4.4: Uso de Determinantes en Cálculo Vectorial

Considera dos vectores\(\mathbf{u}=u_{1} \mathbf{i}+u_{2} \mathbf{j}+u_{3} \mathbf{j}\) y\(\mathbf{v}=v_{1} \mathbf{i}+v_{2} \mathbf{j}+v_{3} \mathbf{j}\), escritos como los encontrarías en Cálculo más que como matrices de columna en Álgebra Lineal. El producto de punto de los dos vectores se define en Cálculo como

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+u_{3} v_{3}, \nonumber \]

y el producto cruzado se define como

\[\mathbf{u} \times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right|=\mathbf{i}\left(u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2}\right)-\mathbf{j}\left(u_{1} v_{3}-u_{3} v_{1}\right)+\mathbf{k}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) \nonumber \]

donde se usa el determinante del Álgebra Lineal como mnemotécnico para recordar la definición. Si el ángulo entre los dos vectores viene dado por\(\theta\), entonces la trigonometría se puede usar para mostrar que

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}| \cos \theta, \quad|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}| \sin \theta \nonumber \]

Ahora, si\(\mathbf{u}\)\(\mathbf{v}\) yace en el\(x-y\) plano, entonces el área del paralelogramo formado a partir de estos dos vectores, determinada a partir de la altura de los tiempos base, viene dada por

\[\begin{aligned} A &=|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| \\ &=\left|u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right| \\ &=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{array}\right)\right| . \end{aligned} \nonumber \]

Este resultado también generaliza a tres dimensiones. El volumen de un paralelepípedo formado por los tres vectores\(\mathbf{u}, \mathbf{v}\), y\(\mathbf{w}\) viene dado por

\[\begin{aligned} V &=|\mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})| \\ &=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}\right)\right| . \end{aligned} \nonumber \]

Una aplicación importante de este resultado es la fórmula de cambio de variable para la integración multidimensional. Considera la doble integral

\[I=\iint_{A} \ldots d x d y \nonumber \]

sobre alguna función no especificada de\(x\)\(y\) y sobre alguna área designada\(A\) en el\(x-y\) avión. Supongamos que hacemos una transformación lineal del sistema de\(x-y\) coordenadas a algún sistema de\(u-v\) coordenadas. Es decir, vamos

\[u=a x+b y, \quad v=c x+d y, \nonumber \]

o en notación matricial,

\[\left(\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) . \nonumber \]

Observe que los vectores de base ortonormal\(\mathbf{i}\) y se\(\mathbf{j}\) transforman en los vectores\(a \mathbf{i}+\)\(c \mathbf{j}\) y\(b \mathbf{i}+d \mathbf{j}\) para que un rectángulo en el sistema de\(x-y\) coordenadas se transforme en un paralelogramo en el \(u-v\)sistema de coordenadas. El área\(A\) del paralelogramo en el sistema de\(u-v\) coordenadas viene dada por

\[A=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right)\right|=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\right| . \nonumber \]

Observe que debido a que se trataba de una transformación lineal, también podríamos haber escrito el área como

\[A=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right)\right| \nonumber \]

que se llama el determinante jacobiano, o simplemente el jacobiano. Este resultado también se aplica a áreas infinitesimales donde se puede hacer una aproximación lineal, y con

\[u=u(x, y), \quad v=v(x, y), \nonumber \]

la fórmula de cambio de variables se convierte

\[d u d v=\left|\operatorname{det} \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\right| d x d y \nonumber \]

donde en general, la matriz jacobiana se define como

\[\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right) \nonumber \]

Tenga en cuenta que a veces definimos el cambio de coordenadas como

\[x=x(u, v), \quad y=y(u, v), \nonumber \]

y la fórmula de cambio de variables será

\[d x d y=\left|\operatorname{det} \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| d u d v \nonumber \]

Podemos dar dos ejemplos muy importantes. La primera en dos dimensiones es el cambio de variables de coordenadas rectangulares a polares. Tenemos

\[x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \nonumber \]

y el jacobiano de la transformación es

\[\left|\operatorname{det} \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|=\left|\begin{array}{rr} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right|=r . \nonumber \]

Entonces, para encontrar el área de un círculo de radio\(R\), con fórmula\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\), tenemos

\[\int_{-R}^{R} \int_{-\sqrt{R^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} d x d y=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} r d r d \theta=\pi R^{2} . \nonumber \]

El segundo ejemplo en tres dimensiones es de coordenadas cartesianas a esféricas. Aquí,

\[x=r \sin \theta \cos \phi, \quad y=r \sin \theta \sin \phi, \quad z=r \cos \theta \nonumber \]

El jacobiano es

\[\left|\operatorname{det} \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \phi)}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & -r \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \end{array}\right|=r^{2} \sin \theta . \nonumber \]

Entonces, para encontrar el área de una esfera de radio\(R\), con fórmula\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\), tenemos

\[\int_{-R}^{R} \int_{-\sqrt{R^{2}-z^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-z^{2}}} \int_{-\sqrt{R^{2}-y^{2}-z^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}-z^{2}}} d x d y d z=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^{2} \sin \theta d r d \theta d \phi=\frac{4}{3} \pi R^{3} \nonumber \]