11: El péndulo amortiguado y conducido

El péndulo simple es la idealización matemática de un péndulo sin fricción. Consideramos ahora los efectos de la fricción así como una fuerza periódica impuesta externamente. La fuerza de fricción se modela como

\[F_{f}=-\gamma l \dot{\theta}, \nonumber \]

donde la fuerza de fricción es opuesta en signo a la velocidad, y por lo tanto se opone al movimiento. El parámetro positivo\(\gamma\) se llama coeficiente de fricción. La fuerza periódica externa se modela como

\[\nonumber F_{e}=F \cos \Omega t, \nonumber \]

donde\(F\) está la amplitud de la fuerza y\(\Omega\) es la frecuencia angular de la fuerza. Si también incluimos la fuerza gravitacional dada por\((10.1)\), la ecuación de Newton puede escribirse como

\[\ddot{\theta}+\lambda \dot{\theta}+\omega^{2} \sin \theta=f \cos \Omega t \nonumber \]

donde\(\lambda=\gamma / m, f=F / m l\), y\(\omega\) se define en (10.3). Una solución analítica de (11.1) es posible solo para pequeñas oscilaciones. De hecho, el péndulo amortiguado y accionado puede ser caótico cuando las oscilaciones son grandes.

El péndulo lineal

Péndulo amortiguado

Aquí, excluimos la fuerza externa y consideramos el péndulo amortiguado usando la aproximación de pequeña amplitud\(\sin \theta \approx \theta\). La ecuación gobernante se convierte en la ecuación diferencial lineal, de segundo orden, homogénea dada

\[\ddot{\theta}+\lambda \dot{\theta}+\omega^{2} \theta=0 \nonumber \]

que suele ser discutido en detalle en un primer curso sobre ecuaciones diferenciales.

La ecuación característica de\((11.2)\) es obtenida por el ansatz\(\theta(t)=\exp (\alpha t)\), que rinde

\[\alpha^{2}+\lambda \alpha+\omega^{2}=0 \nonumber \]

con solución

\[\alpha_{\pm}=-\frac{1}{2} \lambda \pm \frac{1}{2} \sqrt{\lambda^{2}-4 \omega^{2}} \nonumber \]

Para mayor comodidad, definimos\(\beta=\lambda / 2\) para que (11.4) se convierta

\[\alpha_{\pm}=-\beta \pm \sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}} \nonumber \]

El discriminante de\((11.5)\) es\(\beta^{2}-\omega^{2}\), y su signo determina la naturaleza de las oscilaciones amortiguadas.

El péndulo subamortiguado satisface\(\beta<\omega\), y escribimos

\[\nonumber \alpha_{\pm}=-\beta \pm i \omega_{* \prime} \nonumber \]

dónde\(\omega_{*}=\sqrt{\omega^{2}-\beta^{2}}\) y\(i=\sqrt{-1}\). En este caso, la solución general de (11.2) es una oscilación amortiguada dada por

\[\nonumber \theta(t)=e^{-\beta t}\left(A \cos \omega_{*} t+B \sin \omega_{*} t\right) . \nonumber \]

El péndulo sobreamortiguado satisface\(\beta>\omega\), y la solución general es una decadencia exponencial y viene dada por

\[\nonumber \theta(t)=c_{1} e^{\alpha_{+} t}+c_{2} e^{\alpha_{-} t} \nonumber \]

donde ambos\(\alpha_{+}\) y\(\alpha_{-}\) son negativos.

