2.3: Forma de escalón de fila reducida
- Page ID
- 119099
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Ver Formulario de Escalón de Fila Reducida en YouTube
Si continuamos con el procedimiento de eliminación de filas para que todos los pivotes sean uno, y se eliminen todas las entradas por encima y por debajo del pivote, entonces la matriz resultante está en la llamada forma de escalón de fila reducida. Escribimos la forma de escalón de fila reducida de una matriz\(\text{A}\) como\(\text{rref}(\text{A})\). Si\(\text{A}\) es una matriz cuadrada invertible, entonces\(\text{rref}(\text{A}) = \text{I}\).
En lugar de la eliminación gaussiana y la sustitución inversa, se puede resolver un sistema de ecuaciones llevando una matriz a una forma de escalón de fila reducida. Podemos ilustrar esto resolviendo de nuevo nuestro primer ejemplo. Comenzando con la misma matriz aumentada, tenemos
\[\begin{array}{l}\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\6&-6&7&-7\\3&-4&4&-6\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&-2&3&-7\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}-3&0&4&-10\\0&-2&5&-9\\0&0&-2&2\end{array}\right) \\ \to\left(\begin{array}{rrrr}-3&0&4&-10\\0&-2&5&-9\\0&0&1&-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}-3&0&0&-6\\0&-2&0&-4\\0&0&1&-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&2\\0&1&0&2\\0&0&1&-1\end{array}\right).\end{array}\nonumber \]
Una vez que se\(\text{A}\) ha transformado en la matriz de identidad, el sistema resultante de ecuaciones es solo la solución, es decir,\(x_1 = 2,\: x_2 = 2\) y\(x_3 = −1\).