9.1: Caos en modelos de tiempo discreto

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La Figura 8.4.3 mostró una cascada de bifurcaciones de duplicación de períodos, con los intervalos entre umbrales de bifurcación consecutivos cada vez más cortos geométricamente a medida que r aumentaba. Esta cascada de duplicación de períodos eventualmente conduce a la divergencia del período hasta el infinito\(r ≈ 1.7\) en este caso, lo que indica el inicio del caos. En este misterioso régimen de parámetros, el sistema pierde cualquier periodicidad de longitud finita, y su comportamiento parece esencialmente aleatorio. La Figura 9.1.1 muestra un ejemplo de tal comportamiento caótico de la Ec. (8.4.3) con\(r = 1.8\).

Entonces ¿qué es el caos de todos modos? Se puede describir de varias maneras diferentes, de la siguiente manera:

Propiedades de Chaos

El caos es un comportamiento a largo plazo de un sistema dinámico no lineal que nunca cae en ninguna trayectoria estática o periódica.
El caos parece una fluctuación aleatoria, pero todavía ocurre en sistemas dinámicos simples y completamente deterministas.
El caos exhibe sensibilidad a las condiciones iniciales.
El caos ocurre cuando el periodo de la trayectoria del estado del sistema diverge hasta el infinito.
El caos ocurre cuando no hay trayectorias periódicas estables.

Fig. 9.1.PNG — Figura\(\PageIndex{1}\): Ejemplo de comportamiento caótico, generado usando la Ec. (8.4.3) con\(r\) = 1.8 *y la condición inicial\* (x_0\) = 0.1.

El caos es un fenómeno prevalente que se puede encontrar en todas partes de la naturaleza, así como en entornos sociales y de ingeniería.

La sensibilidad de los sistemas caóticos a las condiciones iniciales es particularmente conocida bajo el nombre del “efecto mariposa”, que es una ilustración metafórica de la naturaleza caótica del sistema meteorológico en el que “una flama de alas de una mariposa en Brasil podría desencadenar un tornado en Texas”. El significado de esta expresión es que, en un sistema caótico, una pequeña perturbación podría eventualmente causar diferencias a gran escala a largo plazo. La Figura 9.1.2 muestra dos ejecuciones de simulación de la Ec. (8.4.3) con\(r = 1.8\) y dos condiciones iniciales ligeramente diferentes,\(x_0 = 0.1\) y\(x_0 = 0.100001\). Las dos simulaciones son bastante similares para los primeros pasos, porque el sistema es completamente determinista (es por eso que los pronósticos meteorológicos para solo unos días funcionan bastante bien). Pero la “flapa de las alas de la mariposa” (la diferencia de 0.000001) crece eventualmente tan grande que separa el destino a largo plazo de las dos ejecuciones de simulación. Tal sensibilidad extrema de los sistemas caóticos nos hace prácticamente imposible predecir exactamente sus comportamientos a largo plazo (por eso no hay pronósticos meteorológicos a dos meses ¹).

Fig. 9.2.PNG — Figura\(\PageIndex{2}\)*: Ejemplo del “efecto de mantequilla”, la sensibilidad extrema de los sistemas caóticos a las condiciones iniciales. Las dos curvas muestran series de tiempo generadas usando la Ec. (8.4.3) con*\(r\) = 1.8; uno con\(x_0\) = 0.1 *y el otro con\(x_0\)* *= 0.100001.*

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Hay muchos modelos matemáticos simples que exhiben un comportamiento caótico. Intente simular cada uno de los siguientes sistemas dinámicos (mostrados en la Fig. 9.1.3). Si es necesario, explore y encuentre los valores de los parámetros con los que el sistema muestra comportamientos caóticos.

Mapa logístico:\(x_t = rx_{t−1}(1−x_{t−1})\)
Mapa cúbico:\(x_t = x^{3}_{ t−1} −rx_{t−1}\)
Mapa de sinusoides:\(x_t = rsinx_{t−1}\)
Mapa de sierra: parte\(x_t =\) fraccionaria de\(2x_{t−1}\)

Nota: Es posible que el mapa de sierra no muestre caos si se simula en una computadora, pero mostrará el caos si se simula manualmente en una trama de telaraña. Este tema se discutirá más adelante.

Fig. 9.3.PNG — Figura\(\PageIndex{3}\)*: Mapas simples que muestran un comportamiento caótico (para el Ejercicio 9.1.1).*

¹ Pero esto no significa necesariamente que no podamos predecir el cambio climático en escalas de tiempo más largas. Lo que no es posible con un sistema caótico es la predicción del comportamiento exacto a largo plazo, por ejemplo, cuándo, dónde y cuánto lloverá en los próximos 12 meses. Sin embargo, es posible modelar y predecir cambios a largo plazo de las propiedades estadísticas de un sistema, por ejemplo, la temperatura promedio del clima global, porque puede describirse bien en un modelo mucho más simple, no caótico. ¡No debemos usar el caos como excusa para evitar hacer predicciones para nuestro futuro!