16: Función de corriente, ecuaciones de vorticidad

Función Stream

Una línea aerodinámica en el tiempo\(t\) se define como la curva cuya tangente está en todas partes paralela al vector de velocidad. Con\(d \mathbf{x}\) lo largo de la tangente, tenemos

\[\nonumber \mathbf{u} \times d \mathbf{x}=0 \nonumber \]

y con\(\mathbf{u}=(u, v, w)\) y\(d \mathbf{x}=(d x, d y, d z)\), el producto cruzado produce las tres ecuaciones

\[v d z=w d y, \quad u d z=w d x, \quad u d y=v d x \nonumber \]

o equivalentemente,

\[\frac{d x}{u}=\frac{d y}{v}=\frac{d z}{w} \nonumber \]

Las líneas de racionalización tienen las siguientes dos propiedades. No pueden cruzarse excepto en un punto de velocidad cero, y a medida que convergen las líneas de flujo, la velocidad del fluido aumenta. Esto último es consecuencia de la incompresibilidad del fluido: como el mismo caudal de fluido pasa por un área de sección transversal menor, la velocidad del fluido debe aumentar.

Relacionado con streamlines está la función stream. Nos especializamos aquí a un flujo bidimensional, con

\[\mathbf{u}=(u(x, y), v(x, y), 0) \nonumber \]

La condición de incompresibilidad se convierte en

\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 \nonumber \]

que se puede satisfacer definiendo la función de flujo escalar\(\psi=\psi(x, y)\) mediante

\[u(x, y)=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v(x, y)=-\frac{\partial \psi}{\partial x} \nonumber \]

Ahora, el diferencial de la función stream\(\psi(x, y)\) satisface

\[\begin{aligned} d \psi &=\frac{\partial \psi}{\partial x} d x+\frac{\partial \psi}{\partial y} d y \\ &=-v d x+u d y \end{aligned} \nonumber \]

que de (16.1) es igual a cero a lo largo de las líneas de racionalización. Así, las curvas de contorno de constante\(\psi\) representan las líneas de flujo del campo de flujo, y pueden proporcionar una buena visualización de un flujo de fluido en dos dimensiones.

Vorticidad

El campo de vorticidad vectorial se define a partir del campo de velocidad vectorial por

\[\omega=\nabla \times \mathbf{u} \nonumber \]

La vorticidad es una medida de la rotación local del fluido como puede verse a partir de una aplicación del teorema de Stokes:

\[\begin{aligned} \int_{S} \omega \cdot \hat{\mathbf{n}} d S &=\int_{S}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u}) \cdot \hat{\mathbf{n}} d S \\ &=\oint_{C} \mathbf{u} \cdot d \mathbf{r} . \end{aligned} \nonumber \]

Los flujos sin vorticidad se denominan irrotacionales, o flujo potencial, y la vorticidad a veces se llama remolino.

La ecuación gobernante para la vorticidad se puede encontrar tomando el rizo de la ecuación de Navier-Stokes; es decir,

\[\boldsymbol{\nabla} \times\left\{\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{u}\right\}=\boldsymbol{\nabla} \times\left\{-\frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p+v \nabla^{2} \mathbf{u}\right\} \nonumber \]

Computación término por término, tenemos

\[\begin{aligned} \nabla \times\left\{\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\right\} &=\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{u}) \\ &=\frac{\partial \omega}{\partial t} \end{aligned} \nonumber \]

Y debido a que el rizo de un gradiente es cero,

\[\boldsymbol{\nabla} \times\left\{-\frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p\right\}=0 . \nonumber \]

También,

\[\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times\left\{v \nabla^{2} \mathbf{u}\right\} &=v \nabla^{2}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u}) \\ &=v \nabla^{2} \omega \end{aligned} \nonumber \]

El término restante para calcular es el curl del término de convección en la ecuación de Navier-Stokes. Primero consideramos la siguiente igualdad (donde el subíndice\(i\) significa el\(i\) -ésimo componente del vector):

\[\begin{aligned} \{\mathbf{u} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u})\}_{i} &=\epsilon_{i j k} u_{j} \epsilon_{k l m} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{l}} \\ &=\epsilon_{k i j} \epsilon_{k l m} u_{j} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{l}} \\ &=\left(\delta_{i l} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j l}\right) u_{j} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{l}} \\ &=u_{m} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{i}}-u_{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{l}} \\ &=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x_{i}} u_{m} u_{m}-u_{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{l}} \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto, en forma de vector,

\[\mathbf{u} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u})=\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\mathbf{u}^{2}\right)-(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{u} \nonumber \]

