12.3: Aproximación de campo medio
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Los comportamientos de los modelos de CA son complejos y altamente no lineales, por lo que no es fácil analizar su dinámica de una manera matemáticamente elegante. Pero aún así, hay algunos métodos analíticos disponibles. La aproximación de campo medio es uno de esos métodos analíticos. Se trata de un potente método analítico para hacer una predicción aproximada del comportamiento macroscópico de un sistema complejo. Es ampliamente utilizado para estudiar varios tipos de sistemas dinámicos a gran escala, no solo CA. Dicho esto, muchas veces es engañoso para estudiar sistemas complejos (este tema se discutirá más adelante), pero como primer paso del análisis matemático, tampoco es tan malo.
En cualquier caso, la razón principal por la que es tan difícil analizar CA y otros sistemas complejos es que tienen una gran cantidad de variables dinámicas. La aproximación de campo medio reduce drásticamente esta alta dimensionalidad a solo unas pocas dimensiones (!) reformulando la dinámica del sistema en términos del “estado promedio” del sistema (Fig.12.3.2). Luego se redescriben las dinámicas en términos de cómo interactúa cada célula individual con este estado promedio y cómo el propio estado promedio cambia con el tiempo. Al hacerlo, se supone que cada celda en todo el espacio elige su siguiente estado de manera independiente, de acuerdo con las probabilidades determinadas por el estado promedio del sistema. Este espacio hipotético, homogéneo y probabilístico se denomina campo medio, del cual se derivó el nombre del método de aproximación. Promediar todo el sistema equivale a aleatorizar o ignorar las relaciones espaciales entre componentes, por lo que se puede decir que la aproximación de campo medio es una técnica para aproximar dinámicas espaciales por otras no espaciales.
Trabajemos en un ejemplo. Considere aplicar la aproximación de campo medio a un modelo de CA binaria 2-D con la regla mayoritaria en los vecindarios de Moore. Cuando aplicamos la aproximación de meanfield a este modelo, el tamaño del espacio ya no importa, porque, no
importa cuán grande sea el espacio, el estado del sistema se aproxima solo por una variable: la densidad de 1's,\(p_t\). Este es el campo medio, y ahora nuestra tarea es describir su dinámica en una ecuación de diferencia.
Cuando derivamos una nueva ecuación de diferencia para el estado promedio, ya no tenemos ninguna configuración espacial específica; todo ocurre probabilísticamente. Por lo tanto, necesitamos enumerar todos los escenarios posibles de la transición de estado de una celda individual, y luego calcular la probabilidad de que ocurra cada escenario.
La Tabla 12.3.1 enumera todos los escenarios posibles para la CA binaria con la regla de mayoría. La probabilidad de cada evento de transición de estado se calcula por (probabilidad de que la celda tome el “Estado actual”) × (probabilidad de que los ocho vecinos estén en cualquiera de los “estados Vecinos”). Este último es la suma de (número de formas de organizar\(k\) 1 en 8 celdas) × (probabilidad de que\(k\) las celdas sean 1) × (probabilidad de que 8-\(k\) celdas sea 0) sobre el rango respectivo de\(k\). Es posible que hayas aprendido sobre este tipo de cálculo combinatorio de probabilidades en matemáticas discretas y/o probabilidad y estadística.
Confirmar que las probabilidades listadas en la última columna del Cuadro 12.3.1 son una distribución de probabilidad válida, es decir, que la suma de ellas es 1.
Para escribir una ecuación de diferencia de\(p_t\), sólo hay dos escenarios que debemos tener en cuenta: el segundo y el cuarto en la Tabla 12.3.1, cuyo siguiente estado es 1. Esto es
Tabla\(\PageIndex{1}\): Posibles escenarios de transiciones de estado para CA binaria con regla mayoritaria.
