5.3:5.3 Parcelas de telaraña para mapas iterativos unidimensionales

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Una forma posible de resolver el espacio de fase superpoblado de un sistema de tiempo discreto es crear dos espacios de fase, uno para el tiempo$t−1$ y otro para$t$, y luego dibujar trayectorias del estado del sistema en un espacio metafásico que se obtiene colocando esos dos espacios de fase ortogonalmente entre sí. De esta manera, potencialmente desenredarías las trayectorias enredadas para hacerlas visualmente comprensibles.

Sin embargo, esta idea aparentemente brillante tiene un problema fundamental. Funciona solo para sistemas unidimensionales, porque los sistemas bidimensionales o superiores requieren fouror más dimensiones para visualizar el espacio metafásico, que no se puede visualizar en el mundo físico tridimensional en el que estamos confinados.

Esta idea de espacio metafásico sigue siendo efectiva y poderosa para visualizar la dinámica de mapas iterativos unidimensionales. La visualización resultante se denomina gráfica de telaraña, que juega un papel importante como herramienta analítica intuitiva para comprender la dinámica no lineal de los sistemas unidimensionales.

Aquí se explica cómo dibujar manualmente una trama telaraña de un mapa iterativo unidimensional,$x_{t} = f(x_{t−1})$, con el rango de$x_{t}$ ser$[x_{min},x_{max}]$. Consigue un trozo de papel y un bolígrafo, y haz lo siguiente:

1. Dibuja un cuadrado en tu papel. Etiquete el borde inferior como eje para$x_{t−1}$, y el borde izquierdo como eje para$x_{t}$. Etiquetar el rango de sus valores en los ejes (Fig. 5.3.1).

Fig. 5.4.PNG — Figura$\PageIndex{1}$: Dibujo de una parcela de telaraña (1).

2. Dibuja una curva$x_{t} = f(x_{t−1})$ y una línea diagonal$x_{t} = x_{t−1}$ dentro del cuadrado (Fig. 5.3.2). Tenga en cuenta que los puntos de equilibrio del sistema aparecen en esta gráfica como los puntos donde se cruzan la curva y la línea.

3. Dibujar una trayectoria de$x_{t−1}$ a$x_{t}$. Esto se puede hacer usando la curva$x_{t} = f(x_{t−1)}$ (Fig. 5.3.3). Comience desde un valor de estado actual en el eje inferior (inicialmente, este es el valor inicial$x_{0}$, como se muestra en la Fig. 5.3.3), y muévase verticalmente hasta llegar a la curva. Después cambia la dirección del movimiento a horizontal y llega al eje izquierdo. Terminas en el siguiente valor del estado del sistema ($x_{1}$en la Fig. 5.3.3). Las dos flechas rojas que conectan los dos ejes representan la trayectoria entre los dos puntos de tiempo consecutivos.

4. Refleja el nuevo valor de estado de nuevo sobre el eje horizontal. Esto se puede hacer como una simple reflexión de espejo usando la línea diagonal (Fig. 5.3.4). Esto completa un paso de la “simulación manual” en la trama de telaraña.

Fig. 5.5.PNG — Figura$\PageIndex{2}$: Dibujo de una parcela de telaraña (2).

5. Repita los pasos anteriores para ver a dónde va eventualmente el sistema (Fig. 5.3.5).
6. Una vez que te acostumbres a este proceso, notarás que realmente no tienes que tocar ninguno de los ejes. Todo lo que necesitas hacer para dibujar una gráfica de telaraña es rebotar de un lado a otro entre la curva y la línea (Fig. 5.3.6) —moverte verticalmente a la curva, horizontalmente a la línea, y repetir.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dibuja una parcela de telaraña para cada uno de los siguientes modelos:

\[x_{t} = x_{t-1} +0.1, x_{0}=0.1 \nonumber \]
\[x_{t} =1.1x_{t-1}, x_{0}=0.1 \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dibuje una gráfica telaraña del siguiente modelo de crecimiento logístico con$r = 1$,$K=1$,$N_{0} =0.1$:

\[N_{t} =N_{t-1} +rN_{t-1}(1-\frac{N_{t-1}}{K})\label{ (5.17)} \]

Fig. 5.6.PNG — Figura$\PageIndex{3}$: Dibujo de una parcela de telaraña (3).

Las gráficas telaraña también se pueden dibujar usando Python. El código 5.4 es un ejemplo de cómo dibujar una trama telaraña del modelo de crecimiento exponencial (Código 4.9). Su salida se da en la Fig. 5.4.1.

$código 5.4.png$