8.1: El Método Euler
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En general, la Ecuación\ ref {8.1} no puede resolverse analíticamente, y comenzamos por derivar un algoritmo para solución numérica. Considere la oda general de segundo orden dada por
\[\ddot{x}=f(t, x, \dot{x}) . \nonumber \]
Podemos escribir esta oda de segundo orden como un par de odas de primer orden\(u=\dot{x}\) definiendo y escribiendo el sistema de primer orden como
\[\begin{aligned} &\dot{x}=u, \\ &\dot{u}=f(t, x, u) . \end{aligned} \nonumber \]
La primera oda, Ecuación\ ref {8.2}, da la pendiente de la línea tangente a la curva\(x=x(t)\); la segunda oda, Ecuación\ ref {8.3}, da la pendiente de la línea tangente a la curva\(u=u(t)\). Comenzando por los valores iniciales\((x, u)=\left(x_{0}, u_{0}\right)\) en ese momento\(t=t_{0}\), nos movemos a lo largo de las líneas tangentes para determinar\(x_{1}=x\left(t_{0}+\Delta t\right)\) y\(u_{1}=u\left(t_{0}+\Delta t\right)\):
\[\begin{aligned} &x_{1}=x_{0}+\Delta t u_{0} \\ &u_{1}=u_{0}+\Delta t f\left(t_{0}, x_{0}, u_{0}\right) \end{aligned} \nonumber \]
Los valores\(x_{1}\) y\(u_{1}\) en su momento\(t_{1}=t_{0}+\Delta t\) se utilizan entonces como nuevos valores iniciales para hacer avanzar la solución al tiempo\(t_{2}=t_{1}+\Delta t\). Siempre y cuando\(f(t, x, u)\) sea una función de buen comportamiento, la solución numérica converge a la solución única de la oda as\(\Delta t \rightarrow 0\).