| Estado actual | Estados vecinos | Siguiente estado | Probabilidad de esta transición |
|---|---|---|---|
| 0 | Cuatro 1's o menos | 0 | \(( 1 - p ) \sum _ { k = 0 } ^ { 4 } \left( \begin{array} { l } { 8 } \\ { k } \end{array} \right) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { ( 8 - k ) }\) |
| 0 | Cinco 1's o más | 1 | \(( 1 - p ) \sum _ { k = 5 } ^ { 8 } \left( \begin{array} { l } { 8 } \\ { k } \end{array} \right) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { ( 8 - k ) }\) |
| 1 | Tres 1 o menos | 0 | \(p \sum_{k = 0}^{3} \left( \begin{array} { l } { 8 } \\ { k } \end{array} \right) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { ( 8 - k ) }\) |
| 1 | Cuatro 1's o más | 1 | \(p \sum_{k = 4} ^ {8} \left( \begin{array} { l } { 8 } \\ { k } \end{array} \right) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { ( 8 - k ) }\) |
porque el siguiente valor del estado promedio,\(p_{t+1}\), es la probabilidad de que el siguiente estado sea 1. Por lo tanto, podemos escribir la siguiente ecuación de diferencia (el subíndice de\(p_{t}\) se omite en el lado derecho para simplificar):
\[p_{t+1}=(1-p)\sum_{k=5}^{8}{\binom{8}{k}p^{k}(1-p)^{(8-k)}} +p\sum_{k=4}^{8}{\binom{8}{k}p^{k}(1-p)^{(8-k)}}\label{(12.6)} \]
\[=\sum^{8}_{k=5}{\binom{8}{k}p^{k}(1-p)^{(8-k)}}+\binom{8}{4}p^{4}(1-p)^{4}\label{(12.7)} \]
\[=\binom{8}{5} p^{5}(1-p)^{3}+ \binom{8}{6}p^{6}(1-p)^{2}+ \binom{8}{7}p^{7}(1-p)+\binom{8}{8}p^{8}+70p^{5}(1-p)^{4}\label{(12.8)} \]
\[=56p{5}(1-p)^{3}+28p^{6}(1-p)^{2}+8p^{7}(1-p)+p^{8}+70p^{5}(1-p)^{4}\label{(12.9)} \]
\[=70p^{9}-315p^{8}+540p^{7}-420p^{6}+126p^{5}\label{(12.10)} \]
Este resultado puede parecer todavía bastante complicado, pero ahora no es más que un mapa iterativo no lineal unidimensional, y ya aprendimos a analizar su dinámica en el Capítulo 5. Por ejemplo, podemos dibujar una gráfica de telaraña de este mapa iterativo reemplazando la función f (x) en Código 5.4 por lo siguiente (también deberías cambiar xmin y xmax para ver la imagen completa de la trama de telaraña):
Esto produce la gráfica de telaraña mostrada en la Fig. 12.3.2. Esta gráfica muestra claramente que hay tres puntos de equilibrio (\(p = 0\),\(1/2\), y\(1\)),\(p = 0\) y que\(1\) son estables mientras que\(p = 1/2\) es inestable, y el estado asintótico está determinado por si el valor inicial está por debajo o por encima\(1/2\). Esta predicción tiene cierto sentido en vista de la naturaleza de la función de transición de estado (la regla de la mayoría); la interacción con otros individuos acercará un poco a todo el sistema a la elección mayoritaria, y eventualmente todos estarán de acuerdo en una de las dos opciones.
Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica telaraña de la Ecuación\ ref {(12.10)}.
Sin embargo, debemos tener en cuenta que la predicción realizada usando la aproximación de campo medio anterior no siempre coincide con lo que realmente sucede en los modelos de CA espacialmente explícitos. En las simulaciones, a menudo se ven agrupaciones de células con el estado minoritario permaneciendo en el espacio, haciendo imposible que todo el sistema alcance un consenso unánime. Esto se debe a que, después de todo, la aproximación de campo medio no es más que una aproximación. Produce una predicción que se sostiene solo en un escenario ideal donde la localidad espacial puede ser ignorada y cada componente puede ser representado homogéneamente por un promedio global, que, desafortunadamente, no se aplica a la mayoría de los sistemas espaciales del mundo real que tienden a tener estados y/o interacciones no homogéneas. Por lo tanto, debe ser consciente de cuándo puede aplicar la aproximación de campo medio, y cuáles son sus limitaciones, como se resume a continuación:
La aproximación de campo medio es una técnica que ignora las relaciones espaciales entre componentes. Funciona bastante bien para sistemas cuyas partes están completamente conectadas o que interactúan aleatoriamente entre sí. No funciona si las interacciones son locales o no homogéneas, y/o si el sistema tiene un patrón de estados no uniforme. En tales casos, aún podría usar la aproximación de campo medio como una aproximación preliminar de “orden cero”, pero no debe derivar una conclusión final de ella.
En cierto sentido, la aproximación de campo medio puede servir como punto de referencia para entender la dinámica de su sistema modelo. Si tu modelo realmente se comporta de la misma manera que lo predice la aproximación de campo medio, eso probablemente signifique que el sistema no es del todo complejo y que su comportamiento se puede entender usando un modelo más simple.
Aplicar aproximación de campo medio al modelo de CA 2-D de Game of Life. Derivar una ecuación de diferencia para la densidad\(p_t\) de estado promedio y predecir su comportamiento asintótico. Luego compare el resultado con la densidad real obtenida de un resultado de simulación. ¿Coinciden o no? ¿Por qué?