5: Modelos de Tiempo Discreto II - Análisis

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 115772

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

5.1: Encontrar puntos de equilibrio
Cuando analizas un sistema dinámico autónomo de tiempo discreto de primer orden (también conocido como mapa iterativo), una de las primeras cosas que debes hacer es encontrar sus puntos de equilibrio (también llamados puntos fijos o estados estables), es decir, estados donde el sistema puede permanecer sin cambios a lo largo del tiempo.
5.2:5.2 Visualización del espacio de fase de modelos de tiempo discreto de estado continuo
Una vez que descubras dónde están los puntos de equilibrio del sistema, el siguiente paso natural del análisis sería dibujar la imagen completa de su espacio de fase (si el sistema es bidimensional o tridimensional).
5.3:5.3 Parcelas de telaraña para mapas iterativos unidimensionales
Una forma posible de resolver el espacio de fase superpoblado de un sistema de tiempo discreto es crear dos espacios de fase, uno para el tiempo t−1 y otro para t, y luego dibujar trayectorias del estado del sistema en un espacio metafásico que se obtiene colocando esos dos espacios de fase ortogonalmente entre sí. De esta manera, potencialmente desenredarías las trayectorias enredadas para hacerlas visualmente comprensibles.
5.4:5.4 Visualización del espacio de fase basada en gráficos del modelo de tiempo discreto de estado discreto
El enfoque de la trama telaraña discutido anteriormente funciona solo para sistemas unidimensionales, ya que no podemos incrustar tales parcelas para ningún sistema de dimensiones superiores en un espacio físico tridimensional. Sin embargo, esta restricción dimensional desaparece si los estados del sistema son discretos y finitos. Para un sistema de este tipo, siempre puede enumerar todas las transiciones de estado posibles y crear todo el espacio de fase del sistema como un gráfico de transición de estado, que se puede visualizar razonablemente bien incluso dentro de un espacio de visualización 2-D.
5.5: Reescalado Variable de Modelos de Tiempo Discreto
La reescalación variable es una técnica para eliminar parámetros de tu modelo sin perder generalidad. La idea básica es esta: Las variables que aparecen en tu modelo representan cantidades que se miden en algún tipo de unidades, pero esas unidades pueden elegirse arbitrariamente sin cambiar la dinámica del sistema que se está modelando. Esto debe ser cierto para todas las cantidades científicas que tienen dimensiones físicas: ¡cambiar de pulgadas a centímetros no debería causar ningún cambio en la forma en que funciona la física!
5.6: Comportamiento asintótico de sistemas dinámicos lineales de tiempo discreto
Uno de los principales objetivos del modelado basado en reglas es hacer predicciones del futuro. Entonces, es una pregunta natural preguntarse a dónde irá eventualmente el sistema a largo plazo (inﬁnite). A esto se le llama el comportamiento asintótico del sistema cuando se lleva el tiempo a la inﬁnidad, lo que resulta ser completamente predecible si el sistema es lineal.
5.7:5.7 Análisis de Estabilidad Lineal de Sistemas Dinámicos No Lineales de Tiempo Discreto
Todas las discusiones anteriores sobre valores propios y vectores propios son para sistemas dinámicos lineales. ¿Podemos aplicar la misma metodología para estudiar el comportamiento asintótico de sistemas no lineales? Desafortunadamente, la respuesta es un deprimente no. Los comportamientos asintóticos de los sistemas no lineales pueden ser muy complejos, y no existe una metodología general para analizarlos y predecirlos sistemáticamente. Volveremos a examinar este número más adelante.