6.2: Clasificaciones de la ecuación modelo

Las distinciones entre sistemas lineales y no lineales, así como sistemas autónomos y no autónomos, que discutimos en la Sección 4.2, todavía se aplican a los modelos de tiempo continuo. Pero la distinción entre sistemas de primer orden y de orden superior es ligeramente diferente, de la siguiente manera.

Sistema de primer orden

Una ecuación diferencial que involucra derivadas de primer orden de variables de estado (\(\dfrac{dx}{ dt})\)solamente.

Sistema de orden superior

Ecuación diferencial que involucra derivadas de orden superior de variables de estado (\(\dfrac{d^{2}x} {dt^{2}}\)\(\dfrac{d^{3}x} {dt^{3}}\),, etc.).

Por suerte, lo siguiente sigue siendo el caso de los modelos de tiempo continuo también:

modelos de tiempo continuo

Las ecuaciones diferenciales no autónomas de orden superior siempre se pueden convertir en formas autónomas de primer orden introduciendo variables de estado adicionales.

Aquí hay un ejemplo:

\[\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}} =-\dfrac{g}{L}\sin\theta \label{(6.3)} \]

Esta ecuación describe el movimiento oscilante de un péndulo simple, que podrías haber visto en un curso de introducción a la física. \(θ\)es la posición angular del péndulo,\(g\) es la aceleración gravitacional, y\(L\) es la longitud de la cuerda que ata el peso al pivote. Esta ecuación es obviamente no lineal y de segundo orden. Si bien no podemos eliminar la no linealidad del modelo, podemos convertir la ecuación a una forma de primer orden, introduciendo la siguiente variable adicional:

\[\omega =\dfrac{d\theta}{dt}\label{(6.4)} \]

Usando esto, el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {(6.3)} se puede escribir como\(\dfrac{d\omega}{dt}\), y por lo tanto, la ecuación se puede convertir en la siguiente forma de primer orden:

\[\dfrac{d\theta}{dt}=\omega\label{(6.5)} \]

\[\dfrac{d\omega}{dt}=-\dfrac{g}{L}\sin\theta\label{(6.6)} \]

Esta técnica de conversión también funciona para ecuaciones de tercer orden o de orden superior, siempre y cuando el orden más alto permanezca finito. Aquí hay otro ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): driven pendulum

Consideremos la ecuación no autónoma:

\[\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = -\dfrac{g}{L}\sin\theta+k\sin(2\pi{ft}+\phi)\label{6.7} \]

Esta es una ecuación diferencial del comportamiento de un péndulo impulsado. El segundo término en el lado derecho representa una fuerza periódicamente variable aplicada al péndulo por, por ejemplo, un electroimán controlado externamente incrustado en el suelo. Como discutimos anteriormente, esta ecuación se puede convertir a la siguiente forma de primer orden:

\[\begin{align*} \dfrac{d\theta}{dt} &=\omega\label{(6.8)} \\[4pt]\dfrac{d\omega}{dt} &=-\dfrac{g}{L} \sin \theta +k \sin (2\pi f t +\phi)\label{(6.9)} \end{align*} \]

Ahora necesitamos eliminar\(t\) dentro de la\(\sin\) función. Al igual que hicimos para los casos de tiempo discreto, podemos introducir una variable de “reloj”, digamos\(τ\), de la siguiente manera:

\[\dfrac{d\tau}{dt} =1, \ \tau(0) =0\label{(6.10)} \]

Esta definición garantiza\(τ(t) = t\). Usando esto, el modelo completo se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin{align*} \dfrac{d\theta}{dt} &=\omega \label{(6.11)} \\[4pt] \dfrac{d\omega}{dt} &=-\dfrac{g}{L}\sin\theta +k\sin(2\pi{f\tau} +\phi) \label{(6.12)} \\[4pt] \dfrac{d\tau}{dt} &=1, \tau(0) =0 \label{(6.13)} \end{align*} \]

Esto ahora está hecho de ecuaciones diferenciales solo autónomas de primer orden.

Esta técnica de conversión siempre funciona, asegurándonos que las ecuaciones autónomas de primer orden pueden cubrir todas las dinámicas de cualquier ecuación no autónoma, de orden superior.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Convierta la siguiente ecuación diferencial en forma de primer orden.

\[\dfrac{d^{2}}{dt^{2}}-x\dfrac{dx}{dt} +x^{2}=0 \label{(6.14)} \]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Convertir la siguiente ecuación diferencial en una forma autónoma de primer orden.

\[\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} -a\cos{bt}=0 \label{(6.15)} \]

Para su información, los siguientes hechos también son aplicables a las ecuaciones diferenciales, así como a las ecuaciones de diferencia:

Los sistemas dinámicos lineales pueden mostrar solo crecimiento/decaimiento exponencial, oscilación periódica, estados estacionarios (sin cambio), o sus híbridos (por ejemplo, oscilación exponencialmente creciente) ^a.

^a veces también pueden mostrar comportamientos que están representados por polinomios (o productos de polinomios y exponenciales) del tiempo. Esto ocurre cuando sus matrices de coeficientes no son diagonalizables.

Las ecuaciones lineales son siempre analíticamente solucionables, mientras que las ecuaciones no lineales no tienen soluciones analíticas en general.