1.13: Funciones de Varias Variables

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Por simplicidad, consideramos una función\(f = f(x, y)\) de dos variables, aunque los resultados se generalizan fácilmente. La derivada parcial de\(f\) con respecto a\(x\) se define como\[\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\nonumber\] y de manera similar para la derivada parcial de\(f\) con respecto a\(y\). Tomar la derivada parcial de\(f\) con respecto a\(x\), digamos, tomar la derivada de\(f\) respecto a la\(x\) tenencia\(y\) fija. Como ejemplo, considere\[f(x,y)=2x^3y^2+y^3.\nonumber\]

Tenemos\[\frac{\partial f}{\partial x}=6x^2y^2,\quad\frac{\partial f}{\partial y}=4x^3y+3y^2.\nonumber\]

Las segundas derivadas se definen como las derivadas de las primeras derivadas, por lo que tenemos\[\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=12xy^2,\quad \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=4x^3+6y;\nonumber\] y las segundas derivadas parciales mixtas son\[\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=12x^2y,\quad\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=12x^2y.\nonumber\]

En general, los derivados parciales mixtos son independientes del orden en que se toman los derivados.

Las derivadas parciales son necesarias para aplicar la regla de la cadena. Considerar\[df=f(x+dx, y+dy)-f(x,y).\nonumber\]

Podemos escribir\(df\) como\[\begin{aligned} df&= [ f(x + dx, y + dy) − f(x, y + dy)] + [ f(x, y + dy) − f(x, y)] \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.\end{aligned}\]

Si uno tiene\(f = f(x(t), y(t)),\) que decir, entonces\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.\nonumber\]

Y si uno tiene\(f = f(x(r, θ), y(r, θ)),\) que decir, entonces\[\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\quad\frac{\partial f}{\partial\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}.\nonumber\]

También se puede desarrollar una serie Taylor de una función de varias variables. Aquí, todas las derivadas parciales de\(f(x, y)\) al\((a, b)\) coincidir con todas las derivadas parciales de la serie de potencia. Con la notación\[f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\quad f_{xx}=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y},\quad f_{yy}=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2},\quad\text{etc.,}\nonumber\] tenemos\[\begin{aligned} f(x,y)&=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) \\ &+\frac{1}{2!}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\right)+\cdots\end{aligned}\]