6.1: Modelos de Tiempo Continuo con Ecuaciones Diferenciales

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Los modelos de tiempo continuo se escriben en d ecuaciones diferenciales. Probablemente son más convencionales en la ciencia y la ingeniería, y estudiados más extensamente, que los modelos discretos de tiempo, porque diversos fenómenos naturales (por ejemplo, movimiento de objetos, flujo de corriente eléctrica) tienen lugar sin problemas a lo largo del tiempo continuo. Una formulación matemática general de un modelo de tiempo continuo de primer orden viene dada por esto:

\[\frac{dx}{dt} =F(x,t)\label{(6.1)} \]

Al igual que en los modelos de tiempo discreto, x es el estado de un sistema (que puede ser una variable escalar o vectorial). El lado izquierdo es la derivada del tiempo de\(x\), que se define formalmente como

\[\frac{dx}{dt} =\lim_{\delta{t}\rightarrow{0}}\frac{x(t+\delta{t}) -x(t)}{\delta{t}}. \label{(6.2)} \]

La integración de un modelo de tiempo continuo\(t\) da una trayectoria del estado del sistema a lo largo del tiempo. Si bien la integración podría realizarse algebraicamente en algunos casos, la simulación computacional (= integración numérica) siempre es posible en general y a menudo se usa como medio principal para estudiar estos modelos. Una suposición fundamental hecha en los modelos de tiempo continuo es que las trayectorias del estado del sistema son suaves en todas partes del espacio de fase, es decir, el límite en la definición anterior siempre converge a un valor bien definido. Por lo tanto, los modelos de tiempo continuo no muestran cambios bruscos instantáneos, lo que podría ocurrir en modelos de tiempo discreto.