicación\(m \cdot M\) rinde\(ab\).

Ahora todo lo que tenemos que hacer, es mostrar que es\(m\) igual\(\gcd (a,b)\) y eso\(M\) es igual\(\mbox{lcm}(a,b)\). Claramente\(m\) divide ambos\(a\) y\(b\). Por otro lado, cualquier entero mayor que\(m\) tenga una factorización única que o bien contenga un primo no en la lista\(P\) y por lo tanto no divide\(a\) ni\(b\), o, si no, al menos uno de los primos\(P\) en su factorización tiene un poder mayor que\(m_{i}\) . En el último caso no\(m\) es un divisor de al menos uno de\(a\) y\(b\). La prueba que\(M\) iguala\(\mbox{lcm} (a,b)\) es similar.

Una última pregunta que uno podría hacer, ¿cuántos primos hay? Es decir, ¿cuánto tiempo puede durar la lista de primos en una factorización? Euclides proporcionó la respuesta alrededor del 300a.C.

Teorema 2.16 (Infinito de Primes)

Hay infinitamente muchos primos.

Prueba

Supongamos que la lista\(P\) de todos los primos es finita, así que eso\(P = \{p_{i}\}^{n}_{i=1}\). Defina el entero\(d\) como el producto de todos los primos (a la potencia\(1\)):

\[d = \prod_{i=1}^{n} p_{i} \nonumber\]

Si\(d+1\) es un primo, tenemos una contradicción. Entonces\(d+1\) debe ser divisible por un prime\(p_{i}\) in\(P\). Pero entonces tenemos

\[\begin{array} {ccc} {p_{i}|d}&{and}&{p_{i}+1|d} \end{array} \nonumber\]

Pero como\((d+1)(1)+d(-1) = 1\), el lema de Bezout implica eso\(\gcd (d,d+1) = 1\), lo que contradice nuestra conclusión anterior\(p_{i} | d\)

Una de las consecuencias más conocidas del teorema fundamental de la aritmética es probablemente el teorema que sigue a continuación. Un caso especial,\(\sqrt{2}\) es decir, es irracional (ver teorema 1.11), fue conocido por Pitágoras en el siglo VI a.C.

Teorema 2.17

Dejar\(n > 0\) y\(k > 1\) ser enteros. Entonces\(n^{\frac{1}{k}}\) es un entero o irracional.

Prueba

Asumir\(n^{\frac{1}{k}}\) que es racional. Es decir: supongamos que hay enteros\(a\) y\(b\) tal que

\[n^{\frac{1}{k}} = \frac{a}{b} \Rightarrow n \cdot b^k = a^k \nonumber\]

Dividir los divisores comunes de\(a\) y\(b\), para que\(\gcd (a,b) = 1\). Luego por el teorema fundamental od aritmética:

\[n \prod_{i=1}^{s} p_{i}^{km_{i}} = \prod_{i=s+1}^{r} p_{i}^{kl_{i}} \nonumber\]

Por lo tanto, en la factorización de\(n\), cada primo\(p_{i}\) debe ocurrir con un poder que sea un múltiplo no negativo de\(k\). Porque\(\gcd (a,b) = 1\), los primos\(p_{i}\) en el lado izquierdo y derecho son distintos. Esto sólo es posible si\(\prod_{i=1}^{s} p_{i}^{km_{i}}\) es igual\(1\). Pero entonces\(n\) es el k-ésimo poder de un entero.

Lema 2.18

Tenemos

\[\forall i \in \{1,\cdots, n\} : \gcd (a_{i},b) = 1 \Leftrightarrow \gcd (\prod_{i=1}^{n} a_{i},b) = 1 \nonumber\]

Prueba

La forma más fácil de ver esto utiliza la fractorización de potencia principal. Si\(\gcd (\prod_{i=1}^{n} a_{i},b) = d > 1\), entonces\(d\) contiene un factor\(p > 1\) que es primo. Ya que\(p\) divide\(\prod_{i=1}^{n} a_{i}\), al menos uno de los\(a_{i}\) debe contener (por Corolario 2.11) un factor\(p\). Ya que\(p\) también divide\(b\), esto contradice la suposición de que\(\gcd (a_{i},b) = 1\).

Viceversa, si\(\gcd(a_{i} , b) = d > 1\) para algunos\(i\), entonces también\(\prod_{i=1}^{n} a_{i}\) es divisible por\(d\).