9.2: Características del Caos

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Es útil darse cuenta de que hay dos procesos dinámicos que siempre ocurren en cualquier tipo de sistemas caóticos: el estiramiento y el plegado [33]. Cualquier sistema caótico tiene un mecanismo dinámico para estirar, y luego doblar, su espacio de fase, como amasar la masa de pastelería (Figura\(\PageIndex{1}\)). Imagina que estás haciendo un seguimiento de la ubicación de un grano específico de flor en la masa mientras un chef pastelero amasa la masa durante un largo período de tiempo. Estirar la masa aumenta las diminutas diferencias de posición en escalas microscópicas a una más grande y visible, mientras que plegar la masa siempre mantiene su extensión dentro de un tamaño finito y confinado. Tenga en cuenta que el plegado es la principal fuente de no linealidad que hace que las predicciones a largo plazo sean tan duras; si el chef simplemente estuviera estirando la masa todo el tiempo (lo que se vería más como hacer ramen), aún tendría una idea bastante buena sobre dónde estaría su grano de flor favorito después del estiramiento. terminado. Esta visión de estiramiento y plegado nos permite hacer otra interpretación del caos:

Espacio de fase de estiramiento y plegado

El caos puede entenderse como un proceso dinámico en el que la información microscópica oculta en los detalles del estado de un sistema es excavada y expandida a una escala macroscópicamente visible (estiramiento), mientras que la información macroscópica visible en el estado actual del sistema se descarta continuamente ( plegable).

24 de Jul de 2018, 8:45 PM

http://beyondmicrofoundations.blogsp...2012-csss.html

https://elmer.unibas.ch/pendulum/lab.htm

Figura\(\PageIndex{1}\): Ilustración esquemática de strechting y plegado ocurriendo en un mapa iterativo caótico. El espacio de fase actual (derecha) se estira primero (medio derecho) y luego se pliega (medio izquierdo e izquierdo) para generar los siguientes espectros de fase en cada iteración.

Este tipo de explicación del caos basada en el flujo de información es bastante útil para comprender la esencia del caos desde una perspectiva multiescala. Esto es particularmente claro cuando se considera el mapa sierra discutido en el ejercicio anterior:

\[x_{t}= \text{fractional part of } 2x_{t-1} \label{9.1} \]

Si conoces las notaciones binarias de números reales, debería ser obvio que este mapa iterativo simplemente está desplazando la cadena de bits\(x\) siempre hacia la izquierda, mientras se olvidan los bits que vinieron antes del punto decimal. Y sin embargo, una operación aritmética tan simple todavía puede crear caos, si la condición inicial es un número irracional (Figura\(\PageIndex{2}\))! Esto se debe a que un número irracional contiene una longitud infinita de dígitos y el caos los desentierra continuamente para producir un comportamiento fluctuante a una escala visible.

Figura\(\PageIndex{1}\): Parcela telaraña para el mapa de sierra con\(\pi/4\) como condición inicial.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El mapa de sierra también puede mostrar el caos incluso desde una condición inicial racional, si su comportamiento se simula manualmente a mano en una trama de telaraña. Explique por qué.