2.2: Cuando no hay una solución única
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Dadas\(n\) las ecuaciones y las\(n\) incógnitas, generalmente se espera una solución única. Pero existen otras dos posibilidades: no podría haber solución, o un número infinito de soluciones. Ilustraremos lo que sucede durante la eliminación gaussiana en estos dos casos. Considerar
\[\begin{aligned}-3x_1+2x+2-x_3&=-1, \\ 6x_1-6x_2+7x_3&=-7, \\ 3x_1-4x_2+6x_3&=b.\end{aligned} \nonumber \]
Tenga en cuenta que las dos primeras ecuaciones son las mismas que en (2.1.1), pero el lado izquierdo de la tercera ecuación ha sido reemplazado por la suma de los lados izquierdos de las dos primeras ecuaciones, y el lado derecho ha sido reemplazado por el parámetro\(b\). Si\(b = −8\), entonces la tercera ecuación es solo la suma de las dos primeras ecuaciones y no agrega nueva información al sistema. En este caso, las ecuaciones deben admitir un número infinito de soluciones. Sin embargo, si\(b\neq −8\), entonces la tercera ecuación es inconsistente con las dos primeras ecuaciones y no debería haber solución.
Resolvemos por eliminación gaussiana para ver cómo se desarrolla. Escribiendo la matriz aumentada y haciendo eliminación de filas, tenemos
\[\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\6&-6&7&-7\\3&-4&6&b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrc}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&-2&5&b-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrc}-3&2&-1&-1 \\ 0&-2&5&-9\\0&0&0&b+8\end{array}\right).\nonumber \]
Evidentemente, la eliminación gaussiana ha reducido la última fila de la matriz\(\text{A}\) a ceros, y la última ecuación se convierte en
\[0=b+8.\nonumber \]
Si\(b\neq −8\), no habrá solución, y si\(b = −8\), los sistemas subdeterminados de ecuaciones se convierten
\[\begin{aligned}-3x_1+2x_2-x_3&=-1 \\ -2x_2+5x_3&=-9.\end{aligned} \nonumber \]
Las incógnitas\(x_1\) y se\(x_2\) pueden resolver en términos de\(x_3\) como
\[x_1=\frac{10}{3}+\frac{4}{3}x_3,\quad x_2=\frac{9}{2}+\frac{5}{2}x_3,\nonumber \]
indicando una familia infinita de soluciones dependientes de la libre elección de\(x_3\).
Para ser claros, para un sistema lineal representado por\(\text{Ax} = \text{b}\), si hay una solución única entonces\(\text{A}\) es invertible y la solución es dada formalmente por
\[\text{x}=\text{A}^{-1}\text{b}.\nonumber \]
Si no hay una solución única, entonces no\(\text{A}\) es invertible. Entonces decimos que la matriz\(\text{A}\) es singular. Si una\(n\) matriz\(n\) -by-\(\text{A}\) es singular o no se puede determinar por reducción de fila en\(\text{A}\). Después de la reducción de fila, si la última fila de\(\text{A}\) es todo ceros, entonces\(\text{A}\) es una matriz singular; si no, entonces\(\text{A}\) es una matriz invertible. Ya lo hemos mostrado en el caso de dos por dos, eso\(\text{A}\) es invertible si y solo si\(\det\text{ A}\neq 0\), y posteriormente demostraremos que esto también es cierto para\(n\) las matrices\(n\) -by-.