1.6: Definición de la Integral

La integral definida de una función\(f(x) > 0\) de\(x = a\) a\(b\)\((b > a)\) se define como el área delimitada por las líneas verticales\(x = a,\: x = b\), el\(x\) eje y la curva\(y = f(x)\). Esta “área bajo la curva” se obtiene por un límite. Primero, el área se aproxima por una suma de áreas de rectángulo. Segundo, la integral se define como el límite de las áreas del rectángulo ya que el ancho de cada rectángulo individual va a cero y el número de rectángulos va al infinito. Esta suma infinita resultante se llama una suma de Riemann, y definimos \[\label{eq:1}\int_a^b f(x)dx=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^{N} f(a+(n-1)h)\cdot h,\]dónde\(N = (b − a)/h\) está el número de términos en la suma. Los símbolos en el lado izquierdo de\(\eqref{eq:1}\) se leen como “la integral de\(a\) a\(b\)\(f\) de\(x\) dee”\(x\). La definición de Suma de Riemann se extiende a todos los valores de\(a\)\(b\) y y para todos los valores de\(f(x)\) (positivo y negativo). En consecuencia,\[\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx\quad\text{and}\quad\int_a^b(-f(x))dx=-\int_a^bf(x)dx.\nonumber\]

También,\[\int_a^c f(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^c f(x)dx,\nonumber\] que establece cuándo\(f(x) > 0\) y\(a < b < c\) que el área total es igual a la suma de sus partes