3.3: ¿Qué podemos aprender?

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Hay varias cosas importantes que puedes aprender de las visualizaciones del espacio de fase. Primero, se puede decir por el espacio de fases lo que eventualmente sucederá con el estado de un sistema a largo plazo. Para un sistema dinámico determinista, su estado futuro está determinado de manera única por su estado actual (de ahí, el nombre “determinista”). Las trayectorias de un sistema dinámico determinista nunca se ramificarán en su espacio de fases (aunque podrían fusionarse), porque si lo hicieran, eso significaría que serían posibles múltiples estados futuros, lo que violaría la naturaleza determinista del sistema. Sin ramificación significa que, una vez que se especifica un estado inicial del sistema, la trayectoria que sigue también se determina de manera única. Puede inspeccionar visualmente hacia dónde van las trayectorias en la visualización del espacio de fase. Pueden divergir hasta el infinito, converger hasta cierto punto, o permanecer dinámicamente cambiando pero permaneciendo en una región confinada en el espacio de fase del cual no se están agotando trayectorias salientes. Tal punto o región convergente se llama atractor. El concepto de atractores es particularmente importante para comprender la autoorganización de sistemas complejos. Incluso si puede parecer mágico y misterioso, la autoorganización de sistemas complejos puede entenderse como un proceso por el cual el sistema simplemente está cayendo en uno de los atractores en un espacio de fase de alta dimensión.

Segundo, se puede aprender cómo el destino de un sistema depende de su estado inicial. Para cada atractor, puedes encontrar el conjunto de todos los estados iniciales de los que eventualmente terminarás cayendo en ese atractor. A este conjunto se le llama la cuenca de atracción de ese atractor. Si tienes más de un atractor en el espacio de fase (y/o si el espacio de fase también muestra divergencia hasta el infinito), puedes dividir el espacio de fase en varias regiones diferentes. Tal “mapa” dibujado en el espacio de fases revela cuán sensible es el sistema a sus condiciones iniciales. Si una región domina en el espacio de fases, el destino del sistema no depende mucho de su condición inicial. Pero si hay varias regiones que están igualmente representadas en el espacio de fases, el destino del sistema depende sensiblemente de su condición inicial.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Dónde están los atractores en el espacio de fase de la pelota que rebota ejemplo creado en el Ejercicio 3.2.1? Supongamos que cada vez que la pelota rebota pierde un poco de su energía cinética.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Por cada atractor obtenido en Ejercicio$\PageIndex{1}$ anterior, identificar su cuenca de atracción.

Otra cosa que puedes aprender de las visualizaciones del espacio de fase es la estabilidad de los estados del sistema. Si ves que las trayectorias están convergiendo a un cierto punto o área en el espacio de fase, eso significa que el estado del sistema es estable en esa área. Pero si ves que las trayectorias divergen desde cierto punto o área, eso significa que el estado del sistema es inestable en esa área. Conocer la estabilidad del sistema a menudo es extremadamente importante para comprender, diseñar y/o controlar sistemas en aplicaciones del mundo real. En los capítulos siguientes se pondrá especial énfasis en este tema de estabilidad.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Para cada uno de los espacios de fase que se muestran a continuación, identifique lo siguiente:

atractor (es)
cuenca de atracción para cada atractor
estabilidad del estado del sistema en varias ubicaciones en el espacio de fase

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Ejercicio$\PageIndex{3}$

Considera un mercado donde dos productos igualmente buenos, A y B, compiten entre sí por la participación de mercado. Existe un sitio web de reseñas de clientes donde los usuarios de cada producto envían sus calificaciones. Dado que no hay diferencia real en la calidad del producto, los puntajes promedio de calificación son aproximadamente los mismos entre los dos productos, pero los clientes también pueden ver el número total de calificaciones enviadas para cada producto, lo que muestra cuán popular es el producto en el mercado. Los clientes tienden a adoptar una opción más popular. Responde las siguientes preguntas:

¿Cómo sería el espacio de fase de este sistema?
¿Hay atractores? ¿Hay cuencas de atracción?
¿Cómo depende el destino del sistema de su estado inicial?
Si estuvieras a cargo de comercializar el producto A, ¿qué harías?

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)