7.1: Encontrar puntos de equilibrio
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Encontrar puntos de equilibrio de un modelo de tiempo continuo se\(\frac{dx}{dt} = G(x)\) puede hacer de la misma manera que para un modelo de tiempo discreto, es decir, reemplazando todos con\(x\)\(x_{eq}\)'s (nuevamente, tenga en cuenta que estos podrían ser vectores). Esto en realidad hace que el lado izquierdo sea cero, porque ya no\(x_{eq}\) es una variable dinámica sino solo una constante estática. Por lo tanto, las cosas se limitan a resolver la siguiente ecuación
\[0=G(x_{eq}) \nonumber \]
con respecto a\(x_{eq}\). Por ejemplo, considere el siguiente modelo de crecimiento logístico:
\[\frac{dx}{dt} =rx \left(1-\dfrac{x}{K} \right) \label{7.1} \]
Sustituyendo todos los\(x\)\(x_{eq}\)'s con's, obtenemos
\[0 =rx_{eq} \left(1-\dfrac{x}{K} \right) \label{7.3} \]
\[x_{eq} =0, K \label{7.4} \]
Resulta que el resultado es el mismo que el de su contraparte de tiempo discreto (ver Ec. (5.1.6)).
Encuentra los puntos de equilibrio del siguiente modelo:
\[\frac{dx}{dt} =x^{2} -rx +1 \label{7.5} \]
Encuentra los puntos de equilibrio del siguiente modelo de un péndulo simple:
\[\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} = -\frac{g}{L} \sin{\theta} \nonumber \]
El siguiente modelo se denomina modelo Susceptible-Infected-Recuperado (SIR), un modelo matemático de dinámica epidemiológica. \(S\)es el número de individuos susceptibles,\(I\) es el número de infectados, y\(R\) es el número de individuos recuperados. Encuentra los puntos de equilibrio de este modelo.
\[ \begin{align} \frac{dS}{dt} &= -aSI \label{7.7} \\[4pt] \frac{dI}{dt} &= aSI -bI \label{7.8} \\[4pt] \frac{dR}{dt} &=bI \label{7.9} \end{align} \]