12.2: Visualización del espacio de fase

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 115720

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Si el espacio de fase de un modelo de CA no es demasiado grande, puede visualizarlo usando la técnica que discutimos en la Sección 5.4. Dichas visualizaciones son útiles para comprender la dinámica general del sistema, especialmente al medir el número de cuencas de atracción separadas, sus tamaños y las propiedades de los atractores. Por ejemplo, si ves solo una gran cuenca de atracción, el sistema no depende de las condiciones iniciales y siempre caerá en el mismo atractor. O si ves múltiples cuencas de atracción de aproximadamente un tamaño comparable, el comportamiento del sistema es sensible a las condiciones iniciales. Los atractores pueden estar hechos de un solo estado o múltiples estados formando un ciclo, lo que determina si el sistema eventualmente se vuelve estático o permanece dinámico (cíclico) indefinidamente.

Trabajemos en un ejemplo. Considere un modelo CA binario unidimensional con radio de vecindad$r = 2$. Suponemos que el espacio está formado por nueve celdas con condiciones de límite periódicas (es decir, el espacio es un anillo compuesto por nueve celdas). En esta configuración, el tamaño de su espacio de fase es justo$2^{9} = 512$, por lo que esto sigue siendo fácil de visualizar.

Para enumerar todas las configuraciones posibles, es conveniente definir funciones que asignen una configuración específica de la CA a un número de ID de configuración único, y viceversa. Aquí hay ejemplos de tales funciones:

$clipboard_e626e74b87dbf49a0f9651f22a55cfe3d.png$
Aquí L e i son el tamaño del espacio y la posición espacial de una celda, respectivamente. Estas funciones utilizan una notación binaria típica de un entero como una forma de crear mapeo entre una configuración y su número de ID único (de$0$ a$2^{L} −1$; 511 en nuestro ejemplo), disponiendo los bits en el orden de su significado de izquierda a derecha. Por ejemplo, la configuración [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1] se asigna a$2^{7} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{0} = 181$. La función config recibe un entero no negativo x y devuelve una lista hecha de 0 y 1, es decir, una configuración de la CA que corresponde al número dado. Tenga en cuenta que “&” es un operador lógico AND, que se utiliza para verificar si el bit i-ésimo de x es 1 o no. La función cf_number recibe una configuración de la CA, cf, y devuelve su número de ID único (es decir, cf_number es una función inversa de config).

A continuación, necesitamos definir una función de actualización para construir una trayectoria de un paso del modelo de CA. Esto es similar a lo que solemos hacer en la implementación de los modelos de CA:
$clipboard_e349f22ff0ec124f169e176615ec4288f.png$

En este ejemplo, adoptamos la regla de la mayoría como la función de transición de estado de la CA, la cual está escrita en la penúltima línea. Específicamente, cada celda se convierte a 1 si más de la mitad de sus vecinos locales (hay$2r + 1$ tales vecinos incluyéndose a sí mismo) tenían estado 1's, o de lo contrario se convierte en 0. También puedes revisar esa línea para implementar diferentes reglas de transición de estado.

Ahora tenemos todas las piezas necesarias para la visualización del espacio de fase. Al conectar los códigos anteriores al Código 5.5 y realizar algunas ediciones, obtenemos lo siguiente:

$clipboard_eecd66bf55246b8fdd2cb32dd423b3224.png$

$clipboard_e04844feb2ee66823d220bfe052914988.png$

$clipboard_e43ca6aa7b600d72c8413b58a85123fc8.png$

El resultado se muestra en la Fig. 12.2.1. A partir de esta visualización, aprendemos que existen dos grandes cuencas de atracción con otras 36 menores. El interior de esas dos grandes cuencas de atracción está lleno y es bastante difícil de ver, pero si haces zoom en sus partes centrales usando la función de zoom interactivo de pylab (disponible desde el botón de lupa en la ventana de la trama), encontrarás que sus atractores son “0” (= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], todos cero) y “511” (= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], todos uno). Esto quiere decir que este sistema tiene una tendencia a converger a un estado de consenso, ya sea 0 o 1, sensiblemente dependiendo de la condición inicial. Además, se puede ver que hay una serie de estados que no tienen antecesores. Aquellos estados a los que no se puede llegar desde ningún otro estado se denominan estados “Jardín del Edén” en la terminología de CA.

$Fig. 12.1 pt1.PNG$

Fig. 12.pT2.png — Figura$\PageIndex{1}$*: Espacio de fase basado en gráficos del modelo AC binario 1-D con la regla mayoritaria$(r = 2, L = 9)$* *dibujada con Código 12.3.*

Ejercicio$\PageIndex{1}$:

Mida el número de estados en cada una de las cuencas de atracción mostradas en la Fig . 12.2.1, y dibuje un gráfico circular para mostrar los tamaños relativos de esas cuencas. Busque las referencias en línea de matplotlib para averiguar cómo dibujar un gráfico circular. Luego discuta los hallazgos.

Ejercicio$\PageIndex{2}$:

Modificar el Código 12.3 para cambiar la función de transición de estado a la regla de “minoría”, de manera que cada celda cambie su estado a un estado minoritario local. Visualice el espacio de fase de este modelo y discuta las diferencias entre este resultado y la Fig. 12.2.1

La técnica que discutimos en esta sección sigue siendo na¨ıve y puede no funcionar para modelos de CA más complejos. Si desea realizar visualizaciones de espacio de fase más avanzadas de CA y otros sistemas dinámicos discretos, existe una herramienta de software libre llamada “Discrete Dynamics Lab” desarrollada por Andrew Wuensche [47], que está disponible en http://www.ddlab.com/.