El péndulo amortiguado críticamente corresponde al caso especial cuando\(\beta=\omega\), y con\(\alpha_{+}=\alpha_{-}=\alpha<0\), la solución general viene dada por

\[\nonumber \theta(t)=\left(c_{1}+c_{2} t\right) e^{\alpha t} . \nonumber \]

Péndulo impulsado

Aquí, descuidamos la fricción pero incluimos la fuerza periódica externa. La aproximación de pequeña amplitud da como resultado la ecuación gobernante

\[\ddot{\theta}+\omega^{2} \theta=f \cos \Omega t . \nonumber \]

Una solución interesante ocurre exactamente en la resonancia, cuando la frecuencia de forzamiento externo coincide\(\Omega\) exactamente con la frecuencia\(\omega\) del oscilador no forzado. Aquí, el término no homogéneo de la ecuación diferencial es una solución de la ecuación homogénea. Con las condiciones iniciales\(\theta(0)=\theta_{0}\) y\(\theta(0)=0\), se puede determinar que la solución en resonancia es

\[\nonumber \theta(t)=\theta_{0} \cos \omega t+\frac{f}{2 \omega} t \sin \omega t \nonumber \]

que es la suma de una solución homogénea (con coeficientes determinados para satisfacer las condiciones iniciales) más la solución particular. La solución particular es una oscilación con una amplitud que aumenta linealmente con el tiempo. Eventualmente, la pequeña aproximación de amplitud utilizada para derivar (11.6) quedará inválida.

Un cálculo interesante resuelve la ecuación del péndulo en resonancia reemplazando\(\omega^{2} \theta\) en (11.6) por\(\omega^{2} \sin \theta\) -con el péndulo inicialmente en reposo en la parte inferior\(\left(\theta_{0}=0\right)\). ¿Qué sucede con la amplitud de la oscilación después de su incremento lineal inicial?

Péndulo accionado y amortiguado

Aquí, consideramos tanto la fricción como una fuerza periódica externa. La aproximación de amplitud pequeña de (11.1) viene dada por

\[\ddot{\theta}+\lambda \dot{\theta}+\omega^{2} \theta=f \cos \Omega t \nonumber \]

La solución general a\((11.7)\) se determina añadiendo una solución particular a la solución general de la ecuación homogénea. Debido a la fricción, las soluciones homogéneas se descomponen a cero dejando en tiempos largos solo la solución particular que no se descomponen. Para encontrar esta solución en particular, observamos que la compleja oda dada por

\[\ddot{z}+\lambda \dot{z}+\omega^{2} z=f e^{i \Omega t}, \nonumber \]

Con\(z=x+i y\), representa dos odas reales dadas por

\[\nonumber \ddot{x}+\lambda \dot{x}+\omega^{2} x=f \cos \Omega t, \quad \ddot{y}+\lambda \dot{y}+\omega^{2} y=f \sin \Omega t, \nonumber \]

donde la primera ecuación es la misma que (11.7). Por lo tanto, podemos resolver la oda compleja (11.8) para\(z(t)\), y luego tomar como nuestra solución\(\theta(t)=\operatorname{Re}(z) .\) Con el ansatz\(z_{p}=A e^{i \Omega t}\), tenemos desde (11.8)

\[\nonumber -\Omega^{2} A+i \lambda \Omega A+\omega^{2} A=f \nonumber \]

o resolviendo para\(A\),

\[A=\frac{f}{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)+i \lambda \Omega} \nonumber \]

El coeficiente complejo\(A\) determina tanto la amplitud como la fase de la oscilación. Primero reescribimos\(A\) multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador:

\[\nonumber A=\frac{f\left(\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)-i \lambda \Omega\right)}{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\lambda^{2} \Omega^{2}} . \nonumber \]

Ahora, usando la forma polar de un número complejo, tenemos

\[\nonumber \left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)-i \lambda \Omega=\sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\lambda^{2} \Omega^{2}} e^{i \phi}, \nonumber \]

donde\(\tan \phi=\lambda \Omega /\left(\Omega^{2}-\omega^{2}\right) .\) Por lo tanto,\(A\) puede ser reescrito como

\[\nonumber A=\frac{f e^{i \phi}}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\lambda^{2} \Omega^{2}}} \nonumber \]

Con la solución particular que nos da\(\theta(t)=\operatorname{Re}\left(A e^{i \omega t}\right)\), tenemos

\[\begin{align} \theta(t) &=\left(\frac{f}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\lambda^{2} \Omega^{2}}}\right) \operatorname{Re}\left(e^{i(\Omega t+\phi)}\right) \\ &=\left(\frac{f}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\lambda^{2} \Omega^{2}}}\right) \cos (\Omega t+\phi) \end{align} \nonumber \]

Por lo tanto, la amplitud de la oscilación del péndulo en tiempos largos viene dada por

\[\nonumber \frac{f}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\lambda^{2} \Omega^{2}}} \nonumber \]

y el desplazamiento de fase de la oscilación en relación con la fuerza periódica externa viene dado por\(\phi\).

