1.7: El teorema fundamental del cálculo

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Utilizando la definición de la derivada, diferenciamos la siguiente integral:\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\int_a^x f(s)ds&=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{\int_a^{x+h} f(s)ds-\int_a^x f(s)ds}{h} \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{\int_x^{x+h} f(s)ds}{h} \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{hf(x)}{h} \\ &=f(x).\end{aligned}\]

Este resultado se denomina teorema fundamental del cálculo, y proporciona una conexión entre diferenciación e integración.

El teorema fundamental nos enseña a integrar funciones. Que\(F(x)\) sea una función tal que\(F' (x) = f(x)\). Decimos que\(F(x)\) es un antiderivado de\(f(x)\). Luego del teorema fundamental y el hecho de que la derivada de una constante es igual a cero,\[F(x)=\int_a^x f(s)ds+c.\nonumber\]

Ahora,\(F(a) = c\) y\(F(b) =\int_a^b f(s)ds + F(a)\). Por lo tanto, el teorema fundamental nos muestra cómo integrar una función\(f(x)\) siempre que podamos encontrar su antiderivada:

\[\label{eq:1}\int_a^b f(s)ds=F(b)-F(a).\]

Desafortunadamente, encontrar antiderivados es mucho más difícil que encontrar derivados, y de hecho, las funciones más complicadas no se pueden integrar analíticamente.

También podemos derivar el resultado muy importante\(\eqref{eq:1}\) directamente de la definición de la derivada (1.3.1) y la integral definida (1.6.1). Veremos que es conveniente elegir la misma h en ambos límites. Con\(F'(x) = f(x)\), tenemos\[\begin{aligned} \int_a^b f(s)ds&=\int_a^b F'(s)ds \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N F'(a+(n-1)h)\cdot h \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N \frac{F(a+nh)-F(a+(n-1)h)}{h}\cdot h \\ &=\underset{h\to 0}{\lim}\sum\limits_{n=1}^N F(a+nh)-F(a+(n-1)h).\end{aligned}\]

La última expresión tiene una estructura interesante. Todos los valores de\(F(x)\) evaluados en los puntos que se encuentran entre los puntos finales\(a\) y se\(b\) cancelan entre sí en términos consecutivos. Sólo el valor\(−F(a)\) sobrevive cuando\(n = 1\), y el valor\(+F(b)\) cuando\(n = N\), cediendo de nuevo\(\eqref{eq:1}\).