10.6: Modos normales

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Figura 10.4: Vista superior de un sistema de doble masa y triple resorte.

Consideramos ahora una aplicación del análisis de vectores propios al sistema de resorte de masa acoplado mostrado en la Fig. 10.4. Las variables de posición\(x_{1}\) y\(x_{2}\) se miden a partir de las posiciones de equilibrio de las masas. La ley de Hooke establece que la fuerza del resorte es linealmente proporcional a la longitud de extensión del resorte, medida desde el equilibrio. Al considerar la extensión del resorte y el signo de la fuerza, escribimos la ley de Newton\(F=m a\) por separado para cada misa

\[\begin{aligned} &m \ddot{x}_{1}=-k x_{1}-K\left(x_{1}-x_{2}\right), \\ &m \ddot{x}_{2}=-k x_{2}-K\left(x_{2}-x_{1}\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Reescritura adicional recopilando términos proporcionales\(x_{1}\) y\(x_{2}\) rendimientos

\[\begin{aligned} &m \ddot{x}_{1}=-(k+K) x_{1}+K x_{2}, \\ &m \ddot{x}_{2}=K x_{1}-(k+K) x_{2} . \end{aligned} \nonumber \]

Las ecuaciones para el sistema de masa-resorte acoplado forman un sistema de dos odas homogéneas lineales de segundo orden. En forma de matriz\(m \ddot{x}=A x\), o explícitamente,

\[m \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -(k+K) & K \\ K & -(k+K) \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) . \nonumber \]

En analogía a un sistema de ecuaciones de primer orden, probamos el ansatz\(x=v e^{r t}\), y al sustituirlo en la Ecuación\ ref {10.14} obtenemos el problema del valor propio Av\(=\lambda \mathrm{v}\), con\(\lambda=m r^{2}\). Los valores propios se determinan resolviendo la ecuación característica

\[\begin{aligned} 0 &=\operatorname{det}(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{I}) \\ &=\left|\begin{array}{cc} -(k+K)-\lambda & K \\ K & -(k+K)-\lambda \end{array}\right| \\ &=(\lambda+k+K)^{2}-K^{2} \end{aligned} \nonumber \]

La solución para\(\lambda\) es

\[\lambda=-k-K \pm K \nonumber \]

y los dos valores propios son

\[\lambda_{1}=-k, \quad \lambda_{2}=-(k+2 K) . \nonumber \]

Los valores correspondientes de\(r\) en nuestro ansatz\(\mathrm{x}=\mathrm{v} e^{r t}\), con\(r=\pm \sqrt{\lambda / m}\), son

\[r_{1}=i \sqrt{k / m}, \quad \bar{r}_{1}, \quad r_{2}=i \sqrt{(k+2 K) / m}, \quad \bar{r}_{2} . \nonumber \]

Como los valores de\(r\) son puros imaginarios, lo sabemos\(x_{1}(t)\) y\(x_{2}(t)\) oscilarán con frecuencias angulares\(\omega_{1}=\operatorname{Im}\left\{r_{1}\right\}\) y\(\omega_{2}=\operatorname{Im}\left\{r_{2}\right\}\), es decir,

\[\omega_{1}=\sqrt{k / m}, \quad \omega_{2}=\sqrt{(k+2 K) / m} \nonumber \]

Las posiciones de las masas oscilantes en general contienen dependencias de tiempo de la forma\(\sin \omega_{1} t, \cos \omega_{1} t\), y\(\sin \omega_{2} t, \cos \omega_{2} t\).

Es de mayor interés determinar los vectores propios, o los llamados modos normales de oscilación, asociados con las dos frecuencias angulares distintas. Con condiciones iniciales específicas proporcionales a un vector propio, la masa oscilará con una sola frecuencia. El vector propio con valor propio\(\lambda_{1}\) satisface

\[-K v_{11}+K v_{12}=0 \nonumber \]

para que\(v_{11}=v_{12}\). El modo normal con frecuencia sigue\(\omega_{1}=\sqrt{k / m}\) así un movimiento donde\(x_{1}=x_{2}\). Haciendo referencia a la figura 10.4, durante este movimiento la longitud del muelle central no cambia, razón por la cual la frecuencia de oscilación es independiente de\(K\).

A continuación, determinamos el vector propio con el valor propio\(\lambda_{2}\):

\[K v_{21}+K v_{22}=0, \nonumber \]

para que\(v_{21}=-v_{22}\). El modo normal con frecuencia sigue\(\omega_{2}=\sqrt{(k+2 K) / m}\) así un movimiento donde\(x_{1}=-x_{2}\). Nuevamente refiriéndose a la figura 10.4, durante este movimiento las dos masas iguales empujan o tiran simétricamente contra cada lado del resorte medio.

Una solución general para se\(\mathbf{x}(t)\) puede construir a partir de los valores propios y vectores propios. Nuestro ansatz fue\(\mathrm{X}=\mathrm{V} e^{r t}\), y para cada uno de dos vectores propios\(\mathrm{V}\), tenemos un par de valores conjugados complejos para\(r\). En consecuencia, primero aplicamos el principio de superposición para obtener cuatro soluciones reales, y luego aplicar nuevamente el principio para obtener la solución general. Con\(\omega_{1}=\sqrt{k / m}\) y\(\omega_{2}=\sqrt{(k+2 K) / m}\), la solución general viene dada por

\[\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\left(A \cos \omega_{1} t+B \sin \omega_{1} t\right)+\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right)\left(C \cos \omega_{2} t+D \sin \omega_{2} t\right) \nonumber \]

donde las constantes ahora reales\(A, B, C\), y\(D\) pueden determinarse a partir de las cuatro condiciones iniciales independientes,\(x_{1}(0), x_{2}(0), \dot{x}_{1}(0)\), y\(\dot{x}_{2}(0)\).