Por ejemplo, si la frecuencia de forzamiento externo se sintoniza para que coincida con la frecuencia del oscilador no forzado\(\Omega=\omega\), es decir, entonces se obtiene directamente de\((11.9)\) eso\(A=f /(i \lambda \omega)\), de modo que la solución asintótica para\(\theta(t)\) viene dada por

\[\theta(t)=\frac{f}{\lambda \omega} \sin \omega t . \nonumber \]

Se observa que el oscilador está\(\pi / 2\) desfasado con la fuerza externa, o en otras palabras, la velocidad del oscilador, no la posición, está en fase con la fuerza.

La solución dada por (11.12) muestra que las oscilaciones de gran amplitud pueden resultar ya sea aumentando\(f\), o disminuyendo\(\lambda\) o\(\omega\). A medida que la amplitud de oscilación se vuelve grande, la aproximación de amplitud pequeña\(\sin \theta \approx \theta\) puede volverse inexacta y la verdadera solución de péndulo puede divergir de (11.12).

El péndulo no lineal

Como ya eludimos, el péndulo accionado, amortiguado, completamente no lineal, puede volverse caótico. Para estudiar (11.1) numéricamente, o para el caso cualquier otra ecuación, el número de parámetros libres debe reducirse al mínimo. Esto generalmente significa que las ecuaciones gobernantes deben ser no dimensionalizadas, y los parámetros dimensionales deben agruparse en un número mínimo de parámetros adimensionales. ¿Cuántos parámetros adimensionales habrá? La respuesta a esta pregunta se llama Teorema de Buckingham II.

El teorema de Buckingham I: Si una ecuación involucra parámetros\(n\) dimensionales que se especifican en términos de unidades\(k\) independientes, entonces la ecuación puede ser no dimensionalizada a uno que involucre parámetros\(n-k\) adimensionales.

Ahora, la ecuación de péndulo impulsado y amortiguado (11.1) contiene cuatro parámetros dimensionales,,\(\lambda\), y\(f, \omega\)\(\Omega\), y tiene una sola unidad independiente, a saber, el tiempo. Por lo tanto, esta ecuación puede ser no dimensionalizada a una ecuación con solo tres parámetros adimensionales. Es decir, no dimensionalizamos el tiempo usando uno de los parámetros dimensionales. Aquí, elegimos\(\omega\), con unidades de tiempo inverso, y escribimos

\[\nonumber \tau=\omega t \nonumber \]

donde\(\tau\) está ahora el tiempo adimensional. Por lo tanto, la ecuación de péndulo impulsado y amortiguado (11.1) no dimensionaliza a

\[\frac{d^{2} \theta}{d \tau^{2}}+\left(\frac{\lambda}{\omega}\right) \frac{d \theta}{d \tau}+\sin \theta=\left(\frac{f}{\omega^{2}}\right) \cos \left(\left(\frac{\Omega}{\omega}\right) \tau\right), \nonumber \]

y las tres agrupaciones adimensionales restantes de parámetros son evidentemente

\[\nonumber \frac{\lambda}{\omega}, \quad \frac{f}{\omega^{2}}, \quad \frac{\Omega}{\omega} \nonumber \]

Podemos dar nuevos nombres a estas tres agrupaciones adimensionales. En lugar de introducir parámetros aún más nombrados en el problema, ahora llamaré el tiempo adimensional\(t\), y reutilizaré algunos de los otros nombres de parámetros, entendiendo que la ecuación de péndulo amortiguada y conducida que ahora estudiaremos numéricamente es adimensional. Por lo tanto, estudiaremos la ecuación

\[\ddot{\theta}+\frac{1}{q} \dot{\theta}+\sin \theta=f \cos \omega t \nonumber \]

con los parámetros ahora adimensionales nombrados\(q, f\) y\(\omega\).

