5.1: Encontrar puntos de equilibrio

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Cuando se analiza un sistema dinámico autónomo de primer orden en tiempo discreto (también conocido como mapa iterativo)

\[x_{t}=F(x_{t-1}).\label{(5.1)} \]

una de las primeras cosas que debes hacer es encontrar sus puntos de equilibrio (también llamados puntos fijos o estados estables), es decir, estados donde el sistema puede permanecer sin cambios a lo largo del tiempo. Los puntos de equilibrio son importantes tanto por razones teóricas como prácticas. Teóricamente, son puntos clave en el espacio de fases del sistema, que sirven como referencias significativas cuando entendemos la estructura del espacio de fases. Y prácticamente, hay muchas situaciones en las que queremos sostener el sistema en un determinado estado que es deseable para nosotros. En tales casos, es muy importante saber si el estado deseado es un punto de equilibrio, y si lo es, si es estable o inestable. Para encontrar puntos de equilibrio de un sistema, puedes sustituir todos los\(x\)'s en la ecuación por una constante\(x_{eq}\) (ya sea escalar o vector) para obtener

\[x_{eq} =F(x_{eq}).\label{(5.2)} \]

y luego resolver esta ecuación con respecto a\(x_{eq}\). Si tienes más de una variable de estado, deberías hacer lo mismo para todas ellas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Por ejemplo, aquí te explicamos cómo puedes encontrar los puntos de equilibrio del modelo de crecimiento logístico:

\[x_{t} =x_{t-1} +rx_{t-1}\left(1-\frac{x_{t-1}}{K}\right)\label{(5.3)} \]

Solución

Sustituyendo todos los\(x\)'s con\(x_{eq}\) en la Ecuación\ ref {(5.3)}, obtenemos lo siguiente:

\[x_{eq} &=x_{eq} + rx_{eq} (1-\frac{x_{eq}}{K} ) \label{(5.4)} \]

\[0 &=rx_{eq}(1-\frac{x_{eq}}{K} \label{(5.5)} \]

\[ x_{eq} &=0, \qquad{ K }\label{(5.6)} \]

El resultado muestra que la población no cambiará si no hay organismos\((x_{eq} = 0)\) o si el tamaño de la población alcanza la capacidad de carga del ambiente\((x_{eq} = K)\). Ambos tienen perfecto sentido.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Obtener el (los) punto (s) de equilibrio de la siguiente ecuación de diferencia:

\[x_{t} = 2x_{t-1} -x^{2}_{t-1}\label{(5.7)} \]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Obtener el (los) punto (s) de equilibrio del siguiente modelo de ecuación de diferencia bidimensional:

\[x_{t}=x_{t-1}y_{t-1}\label{(5.8)} \]

\[y_{t} =y_{t-1}(x_{t-1}-1)\label{(5.9)} \]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Obtener el (los) punto (s) de equilibrio de la siguiente ecuación de diferencia:

\[x_{t} =x_{t-1} -x^{2}_{t-2} +1\label{(5.10)} \]

Tenga en cuenta que esta es una ecuación de diferencia de segundo orden, por lo que primero deberá convertirla en una forma de primer orden y luego encontrar el (los) punto (s) de equilibrio.