Esta identidad nos permite escribir

\[(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{u}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\mathbf{u}^{2}\right)-\mathbf{u} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u}) \nonumber \]

Tomando el rizo de ambos lados y haciendo uso del rizo de un gradiente es igual a cero y\(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u}=\boldsymbol{\omega}\), da como resultado

\[\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times\{(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{u}\} &=-\boldsymbol{\nabla} \times(\mathbf{u} \times \omega) \\ &=\boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{u}) \end{aligned} \nonumber \]

Combinando todos los términos anteriores, hemos obtenido así la ecuación de vorticidad

\[\frac{\partial \omega}{\partial t}+\nabla \times(\omega \times \mathbf{u})=v \nabla^{2} \omega \nonumber \]

Una forma alternativa de la ecuación de vorticidad reescribe el término de convección para incluir explícitamente la derivada sustantiva. Tenemos

\[\begin{aligned} \{\boldsymbol{\nabla} \times(\omega \times \mathbf{u})\}_{i} &=\epsilon_{i j k} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \epsilon_{k l m} \omega_{l} u_{m} \\ &=\epsilon_{k i j} \epsilon_{k l m} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\omega_{l} u_{m}\right) \\ &=\left(\delta_{i l} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\omega_{l} u_{m}\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x_{m}}\left(\omega_{i} u_{m}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{l}}\left(\omega_{l} u_{i}\right) \\ &=u_{m} \frac{\partial w_{i}}{\partial x_{m}}-\omega_{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{l}} \end{aligned} \nonumber \]

donde para obtener la última igualdad hemos utilizado ambos\(\partial u_{m} / \partial x_{m}=0\) y\(\partial \omega_{l} / \partial x_{l}=0 .\) Por lo tanto, en forma vectorial,

\[\nabla \times(\omega \times \mathbf{u})=(\mathbf{u} \cdot \nabla) \omega-(\omega \cdot \nabla) \mathbf{u} \nonumber \]

La ecuación de vorticidad puede entonces ser reescrita como

\[\frac{\partial \omega}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \omega=(\omega \cdot \nabla) \mathbf{u}+v \nabla^{2} \omega \nonumber \]

En comparación con la ecuación de Navier-Stokes, hay un término extra, llamado término de estiramiento de vórtice, en el lado derecho de (16.13).

Ecuación bidimensional de Navier-Stokes

Ya hemos visto que en dos dimensiones, la condición de incompresibilidad se satisface automáticamente definiendo la función stream\(\psi(\mathbf{x}, t)\). También en dos dimensiones, la vorticidad puede reducirse a un campo escalar. Con\(\mathbf{u}=(u(x, y), v(x, y))\), tenemos

\[\begin{aligned} \omega &=\nabla \times \mathbf{u} \\ &=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ u(x, y) & v(x, y) & 0 \end{array}\right| \\ &=\hat{\mathbf{z}}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \\ &=\omega(x, y) \hat{\mathbf{z}}, \end{aligned} \nonumber \]

donde ahora hemos definido el campo\(\omega\) escalar como el tercer componente del campo de vorticidad vectorial. Haciendo uso de la función stream, entonces tenemos

\[\begin{aligned} \omega &=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \\ &=-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{2}} \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto, en forma vectorial, tenemos

\[\nabla^{2} \psi=-\omega \nonumber \]

donde

\[\nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \nonumber \]

es el laplaciano bidimensional.

Ahora, con\(\omega=\omega(x, y) \hat{\mathbf{z}}\), el tercer componente de la ecuación de vorticidad (16.13) se convierte en

\[\frac{\partial \omega}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \omega=v \nabla^{2} \omega \nonumber \]

donde se puede ver que el término de estiramiento de vórtice se desvanece. También podemos escribir

\[\begin{aligned} \mathbf{u} \cdot \nabla &=u \frac{\partial}{\partial x}+v \frac{\partial}{\partial y} \\ &=\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \end{aligned} \nonumber \]

La ecuación de vorticidad en dos dimensiones se convierte entonces

\[\frac{\partial \omega}{\partial t}+\left(\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \omega}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \omega}{\partial y}\right)=v \nabla^{2} \omega \nonumber \]

Para un flujo estacionario, esta ecuación se convierte en la ecuación de Poisson,

\[\nabla^{2} \omega=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \omega}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \omega}{\partial y}\right) \nonumber \]

Hemos obtenido así para un flujo estacionario dos ecuaciones de Poisson acopladas para\(\psi(x, y)\) y\(\omega(x, y)\) dadas por\((16.14)\) y\((16.18)\).