La ecuación (11.14) se denomina ecuación no autónoma. Para que una ecuación diferencial se llame autónoma, la variable independiente no\(t\) debe aparecer explícitamente. Es posible escribir esta ecuación diferencial no autónoma de segundo orden como un sistema de tres ecuaciones autónomas de primer orden introduciendo la variable dependiente\(\psi=\omega t\). Por lo tanto, tenemos

\[\begin{align} \nonumber \dot{\theta} &=u, \\ \dot{u} &=-\frac{1}{q} u-\sin \theta+f \cos \psi, \\ \dot{\psi} &=\omega .\nonumber \end{align} \nonumber \]

Las condiciones necesarias para que un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales admita soluciones caóticas son (1) el sistema tiene al menos tres variables dinámicas independientes, y; (2) el sistema contiene al menos un acoplamiento no lineal. Aquí, vemos que la ecuación de péndulo amortiguado, impulsado satisface estas condiciones, donde están las tres variables dinámicas independientes\(\theta, u\) y\(\psi\), y hay dos acoplamientos no lineales,\(\sin \theta\) y\(\cos \psi\), donde ya sabemos que el primer acoplamiento no lineal se requiere para soluciones caóticas.

Pero, ¿qué es exactamente el caos? Lo que estamos considerando aquí se llama caos determinista, es decir, soluciones caóticas a ecuaciones deterministas como una ecuación diferencial no estocástica. Si bien no existe una definición definitiva de caos, quizás su característica más importante es la sensibilidad de una solución a las condiciones iniciales. Un pequeño cambio en las condiciones iniciales puede conducir a una gran desviación en el comportamiento de una solución. La sensibilidad de una solución a las condiciones iniciales se ha llamado el Efecto Mariposa, donde la imagen de una mariposa apareció en el título de una charla que uno de los fundadores del campo, Edward Lorenz, dio en 1972: “¿El colgajo de las alas de una mariposa en Brasil desató un tornado en Texas?”

Podemos observar fácilmente que la aproximación de pequeña amplitud de (11.14) no puede admitir soluciones caóticas. Supongamos que consideramos dos soluciones\(\theta_{1}(t)\) y\(\theta_{2}(t)\) a las ecuaciones aproximadas, estas dos soluciones difieren sólo en sus condiciones iniciales. Por lo tanto, tenemos

\[\begin{aligned} &\ddot{\theta}_{1}+\frac{1}{q} \dot{\theta}_{1}+\theta_{1}=f \cos \omega t \\ &\ddot{\theta}_{2}+\frac{1}{q} \dot{\theta}_{2}+\theta_{2}=f \cos \omega t \end{aligned} \nonumber \]

Si definimos\(\delta=\theta_{2}-\theta_{1}\), entonces la ecuación satisfecha por\(\delta=\delta(t)\) viene dada por

\[\nonumber \ddot{\delta}+\frac{1}{q} \dot{\delta}+\delta=0 \nonumber \]

que es la ecuación del péndulo amortiguado y no accionado. Por lo tanto,\(\delta(t) \rightarrow 0\) para grandes tiempos, y la solución para\(\theta_{2}\) y\(\theta_{1}\) eventualmente convergen, a pesar de diferentes condiciones iniciales. Es decir, no hay sensibilidad a las condiciones iniciales en la solución. Sólo para grandes amplitudes donde la aproximación\(\sin \theta \approx \theta\) se vuelve inválida, son posibles soluciones caóticas.

A continuación aprenderemos algunos de los conceptos y herramientas necesarias para una exploración numérica del caos en sistemas dinámicos.